系统仿真 第 8 章 设计方案的比较与评价

第八章

设计方案的比较与评价8.1引言8.2两个系统设计方案的比较8.3k个系统设计方案之间的比较8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型如何运用仿真对系统进行评价系统参数的随机性对系统输出结果的影响系统特征参数的确定与选择(系数、运行规则等)系统特征参数的评价8.1引言生产系统的设计方案系统的设备形式、数量、参数；系统作业的工艺流程；系统的控制方法（手动、半自动、全自动）系统的布置形式；（包括生产物料的流动方式）系统的运行策略（库存保证、订单生产、供应链生产）；生产调度策略；生产系统的人力规划；8.2两个系统设计方案的比较系统的比较系统的比较是基于系统的同一参数（设计参数、运行规则等同一定义下的系统特征）。这一（或这些）参数在系统的重复运行中可以得到的输出数据（可观测的）。对于两个系统的设计方案进行比较，可用θi(i=1，2)来表示系统i的性能（系统均值性能）。如果是稳态仿真，保证θi的估计是近似无偏的。仿真实验的目标是要获得均值性能之间的差别，即θ1－θ2的点估计及其区间估计。8.2两个系统设计方案的比较系统仿真的关键参数稳态仿真的关键参数有下列几个：仿真模型的稳态运行时间TE

模型的重复运行次数Ri系统i的第r次重复运行产生均值性能测度θi的一个估计Yri。假设估计值Yri是(至少近似是)无偏的，那么

8.2两个系统设计方案的比较系统性能的比较计算两个性能测度之间的差别θ1－θ2的置信区间，可用来回答以下两个问题：①

均值差别有多大，以及均值差别的估计有多准确?②

两个系统之间有显著的差别吗?8.2两个系统设计方案的比较系统性能比较的三种可能如果θ1－θ2的置信区间绝大部分在零的左侧，那么θ1－θ2<0或等价地θ1<θ2的假设便有强的证据。如果θ1－θ2的置信区间绝大部分在零的右侧，那么θ1－θ2>0或等价地θ1>θ2的假设便有强的证据。如果θ1－θ2的置信区间包含零点，那么，根据现有的数据还没有强的统计证据表明一个系统设计方案优于另一个。8.2两个系统设计方案的比较系统性能参数比较的置信区间形式对θ1－θ2的置信区间有下列形式[

，

]是系统i在所有重复运行上的样本均值性能测度f是相应于方差估计的自由度，是在自由度为f的t分布中点处的值s.e.(•)表示指定的点估计的标准偏差。8.2两个系统设计方案的比较例题：正态分布的标准偏差和自由度计算具有相等方差的独立采样

具有不相等方差的独立采样

相关采样

8.2两个系统设计方案的比较具有相等方差的独立采样独立采样是指用不同的且独立的随机数流来仿真两个系统。这意味着{Yr1，r=1，2，…，R1}与{Yr2，r=1，2，…，R2}是统计独立的。于是样本均值的方差由下式给出：i=1，2利用独立采样的性质，与是统计独立的，于是8.2两个系统设计方案的比较具有相等方差的独立采样如果两次独立采样的方差相等，均值性能差别的点估计是样本方差的无偏估计

依据方差相等条件，则的联合估计由下式给出：

它具有f=R1+R2－2个自由度。那么θ1－θ2的置信区间表达式的标准偏差为

i=1，28.2两个系统设计方案的比较具有不相等方差的独立采样

独立采样是指用不同的且独立的随机数流来仿真两个系统。这意味着{Yr1，r=1，2，…，R1}与{Yr2，r=1，2，…，R2}是统计独立的。于是样本均值的方差由下式给出：i=1，2利用独立采样的性质，与是统计独立的，于是8.2两个系统设计方案的比较具有不相等方差的独立采样如果，那么θ1－θ2的近似置信区间w为：均值性能差别的点估计是样本方差的无偏估计点估计的标准偏差自由度f的近似计算式

8.2两个系统设计方案的比较相关采样

相关采样指的是对每一次重复运行，利用相同的随机数来仿真两个系统。因此系统的仿真次数R1和R2相等，为了表达的方便，假设R1=R2=R。对每个第r次重复运行，两个估计Yr1和Yr2不再是独立的，而是相关的。由于对任意两次不同的重复运行利用的是独立的随机数流，那么Yr1和Yr2之间仍然是独立的r≠s。利用相关采样的目的是让Yr1与Yr2产生正相关，并从而达到使均值差的点估计的方差减小的目的。8.2两个系统设计方案的比较相关采样方差的一般表达形式ρ12为Yr1与Yr2之间的相关系数，与r无关。

令相关采样的方差为Vcor

令独立采样的方差(设R1=R2=R)称之为Vind

VcorVind=-如果相关采样是正相关，那么ρ12将是正的，于是较小的方差意味着基于相关采样的估计更为准确。8.2两个系统设计方案的比较相关采样数据的置信区间计算

令Dr=Yr1－Yr2，于是Dr(r=1，2，…，R)是独立的、具有相同分布的随机样本，其样本均值样本方差它具有自由度f=R－1。对θ1－θ2的置信区间估计中的标准偏差为式中当工作正常时(即ρ12>0)，在给定样本量下，相关采样产生的置信区间要比独立采样所产生的来得短。8.2两个系统设计方案的比较多系统设计方案的比较方法多系统设计方案的比较方法较多，主要可以分为两种固定样本量法时序采祥(或多阶段采样)法1.预先确定出仿真的样本量(包括运行长度TE以及重复运行次数R)2.通过假设检验和/或置信区间作出论断固定样本量法的优点是在进行仿真实验前，花费计算机机时是已知的，适用于机时有限或作些初步研究。固定样本量法的主要缺点是不可能有强有力的结论，例如，置信区间对实际应用来说可能太宽或假设检验可能导致不拒绝零假设。需要收集越来越多的数据一直到估计值达到预先给定的准确度，或者一直到从几个可供选用的假设中选出一个为止。8.3k个系统设计方案之间的比较多系统设计方案的比较方法假设要计算总共C个置信区间，其中第i个置信区间具有的置信系数1-

i。令第i个置信区间是一个命题，称之为Si，对给定的一组数据它可以为真或假，为真的概率为1-

i。那么Bonferroni不等式是P(所有命题Si为真，i=1，2，…，C)≥1－称为总误差概率。等价于

P(一个或多个命题Si为假，i=1，2，…，C)于是给出了结论为假的概率的上界。8.3k个系统设计方案之间的比较例题：总误差概率的分解当进行一个作C次比较的实验时，首先选择总误差概率，比如说

E=0.05或0.10。单个的

j可以选为相等()或不相等。由于

j的值比较小，则第j个置信区间将比较宽。例如总置信水平要求1-

E=95%，当要作10个比较时，那么对所关心的差数(或差别)去构造10个1-

J=99.5%的置信区间。当进行大量比较时，Bonferroni法的主要缺点是每一单个区间宽度增加。课本上的例题表明：Bonferroni法适用于少量设计方案进行比较，其上限不要超过10个方案为宜。

8.3k个系统设计方案之间的比较例题：总误差概率的分解对一组给定的数据和一个大的样本量，设样本量C=10，如果每个样本的误差区间

j相同，若1-

j

=99.5%，

j

/2=0.0025，这样的样本置信区间宽度将是总置信区间宽度（1-

E

=95%）的1.43倍，即：对小样本量来说，比如当样本量C为5时，99.5%的置信区宽度将是95%的置信区间宽度的1.99倍8.3k个系统设计方案之间的比较Bonferroni不等式可达到的三个目标单个置信区间

Bonferroni法给出的置信区间是最低可能的总置信水平。与现有系统进行比较

Bonferroni法将所有其它系统方案的置信区间与现有系统的置信区间进行比较所有可能的比较对所有的设计方案进行相互比较，即对任意两个系统的设计方案i≠j，构造θi－θj的置信区间。对于k个设计方案，则要计算的置信区间数是C=k(k－1)/2。总置信系数的下限是8.3k个系统设计方案之间的比较试验统计设计的目的试验的统计设计是设计并评价试验的一组原则。在统计学中，系统的输入变量，如决策变量、结构假设以及随机变量的参数，都称为因子。因子的每一可能的值叫因子的水平。全部因子在给定水平上的一个组合叫一个“处理”。若仿真在相同的处理下运行，但利用的是独立随机数流时，就认为是作了一次独立重复运行试验。统计设计的目的就是确定各种因子对响应变量的影响。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型因子的分类定性因子是用一系列定性的策略描述的规则、逻辑等。例如：排队规则，如采用FIFO还是采用优先权；定量因子可以用数值来表示，如并行服务台数，到达速率及定货策略等。其它的因子分类：受控因子和非受控因子某些因子在管理控制之下并能随意变化，这些因子统称为决策变量或策略变量，如并行服务台数和定货策略。其它的因子，如随机到达速率或随机需求速率，都不能由管理人员来控制。然而，在仿真模型中，像需求速率这样的非策略变量也可以由分析员来控制。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型试验统计设计的目的就系统本身来讲，即使某些输入变量没有在策略制定者控制之下，但这些随机变量的特定值却可由分析员在一定程度上由指定所用的随机数种子和随机数流来控制。随机波动源被慎重地引进到模型中是为了准确地表示系统行为。另一方面,仿真实验没有受到具体试验的外部波动的影响，如量测误差的影响。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型单因子完全随机化试验设计首先考察只有一个因子可以影响响应变量Y的情况。这是完全随机化试验设计中最为简单的问题。对一个排队系统来讲，单个因子可以是排队规则，它可能有三个水平，如先到先服务，或有优先级的服务，或轮流服务。排队规则是一个定性的策略因子的例子，当仅有一个因子，该因子具有k个水平时，该试验称为单因子试验。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型单因子完全随机化试验设计的统计模型具有k个处理水平的单因子完全随机试验设计的分析所采用的统计模型是

Yrj

=μ+τj+εrjr=1，2，...，Rj；j=1，2，...，k式中，Yrj是因子在第j个水平时，响应变量的第r个观察值，μ称之为总的平均影响，τj是由于因子的第j个水平所引起的影响，εrj是在水平j之下第r个观察值的“随机误差”，而Rj是在水平j时的观察次数。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型单因子完全随机化试验设计统计模型的分析假设随机偏差项εrj具有零均值、协方差为σ2的正态独立分布。参数μ及τj被假设是固定的且满足。当因子的水平可由分析人员选定时，这种模型称为固定影响模型。如果因子的水平不能被选定，而是从某一总体中随机选择出来的，τj假设是正态分布，那么得到的是随机影响模型。这里仅讨论固定影响模型。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型单因子固定影响完全随机试验的初步分析由统计假设检验组成：

H0：τj=0， j=1，2，…，k即因子的水平对响应没有影响。单向方差分析可用于上述统计检验。该检验本身是由计算F统计量并把它的值与一适当的临界值进行比较组成。如果假设H0没有被拒绝，那么分析人员可得出结论：对因子的所有水平的平均响应是μ，即因子对响应变量没有明显的影响。如果假设H0被拒绝，那么分析人员有理由相信因子的水平对平均响应有某些影响。

8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型F统计量的单向方差分析检验方法该检验基本上是把观察到的Yrj的变动分成两个成分，其中一个成分是由因子的水平所引起的，而另一成分是由于被仿真的过程所固有的变动所引起的。首先，把观察到的响应Yry作成数据观测表，并计算总数T•j和T••，以及第j个水平的样本均值和整个样本均值或总均值。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型数据观测表第r次重复运行单因子的水平j

12…j…K1Y11Y12…Y1j…Y1k2Y21Y22…Y2j…Y2k┇┇┇┇┇Rj……总数T•1T•2…T•j…T•k均值……第r次重复运行单因子的水平j

12…j…K1Y11Y12…Y1j…Y1k2Y21Y22…Y2j…Y2k┇┇┇┇┇Rj……总数T•1T•2…T•j…T•k均值……第r次重复运行单因子的水平j

12…j…K1Y11Y12…Y1j…Y1k2Y21Y22…Y2j…Y2k┇┇┇┇┇Rj……总数T•1T•2…T•j…T•k均值……第r次重复运行单因子的水平j

12…j…K1Y11Y12…Y1j…Y1k2Y21Y22…Y2j…Y2k┇┇┇┇┇Rj……总数T•1T•2…T•j…T•k均值……仿真实验的观测值记录第j个仿真实验处理时所有响应之和：T••仿真实验所有响应之总和重复运行的总次数Y••整个样本的均值8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型方差估计的计算方法为了估计计算方差，我们先观察下列算式该式反映了仿真响应变量围绕整个样本均值的变化这种变化由两部分组成由于某个仿真处理的均值对总体均值之差由于每个响应对该水平的采样均值响应之差对上式两端平方，再对所有r及j求和，可以得到：8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型方差估计的计算方法系统总的平方和可以简单表示为SSTOTAL=SSTREAT+SSE

SSTREAT是由处理引起的平方和SSE

是误差平方和。注意，这里误差是指在水平j时单个响应Yrj与在水平j时采样平均响应的偏差。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型方差的无偏估计如果

rj是系统仿真的协方差，那么其均方差MSE=SSE/(R－k)是响应变量Y的方差σ2的无偏估计，即E[MSE]=σ2。如果统计假设检验组成：H0：τj=0， j=1，2，…，k成立，则MSTREAT=SSTREAT/(k－1)是响应变量Y的方差σ2的无偏估计。在任何情况下，MSTREAT与MSE是统计独立的。SSTREAT/σ2是自由度为(k－1)的χ2分布。SSE/σ2是自由度为(R－k)的χ2分布。用以检验统计量的检验式为：这个检验统计量是具有自由度为(k－1)与(R－k)的F分布。8.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型单向方差分析检验的判别设检验的显著性指标100(l－α)%，这里l－α是具有自由度为k－1以及R－k的F分布在临界值为F1-

处的概率。

注意： k——单因子的水平总数； R——各因子水平的运行总次数。如果F<F1-

，则接收零假设H0如果F>F1-

，则拒绝零假设H08.4用以估计不同的设计方案效果的统计模型两因子的析因设计——模型

二因子模型，其统计模型为

Yijr

=μ+Qi

+Nj

+QNij

+εijr

i=1，2，…，q；j=1，2，…，n；r=1，2，…，R式中Yijr是响应变量Y在第一因子为水平i，第二因子为水平j时的第r个响应的观察值。Yijr是一个全随机设计，即在一个处理里的所有重复运行以及所有处理上的所有重复运行都是统计独立地做出的。随机偏差项εijr，假设是服从零均值、协方差为σ2的独立、正态分布。μ是系统总的平均影响Qi是因子Q在水平i下的影响Nj是因子