山西省吕梁市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（含答案）

山西省吕梁市2022—2023学年八年级上学期数学期末测试题一、单选题1．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（）A．3，10，5 B．4，8，4 C．5，13，12 D．2，7，42．下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含30°角的直角三角形 B．一个钝角相等的两个等腰三角形C．边长为5和6的两个等腰三角形 D．腰对应相等的两个等腰直角三角形3．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．计算(−1A．－4x6 B．－4x7 C．4x8 D．－4x85．图（1）是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．(a+b)2 C．(6．化简x2A．x+1 B．x−1 C．−x D．x7．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D8．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③PQ∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（）． A．①②③④ B．①② C．只有②③ D．只有①③9．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣210．对于非零实数a、b，规定a⊕b=1b−1aA．56 B．54 C．32二、填空题11．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是12．因式分解：x3﹣4x=．13．如果关于x的分式方程x−2x−5=14．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1=150°，则∠α的度数为． 第14题图 第15题图15．如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN=4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB=．三、解答题16．先化简，再求值：x−1x17．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）当∠BCD=°时，△BED是等边三角形．19．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A． B. C. （2）若，，求的值；（3）计算：(1−120．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：(xm+yn)（1）计算：＝；（2）代数式为完全平方式，则k＝；（3）解方程：=6x221．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？22．如图（1）已知AB∥CD，AD∥BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M，N，如图1，那么AM与CN有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的AM与CN的关系还成立吗？请说明理由．23．如图（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=12∠BAD．请画出图形（除图②外），并直接写出线段EF，BE

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、3+5<10，不能够组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+12>13，能够组成三角形，符合题意；D、2+4<7，不能组成三角形，不符合题意．故答案为：C．

【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。2．【答案】D【解析】【解答】解：A、两个含30°角的直角三角形，缺少对应边相等，A不全等；B、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，B不全等；C、腰为5底为6的三角形和腰为6底为5的三角形不全等，C不全等；D、腰对应相等，顶角是直角的两个三角形满足“边角边”，D是全等形．故答案为：D．

【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。3．【答案】A【解析】【解答】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，AC=CADC=EA∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选A．【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A=60°，∠B=∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．4．【答案】B【解析】【解答】解：(−1故答案为：B．

【分析】利用单项式乘单项式的计算法则求解即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．又∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故答案为：C．【分析】先求出正方形的面积为（a+b）2．再根据所给的图形计算求解即可。6．【答案】D【解析】【解答】解：x2故答案为：D．【分析】可将分式化为同分母分式，然后根据“同分母分式相减，分母不变，分子相减”进行计算，结果能约分的要进行约分.7．【答案】A【解析】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质

根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠b与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．

∵在△ABC中，∠B=∠C，

∴∠B、∠C不能等于120°，

∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．

故选A．8．【答案】A【解析】【解答】∵PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，①符合题意；∵△APR≌△APS(∴AR=AS，②符合题意；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，③符合题意；由③可知，△PQC为等边三角形，∴△PQS≌△PCS，由②可知，△BRP≌△QSP，∴④符合题意．故答案为：A．

【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。9．【答案】B【解析】【解答】∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故答案为：B．

【分析】根据完全平方式的特征可得2（m﹣1）＝±6，再求出m的值即可。10．【答案】A【解析】【解答】∵a⊕b=1b−1又∵2⊕(2x−1)=1，∴12x−1解这个分式方程并检验，得x=5【分析】根据新运算把a=2，b=2x-1代入等式计算即可求解.11．【答案】12cm【解析】【解答】解：过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，∴∠ABP=∠EBP．在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPBP=BP∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC=SEPC，∴S△PBC=S△BPE+SEPC=12S△ABC=12cm故答案为：12cm2【分析】过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP，结合BP=BP以及∠APB=∠EPB=90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP=EP，根据三角形的面积即可得出S△APC=SEPC，再根据S△PBC=S△BPE+SEPC=12S△ABC12．【答案】x（x+2）（x﹣2）【解析】【解答】x3﹣4x=x（x2﹣4x）=x（x+2）（x﹣2）.故答案为：x（x+2）（x﹣2）.【分析】观察此多项式的特点：含有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解即可。13．【答案】-3【解析】【解答】把分式方程化为整式方程，得x−2=−m，x=2−m，当x=5时原方程无解，此时m=−3，故答案为：-3；

【分析】先求出分式方程的解x=2−m，再根据分式方程无解可得x=5，再将其代入x=2−m求出m=−3即可。14．【答案】60°【解析】【解答】∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠E=∠DCA，∠BAE=∠1=150°，∵∠EFD=∠CFA，∠α+∠E+∠EFD=∠EAC+∠DCA+∠CFA∴∠EAC=∠α；∵∠EAC=360°−∠BAE−∠1=360°−150°−150°=60°，∴∠α=60°；故答案为：60°．

【分析】根据全等三角形的性质可得∠E=∠DCA，∠BAE=∠1=150°，再结合∠EAC=∠α，∠EAC=360°−∠BAE−∠1=360°−150°−150°=60°，求出∠α=60°即可。15．【答案】8【解析】【解答】连接AP，作点M关于AP的对称点D，连接DP，∴PD=PM，AD=AM，∴PM+PN=PD+PN≥DN，则当D、P、N三点共线且DN⊥AC时，PM+PN最小；∵M为AN中点，且AN=4，∴AD=AM=1∵P为BC中点，△ABC为等边三角形，∴AP⊥BC，∠CAP=30°，∠C=60°，在Rt△ADP中，AP=2PD，由勾股定理得DP∴DP=2∵∠C=60°，DN⊥AC，∴∠DPC=30°，∴PC=2DC在Rt△PDC中，由勾股定理得DC即DC2+∴AC=AD+DC=2+2∴AB=AC=8故答案为：83

【分析】连接AP，作点M关于AP的对称点D，连接DP，则当D、P、N三点共线且DN⊥AC时，PM+PN最小，利用勾股定理可得DC2+(216．【答案】解：原式==1=x−1=1当x=−1时，原式=1【解析】【分析】先将各分式的分子和分母分解因式，然后按照分式的乘除将除法转化为乘法，再约分即可化简；根据分式有意义的条件“分母≠0”可求得x的取值范围，在取值范围内选取一个值代入化简后的代数式计算即可求解。17．【答案】（1）解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）解：如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；

（2）根据三角形的中线定义得出AD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可。18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点，∴BE=12AC∴BE=DE，∴△BED是等腰三角形（2）150【解析】【解答】（2）∵AE=ED，∴∠DAE=∠EDA，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，∠EAB+∠EBA=∠BEC，∴∠DAB=1∵△BED是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠BAD=30°，∴∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°．故答案为：150．

【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质可得BE=DE，即可得到△BED是等腰三角形；

（2）根据△BED是等边三角形，可得∠DEB=60°，再利用角的运算求出∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°即可。19．【答案】（1）B（2）解：∵x∴(x+3y)(x−3y)=12∵x+3y=4∴4(x−3y)=12∴x−3y=3；（3）解：(1−=(1+12==2021【解析】【解答】解：（1）根据阴影部分的面积可得a故上述操作能验证的等式是B；【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积，即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可.20．【答案】（1）−（2）±3（3）解：由规定的运算可得：(整理得：4x=−16，解得：x=−4．【解析】【解答】（1）解：原式=2×=−6÷4=−3故答案为：−3（2）解：原式==x由题意得：−k∴k=±3，故答案为：±3；

【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；

（2）根据题干中的定义及计算方法可得x2+(3y)2−2k3x(21．【答案】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，90x=x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件（2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，y<48−y15y+25(48−y)≤1000解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．22．【答案】（1）解：AM=CN，AM∥CN理由如下：∵AD∥BC，∴∠1=∠2，又O是AC中点，∴OA=OC，在△AOM和△CON中，∠1=∠2∠AOM=∠CON∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM=CN，∴AM=CN，AM∥CN；（2）解：成立，图2中：∵AD∥BC，∴∠1=∠2，又O是AC中点，∴OA=OC，在△AOM和△CON中，∠1=∠2∠AOM=∠CON∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM=CN，∴AM=CN，AM∥CN；图3中：∵AD∥BC，∴∠1=∠2，又O是AC中点，∴OA=OC，在△AOM和△CON中，∠1=∠2∠AOM=∠CON∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM=CN，∴AM=CN，AM∥CN；【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△AOM≌△CON，可得AM=CN，AM∥CN；

（2）方法同（1），利用全等三角形的判定方法和性质求解即可。23．【答案】（1）EF=BE+FD（2）解：（1）中的结论仍成立，证明：延长CB至M，使BM=DF，∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AF=AM，∠2=∠3，∵∠EAF=1∴∠2+∠4=1∴∠3+∠4=∠EAF即∠MAE=∠EAF，在△AME和△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF∴△AME