函数的应用（一）（备作业）2021-2022学年高一数学系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

3.4函数的应用（一）

一、单选题

1.（2021•全国高一课前预习）下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】

认真观察图形就可以判断.

【详解】

由图知，"生活费收入指数"减去"生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；

"生活费收入指数”在2014~2015年最陡：故②正确；

"生活价格指数”在2015~2016年最平缓，故③不正确；

"生活价格指数"略呈下降，而"生活费收入指数"呈上升趋势，故④正确.

故选：C.

2.（2021•全国高一课时练习）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，

利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润

的月增长率为X,贝口满足的方程为。

A.10(1+x)2=42

B.10+10(l+x)2=42

C.10+10(l+x)+10(l+2x)=42

D.10+10(1+x)+10(1+x)2=42

【答案】D

【分析】

分别求出二、三份的利润再求和即可.

【详解】

二、三月份利润的月增长率为x,

则二月份获得利润为10<l+x)万元，三月份获得利润为10<+幻2万元，

依题意得：10+10(1+X)+10(1+X)2=42.

故选：D.

3.(2021•全国高一课前预习)某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,

如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是。

A.310元B.300元

C.390元D.280元

【答案】B

【分析】

利用已知条件列方程，化简求得正确选项.

【详解】

5—8001300—800⑺/口2八八

依题意，=———,解得y=3oo.

0—12—1

故选：B

4.（2021•全国高一课前预习）已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商

人持有资金120万元，他可以在h至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽

略不计）.如果他在口时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是。

A.40万元B.60万元

C.80万元D.120万元

【答案】D

【分析】

根据题中数据，分析可得ti时刻买入甲，t2时刻卖出，可获得40（万元），此时全部买入乙，并在时

刻全部卖出，即可求得获得最大利润，即可得答案.

【详解】

甲6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120+6=20（万份），在t2时刻全部卖出，此时获利20x2=40（万

元），

乙4元时，该商人买入乙商品，可以买（120+40）+4=40（万份），在t4时刻全部卖出，此时获利40x2=80（万

元），共获利40+80=120（万元）.

故选：D

5.（2021•全国高一专题练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售K辆该品牌车的利润（单

位：万元）分别为。=-丁+2卜和心=2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（）

A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元

【答案】C

【分析】

根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.

【详解】

设公司在中地销售X辆，则在乙地销售（15-x）辆，公司获利为

L=-x2+21x+2（15-x）=-x2+19x+30=-fx-y^|+30+*,.,.当x=9或10时，L最大,为120万元.

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学问题，

注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题.

6.（2020•江苏省宜兴中学高三月考）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，

据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间，（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据

进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的

时间为（）

7

A.4小时B.4d小时

O

C.4”•小时D.5小时

16

【答案】C

【分析】

根据图像求出函数的解析式，再将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式/（。20.25,可以求出每

毫升血液中含药量不少于0.25微克的起止时刻，它们之间的差值为服药一次治疗疾病的有效时间.

【详解】

由题意，当0341时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1,4）,故其解析式为y=4f,0</<1;

当d1时，函数的解析式为y=（g「，此时M（l,4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=（g「

解得。=3,故函数的解析式为y=,

4r(0</<l)4/>0.25

所以y=〃f)=,,r(-)，令/⑺N0.25,即(1丫3

一NU.ZJ

t>—1115

解得一16,二774r45二服药一次治疗疾病有效的时间为5-二=4启个小时.

1<5161616

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式及解指数不等式，利用函数

图像求出函数的解析式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于一般题.

7.（2021•全国高一课前预习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某

医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第"天，每个检测对象从接受检测到检测报

告生成平均耗时《〃）（单位：小时）大致服从的关系为［〃）=；«、M为常数）.已知第16

—/旦=，〃2N。

天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检

测过程平均耗时大致为。

A.16小时B.11小时C.9小时D.8小时

【答案】C

【分析】

根据题意求得和的值，然后计算出《49）的值即可得解.

【详解】

由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，16<乂，

所以%=16,得r°=64.

ylo

646464

又由西^=8知，N°=64,所以当〃=49时，，(49)=痛=亍=9,

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数模型的应用，求出为和乂的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

8.(2020•全国高一课时练习)如图,将一张边长为1的正方形纸A8CO折叠,使得点8始终落在边上,

则折起的部分的面积最小值为

A—B-C—D—

4852

【答案】B

【分析】

设AB'=x,可证明Rt^MRN=Rt^B'AB,从而可求=；(l+x)、C'N=；(x-l),从

而可得所求梯形MN”的面积表达式为$=m，从而可求其最小值.

【详解】

如图，

过N作与R,则/W=8C=1,连BB',交MN于。，

则由折叠知，VMBQ与MQ关于直线MN对称，即AMBQ=^MB'Q,

有BQ=B'Q,MB=MB',MQ^BB',

■;ZA=ZMQB,NABQ=NABB',：,aMQB"AB,

ABfABBB1

设AS'=x,则BB'=71+X2，BQ=gjl+f,

代入上式得：BM=B'M=^(l+x2),

■：NMNR+NBMQ=90°,ZABB'+ZBMQ=90°,

AMNR=ZABB',在RaMRN和RhB'AB中，

ZMNR=NABB'

:<RN=AB,/.Rt^MRN^Rt^B'AB,：.MR=AB'=x,

NA=ZNRM=90°

®C'N=CN=BR=MB-MR=^[\+X2)-X=-(X-1)2,

•••梯形MNCE的面积为

S=3*-1)2+*”X1=*2-Z)TD+r

13

得当X=:时，梯形面积最小，其最小值I

28

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合

题，有一定的难度，先证明AMQ8~A8A8,再利用相似三角形的性质得出C7V的长，再表示出求出梯

形MNCB'面积，进而求出最小值.

二、多选题

9.(2021•全国高一课时练习)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干

采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：

型号小包装大包装

质量100克300克

包装费0.5元0.7元

销售价格3.00元8.4元

则下列说法正确的是。

A.买小包装实惠

B.买大包装实惠

C.卖3小包比卖1大包盈利多

D.卖1大包比卖3小包盈利多

【答案】BD

【分析】

根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖

3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.

【详解】

大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，

卖1大包的盈利8.407-1.8x3=2.3（元）,卖1小包盈利305-1.8=0.7（元），则卖3小包盈利0.7x3=2.1（元），

则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.

故选：BD

10.（2020•全国高三专题练习）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为

制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取

印刷费，甲厂的总费用必（千元）乙厂的总费用丫2（千元）与印制证书数量X（千个）的函数关系图

分别如图中甲、乙所示，则。

A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B.甲厂的费用H与证书数量x之间的函数关系式为乂=0.5x+l

C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元

D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用力与证书数量x之间的函数关系式为%=；》+1

E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用

【答案】ABCD

【分析】

对于A、B结合图像便可看出》是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1「元，一次

函数的斜率为0.5即为证书的单价；

对于C,用2到6千个的费用除以证件个数计算即可得解；

对于D,设函数解析式后用待定系数法解答即可：

对于E,分别求出甲乙两车的费用N关于证书个数x的函数，将x=8分别代入两个函数，可得出选项乙

厂可省500元；

【详解】

由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；

甲厂的费用M与证书数量x满足的函数关系为％=0.5x+l,故B正确；

当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3+2=1.5元，故C正确；

易知当x>2时，力与x之间的函数关系式为%=；x+|,故D正确

159

当x=8时，yi=0.5x8+l=5,y2=^-x8+j=|,因为所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节

省费用，故E不正确.

故选ABCD

【点睛】

本题考查图像辨析题，需分别求出两个函数表达式，属于基础题.

三、解答题

11.(2021•全国高一课时练习)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情

况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是关于车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车

流密度达到200辆/千米，造成阻塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过2()辆/千米时，车流速度为

60千米/时，研究表明，当20VxM200时，车流速度v是车流密度X的一次函数.

(1)当0VXV200时,求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度尤为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)

/(x)=x-n(x)可以达到最大？并求出最大值.(结果精确到1辆/时)

60,0<x<20

【答案】(1)v(x)=]i；(2)x-100,最大值为3333.

-(200-x),20<x<200

【分析】

(1)分两段进行讨论，当04xW20时，容易得到答案，当20<x4200时，设出函数解析式，再将点(200,0)

和(20,60)代入解出即可;

(2)由(1)写出函数解析式，分两段分别求出函数的最大值，进而得到答案.

【详解】

(1)由题意得，当04xM20时，v(x)=60,

[200a+/?=0

当20<xW200时，设v(x)=or+6,由已知得”,加，

20。+。=60

1

a=—60,0<x<20

3

解得,故函数v(x)=<^1(200-x),20<x<200

f200

3

60x,0<x<20

（2）依题意得,小）=卜（2。。-02。</2。。,

当xc[0,20]时，/（x）为增函数，此时，047（x）41200,

111nnnn

当xe(20,200］时，/(x)=y(200-幻=-炉-100)2+,

最大值为/(100)=外9>1200,

.•.当x=100时•，/(X)的最大值为岑也=3333.

12.（2020・江苏）党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关

于"十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重

要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽

车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备,

通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万

I0X2+500A:,0<X<40

元，且C（x）=10000心.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部

901x+------4300,%>40

.x

销售完.

（1）请写出2020年的利润“X）（万元）关于年产量、（百辆）的函数关系式；（利润=销售一成本）

（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

-10x2+400x-2500,0<x<40

【答案】（1）如）=1。。++等）,x“。：⑵当2。20年生产1。0百辆时,该企业获得利

润最大利润为1600万元.

【分析】

（1）由投入成本为分段函数，可得以利润“X）也分0<x<40、x240两种情况进行讨论即可；（2）

当0<x<40时，Z（X）=-10（X-20）2+1500,利用二次函数求最值的思路即可，当x240时，利用基本不

等式即可.

【详解】

（1）当0<x<40时，£（X）=9X100X-10X2-500X-2500=-102+400X-2500；

当玲10时，"x）=9xl00x-901x-如也+4300-2500=1800-1+幽斗

-10f+400%-2500,0<x<40

所以“%）=•一

1800.x+,x>40

（2）当0<x<40时，L（X）=-I0（X-20）2+I500,

当x=20时，£（%）_=15（X）；

10000<1800-2jx-^^=1800-200=1600.

当x240时,L（x）nm=1500%>40L（x）=1800-x+--------

X

（当且仅当尤=色”即x=100时，"="成立）

X

因为1600>1500

所以,当x=100时,即2020年生产100百辆时,该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.

答：（1）2020年的利润L"）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为

-10x2+400x-2500,0<x<40

L（x）=\（10000、

''1800-1x+--------l,x>40

（2）当x=100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.

【点睛】

本题关键点在能够读懂题意，明确利润也分0<x<40、x，40两种情况进行讨论.

13.(2020•全国高一课时练习)用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，

但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用了单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗

前残留的农药量之比为函数Ax)=Jr.

2+x

(1)(i)试解释/⑼与f。)的实际意义；

(ii)写出函数/(x)应该满足的条件和具有的性质；

(2)现有4(“>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后

蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由.

【答案】(1)(i)详见解析(ii)详见解析(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】

(1)(i)结合题意理解即可说出具体意义；

(ii)可结合生活实际和函数表达式特征加以理解农药残留肯定越来越少，第二个特点是农药始终会

有残留；

2U/64

(2)需根据题意表示出一次清洗的农药残留量叫,和分两次清洗的农药残留量吗==(8+*2，

通过作差法，再结合分类讨论思想，可进一步确定农药残留的多少

【详解】

解：(1)(i)/(0)=1,表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1.

.八1)=；2，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的;2.

(ii)函数fa)在［0,+8)上单调递减,并且有0</(x)4L

（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1,用〃单位量的水清洗1次后，残留的农药量为”,则

叱=1x/（a）=—.

2+。

如果用7单位的水清洗1次，则残留的农药量为1x/传］=士，

2\2/o+Cl

然后再用］单位的水清1次后，残留的农药量为叱=/21］）=滞干.

2642a2（a2-16）

由于叱-吗=丁三-7—中=;一为一（，所以，叱一吗的符号由“2-16决定.

2+“（8+叫（2+叫（8+吟

当。＞4时，叱）吗.此时，把。单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；

当“=4时，叱=叱.此时，两种清洗方法效果相同；

当。＜4时，叱〈吗.此时，用。单位的水清洗一次，残留的农药量较少.

【点睛】

本题考查函数模型在生活中的实际应用，作差法在比大小中的应用，分类讨论思想的具体应用，属于

中档题

14.（2020•全国高一课时练习）李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6

元.

方案二：不收管理费，每度0.58元.

（1）求方案一收费元与用电量、（度）间的函数关系

（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好?

3O：（2）

【答案】（1）〃x）=O,6^U＞3O'25度到50度范围内（不含25、50度）时，选择方案

一比方案二更好.

【分析】

(1)分0(x430,x>30两种情况讨论即可求收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系；

(2)通过分另IJ令04x430和x>30Hj£(x)<0.58x计算即可得出结论.

【详解】

(1)当04x430时，A(x)=2+0.5x.

当x>30时，L(x)=2+30x0.5+(x-30)x0.6=0.6x-l.

(、j2+0.5x,0<x<30

"⑴一1o.6x—Lx>3O

(2)设按第二方案收费为尸(x)元,则>(x)=0.58x.

当04x430时.，由L(x)〈尸(x),得2+0.5x<0.58x」.x>25

25<x<30.

当x>