贵州省毕节市2021届高三年级上册诊断性考试文科数学试卷（一）及答案

2021年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷（文科）（一）

题号—•二三总分

得分

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A=｛（x,y）|/+y2<3,x6Z,yGZ],B=｛（x,y）|y=x｝>则4nB中

的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.设复数z满足（遮一i）z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）

A.4B.2C.V2D.1

3.设〃?，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）

A.若m〃n,n1a,a〃0,则7n1。

B.若ml。，n_L0,nla,则m1a

C.若mla,m//n,n//p,则al£

D.若m1.n,mua,nu0,则a10

3%—y+1>0

4.若x,y满足约束条件x+2y-2W0,则2=彳+丫的最大值为（）

,4x+y—8<0

A.1B.2C.5D.6

5.袋子中装有大小相同的2个红球和2个白球，不放回地依次从袋中取出两球，则取

出的两球同色的概率为（）

A.；B.；C.|D.：

3234

6.函数/（x）=〃+/-2x的图象在点（0,/（0））处的切线方程为（）

A.x+y-1=0B.x+y+l=0C.2x+y+1=0D.2x+y-1=0

7.各项均为正数的等比数列满足logs的+log3a2-Hlog3ali=-11，a7=

则数列｛an｝的前4项和为（）

A.20B.100C.HOD.120

8.在矩形A8C£＞中，AB=近，BC=2,点/在CQ边上，若荏•布=鱼，则

须+硝•前=（）

A.0B.2C.2A/2D.4

9.宋元时期我国数学家朱世杰在您元玉鉴》中所记载的“垛

积术”，其中“落一形”就是以下所描述的三角锥垛，三角锥司公近

垛从一上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6

个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球三角摊垛.

的个数为()

A.91

B.105

C.120

D.210

10.已知圆G：/+y2—kx—2y=0和圆C2：%2+y2—2ky—2=0相交，则圆G和

圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

11.设Fi，尸2分别为双曲线C；盘一5=1(£1>0方>0)的左、右焦点，过点F]的直线/

与C的一条渐近线交于点P,若PF2^x轴，且点尸2到/的距离为2a，则C的离心

率为()

A.V2B.V3C.V5D.2V2

12.若兀。一兀而=，oge2(eb)—则()

A.a2>bB.2a>bC.a2<bD.2a<b

二、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.若一组数据3/一1,3次一1，...，3&-1的平均数为8,则另一组数据与，尤2，…，&的

平均数为.

14.已知圆锥的底面直径为2,侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为.

15.已知抛物线/=4y上一点A到x轴的距离为相，则直线x+2y+8=0的距离为〃，

则m+n的最小值为.

16.已知函数f(x)=回"2|-2],关于犬的方程|/0)]2+”(吗+匕2-1=0恰有5个

不同实数解，则实数b=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在AaBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(V5c—a)sin4=csinC—

bsinB.

18.(1)求角8的大小；

19.(2)求cosC+sinB+V^cosZ的取值范围.

2

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.毕节市2020届高三年级第一次诊考结束后，随机抽取参加考试的500名学生的数

学成绩制成频率分布直方图(如图).

28.(1)根据频率分布直方图，求元的值并估计全市数学成绩的中位数；

29.(2)从成绩在［70,80)和［120,130)的学生中根据分层抽样抽取3人，再从这3人中随

机抽取两人作某项调查，求着两人中恰好有1人的成绩在［70,80)内的概率.

30.如图,。是以A3为直径的半圆。上异于A,3的点,

△ABC所在的平面垂直于半圆。所在的平面，且

AC=V5,AB=2BC=2.

31.(1)证明：AD1DC；

32.(2)若CO=dL求二面角—B的余弦值.

33.

34.

35.已知椭圆C：搐+、(a>b>0)的离心率为净经过点P(O,1)与椭圆C的右顶点的

直线斜率为-夜.

6

36.(1)求椭圆C的方程；

37.(2)过点尸且与无轴不垂直的直线/与椭圆C交于A,3两点，在y轴上是否存在定

点M使得涌•而=0恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.已知函数/(%)=丁+bx2+c(hcG/?).

46.(1)讨论函数/(%)的单调性；

47.(2)是否存在存c,使得f(%)在区间上的最小值为-1且最大值为1?若存在，

求出力，。的所有值；若不存在，请说明理由.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

4

54.

x=-3—t

55.在直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为62«为参数).以坐标原点为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为p+4cos8=0.

56.(1)写出直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

57.(2)已知点P(—3,0),直线/与曲线C交于A,8两点，△APO,A8P。的面积分别为

Si，S2,求ISi-Szl的值.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

答案和解+析

1.【答案】B

解：:A={(x,y)|x2+丁2<3,xEZ,yGZ),B={(x,y)|y=x],

.-.Ar\B={(-1,-1),(0,0),(1,1)),

・•.4CB中的元素个数为3.

故选：B.

进行交集的运算求出4nB,然后得出4nB中的元素个数.

本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】D

解：因为复数z满足(遮一i)z=23

所以由复数模的性质可得|6-i||z|=|2i|.

所以|ZI=MT：=L

故选：D.

利用复数模的性质求解即可.

本题考查了复数的模，解题的关键是掌握复数模的运算性质，属于基础题.

3.【答案】D

解：4若m〃?i,n1a,可得m_La,又。〃/?,则？n_L/?,正确；

8.若?nl/?,n1.0,可得？n〃n，又九1a,则m_La,正确；

。.若m_La,科g可得nJLa,又九〃/?,则aJL^，正确；

。.若mJ_几，mca,nu0,则。〃£或相交，因此不正确.

故选：D.

利用空间线线、线面、面面位置关系判定与性质定理即可得出结论.

本题考查了空间线线、线面、面面位置关系判定与性质定理，考查了推理能力，属于基

础题.

4.【答案】B

3x-y+120

解：画出约束条件x+2y-2W0表示的平面区域，如图阴影部分所示;

.4%+y-8<0

2

目标函数z=%+y可化为y=-%+z,

平移目标函数知，y=-%+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z取得最大值;

由解"工常，求得4（2.。），

所以Z的最大值为〜似=2+0=2.

故选：B.

画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，代入目标函数求出z的最

大值.

本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，是基础

题.

5.【答案】A

6

解：不放回地依次从袋中取出两球，则取出的两球同色即同为红色或同为白色，

同为红色的概率;x；=同为白色的概率也为:，

4366

故取出的两球同色的概率为£

oo3

故选：A.

不放回地依次从袋中取出两球，则取出的两球同色即同为红色或同为白色，然后结合古

典概率公式即可求解.

本题主要古典概率公式的简单应用，属于基础题.

6.【答案】A

解：,■,/■(%)=ex+%2-2x,••f(x)—ex2x—2,

又/(O)=1,

•・.所求切线方程为y-1=-(%-0),即x+y-1=0.

故选：A.

求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出/X0),利用直线方程的斜截

式得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数,

是基础题.

7.【答案】D

解：•••log3al+log3a2+…+log3ali=...an)=-11,

*,•£1］口2•••=a2i—3”,

a6=3>

Vdr=

则数列｛斯｝的前4项和为81+27+9+3=120.

故选：D.

由已知结合对数运算性质及等比数列的性质可求。6,结合已知即可求解.

本题主要考查了对数的运算性质，等比数列的性质，属于基础题.

8.【答案】C

解：分别以边BC,BA所在的直线为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:

V

4(0,VI),B(0,0),C(2,0),设F(2,y),

则荏=(0,-V2),AF=(2,y-V2).AC=(2.-V2).

：.AB-AF=2->l2y=y[2,解得y=V2-1，

•••F(2,V2-1).而+m=(2,-2&)，BF=(2,V2-1).

■.(AB+AC')-'BF=4-4+2A/2=2V2.

故选：C.

可分别以直线BC,BA为x,y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出

4(0,迎),B(0,0),C(2,0),并设尸(2,y),根据而•存=或即可求出点F的坐标，进而可

得出向量乔和荏+前的坐标，从而可求出(荏+AC)■时的值.

本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量

积运算，考查了计算能力，属于基础题.

9.【答案】C

解：••,“三角形数”可写为：1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+34-4+5,

・•.“三角形数”的通项公式为：即=l+2+3+・“.“+n=W，

・••则这个三角锥垛的第十五层球的个数为由5=3至=120,

故选：C.

二角形数”可写为：1,1+2,1+2+3,+2+3+4,1+2+3+4+5,.・.，所以“二

角形数”的通项公式为：%1=l+2+3+“・...+n=*3,从而求出第15层球的个

数.

8

本题主要考查了合情推理中的归纳推理，等差数列的前"项和公式，是中档题.

10.【答案】B

解：根据题意，圆Ci：/+y2_卜万一2y=0和圆。2：/+丫2-2ky-2=0相交，

(x2+y2-kx-2y=0

、lx2+y2—2ky—2=0'

则圆G和圆C2的公共弦所在的直线为kx-2ky+2y-2=0,变形可得k(x-2y)=

则有&二j%)°，则有&Zi>即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为(2,1),

故选：B.

根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案.

本题考查圆与圆的位置关系，涉及相交弦方程的计算，属于基础题.

11.【答案】B

解：设丘，尸2分别为双曲线C：三一4=l(a>0,b>0)的左、右焦点，

过点弓的直线/与C的一条渐近线交于点P,若PF21x轴，可得P(c,5，

可得直线/的方程为：y=/(x+c),

即：bx-2ay+=0,

点F2到/的距离为2小

可得：照驾=2a,可得炉=2a2,

Vb2+4a2

所以双曲线的离心率为e=Jl+g=V3.

故选：B.

求出P的坐标，推出直线/的方程，然后利用点到直线的距离，转化求解即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，离心率的求法，是基

础题.

12.【答案】A

解：/og/（eb）=1（/ne+Inb）=|+14-InVF,

所以71。—7i花—Loge2（eb）—Ina=14-InVfe-Ina,

即3+InV6+匹=Ina+na,

所以+n证<Ina+兀°，

令/(%)=仇％+乃“，%>0,

因为y=仇》为增函数，y=7r”为增函数，

所以/(%)=Inx+兀”为增函数，

所以仍<Q,即b<a2.

故选：A.

化简10外2(助)=g+InVF,将已知等式转化为T+皿历+兀布=仇。+7T。，可得

InVF+<Ina4-na>令/(%)=+n■七由函数的单调性可得Va,平方可得

b<a2.

本题主要考查对数的运算，对数值大小的比较，考查转化思想与函数思想的应用，属于

中档题.

13.【答案】3

解：设数据％1，不，…，出的平均数为工，

则数据3与-1,3%2-1,3%8-1的平均数为祓-1=8,

所以％=3,

故答案为：3.

设数据与，孙，…，小的平均数为工则数据3/一1,3%2-1,3&-1的平均数为

3x-1=8,即可求解.

本题考查了数据的平均数，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

14.【答案】匣

3

解：圆锥的底面直径为2,所以底面圆的半径为丁=1,

由侧面展开图为半圆，所以271T=加，

所以母线长为1=2丁=2,

所以圆锥的高为八=V/2—r2=V4—1=W，

所以圆锥的体积为^=-nr2h=-rixI2xV3=逅^.

圆锥333

故答案为：&.

3

根据题意求出圆锥的底面半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积.

本题考查了圆锥体的结构特与体积计算问题，是基础题.

10

15.【答案】2遥一1

解：/=4y的焦点F(O,1),准线为

y=-1,

由椭圆的定义可知：点A到准线的距

离等于点A到焦点厂的距离，

从而A到x轴的距离等于点A到焦点

尸的距离减L

过焦点尸作直线x+2y+8-0的垂

线，此时m+n=|4尸|+n-1最小,

则|2用+兀=等=2遮，

则m+n的最小值为2遮-1.

故答案为：2b-1.

点A到准线的距离等于点A到焦点厂的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F

的距离减1,过焦点尸作直线x+2y+8=0的垂线，此时m+n=+n-1最小,

利用点到直线的距离公式求得m+n的最小值.

本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的运用，考查转化思想，属于中

档题.

16.【答案】-1

解：绘制函数f(x)的图像如图所示:

当t>1时，/(%)=1有2个实数根，

当0<t<1时，/(x)=，有4个实数根，

令t=/(x),则关于，的方程£2+况+炉—1=0有一个根为1,另外一个根为0或者另

外一个根大于1,

令t=1可得：l+b+b2—i=o,则b=。或b——1,

b=0时，方程即严-1=0,此时t=l或t=-l,不合题意；

b=—1时，方程即t2—t=o,此时t=o或t=i,满足题意；

综上可得，b=-1.

故答案为：-1.

首先画出函数/(x)的图像，然后结合题意和函数图像即可求得实数b的值.

本题主要考查由方程解的个数确定参数值的方法，分类讨论的数学思想，等价转化的数

学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题.

17.【答案】解：(1)(V5c—a)sinA=csinC—bsinB，

由正弦定理得，y[3ac-a2=c2-b2,

即a?+c2-62=V3ac>

由余弦定理得，cosB=巴止Q=亘,

2ac2

由3为三角形内角得，8=30°,

(2)cosC+sinB+V3cosA=cos(*一A)+遮cosA+1,

12

=——cosA+-sinA+y/3cosA+->

222

1,1..,V3*

4——cosA，

=-2+2-sinA2

=sin(4+g)+3

由0<A<v，得g<4+；<

所以一1<sinQ4+j)<1,

故原式的范围(o,|].

(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cosB,进而可求B,

(2)结合(1),利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求

解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，辅助角公式在三角求解中的应用，

属于中档题.

18.【答案】解：(1)(0.012+0.018+0.025+0.020+x+0.06+0.05)x10=1,解得

x=0.014,

由于(0.012+0.018+0,025)x10=0.55,故中位数落在第三组，

即中位数为90+急x10=98；

(2)从成绩在［70,80)和［120,130)的人数分别0.012x10x500=60人，0.006x10x

500=30人，

则从成绩在［70,80)和［120,130)的抽取的人数分别2人和1人，分别记为a,b,c,

从这3名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：(a,b),(a,c),(b,c)共3种，

其中两人中恰好有1人的成绩在［70,80)内有(a,c),(4c)共2种，

故两人中恰好有1人的成绩在［70,80)内的概率为|.

(1)根据频率分布直方图即可求出x的值，再由中位数公式，即可得出答案;

(2)用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案.

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考

查运算求解能力、数据处理能力，是基础题.

19.【答案】(1)证明：AB为半圆O的直径，所以

AD1DB,

因为4C=V5，AB=2BC=2,f^l^AC2=AB2+BC2,

所以BC_L4B,

又因为△ABC所在的平面垂直于半圆0所在的平面，

所以BC_L平面AB。，所以BC14D,BC1BD,

所以AD1平面8OC,DCBDC,

所以4。1DC.

(2)解：由(1)知BC_LBD,CD=V2,BC=1,

所以BD=J(V2)2+l2=1，所以△B。。为正三角形，

取2。中点E,过E作EF_LAC于R连接OE、EF、DF,

DEIAB,因为平面ABC_L平面AD8,所以DE_L平面ABC,

所以DE1EF,DE1.AC,所以AC1平面。£F,

所以4CJ.F0,所以NEFD为二面角。一AC-B的平面角，

设其大小为。，则tan。=，=—^丁=",所以cos。=尸上=方=四.

EF(1+271N3Vl+tan204

故二面角。-AC-B的余弦值为史.

4

(1)根据直线与平面垂直判定定理证明：(2)寻找二面角的平面角，把问题转化为解直角

三角形求解.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由经过点P(0,l)与椭圆C的右顶点的直线斜率为-理，

6

得上£=—在，即Q=2巡，e=-=—,得c=2或,则b==2,

0—a6a3

所以椭圆c的方程为江+^=1；

124

(2)设直线/：y=kx+l,设N(0,y。)，

y=kx+1

(立+日=］消去y得，(3/+1)*2+6--9=0,

xx

设4(打,力),8。2，及)，WJxi+x2=-5^77-i2=

2

而%+?2=k(%+必)+2,y^2=kxtx2+k(xt+不)+L

福=-y。)，而=(上，丫2-y())，

则福•ws=%!%2+(为一丫0)(及-y0)=*仅2+y/2-y0(yi+%)+M=(1+

fex

+(1-y0)(l+乂2)+%+1=0，

2

代换为k的表达式即(3i+l)y2-2y0-4(3fc+2)=0,

14

即［(31+l)y0-2(31+2)］(y0+2)=0,%为常数时，丫。=一2，

故存在满足条件的点N,点N的坐标为(0,-2).

(1)根据由经过点P(0,l)与椭圆C的右顶点的直线斜率为-立，可求出。的值，然后根据

6

离心率可求出C,进一步求出从而可求出椭圆方程；

(2)设直线/：y=kx+l,设NQ,小),联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出两根

和与积，根据福•而=0建立方程，从而可求出点N的坐标.

本题主要考查了椭圆的标准方程，以及韦达定理的应用，同时考查了转化能力和运算求

解的能力，属于中档题.

21.【答案】解：(l)f(x)=3x2+2bx=x(3x+2b),

当b>0时，令((x)>0,得x>0或％<-y,令/(X)<0,得一半<x<0,

故函数在(一半,0)上单调递减，在(0,+8),(一8,-雪)上单调递增，

当b=0时，/(工)=/+c在R上单调递增，

当b<0时，同理得，函数在(0,-g)上单调递减，在(一日,+8),(-8,0)上单调递增，

(2)假设存在满足条件的6,c,

①当0<b<|时，/(x)在［-1,一g］上