江苏省南京市2023-2024学年高二上学期数学期末复习练习卷(含答案)

南京市2023-2024学年高二上学期数学期末复习练习卷本卷共150分时间：120分钟一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列，若，则（）A.B．C．D．2.已知直线与直线平行，则（）A． B． C． D．3.已知函数在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．4.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若，则（）A.B.C.D.5.已知正项等比数列，，当取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．6.已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点，设，若内切圆的面积为，则（）A． B．C． D．8.设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列是递增数列，是数列的前项和，公比为，若，，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列 C．D．数列是公差为2的等差数列10.双曲线的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线与双曲线的渐近线相同C.若，则的面积为 D.的最小值为11.关于函数，下列判断正确的是A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且＞，若，则12.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）A.的轨迹方程为B.在上存在点，使在直线C.在上存在点，使得D.在上存在点，使得三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆上存在不同的两点关于直线对称，则.14.已知等比数列的公比为，，则.15.已知点为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为_________.16.若对任意的，且当时，都有，则实数的最小值为_________.四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，，，等差数列的公差大于，若，且成等比数列.⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和．18.（本小题满分12分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线与双曲线交于点A，B两点.记FA，FB的斜率分别为⑴求双曲线C的方程；⑵求的值.19.（本小题满分12分）已知函数.⑴讨论的单调性；⑵若在上的最大值为1，求a的值.20.（本小题满分12分）已知数列满足，且.⑴求；⑵若，求数列的前项和.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.(ⅰ)求的值；(ⅱ)求面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数.⑴求的单调区间；⑵设，证明：对，.参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列，若，则（）A.B．C．D．答案：C解析：因为，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.故选C．2.已知直线与直线平行，则（）A． B． C． D．答案：A解析：由题意得，，即，解得，当时，两直线重合，所以．故选A.3.已知函数在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．答案：A解析：因为函数在点处的切线方程为，所以，，则，所以．故选A.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若，则（）A.B.C.D.答案：D解析：设双曲线的焦距为，由题意可得，.因为，所以，.故选D.5.已知正项等比数列，，当取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．答案：B解析：设正项等比数列的公比为，因为，则，且，所以，又，因为，当且仅当即时，等号成立，此时，所以数列的通项公式为．故选B．6.已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：D解析：因为在上为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则.设，则，所以当时，取最大值为，所以.故选D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点，设，若内切圆的面积为，则（）A． B．C． D．答案：C解析：由椭圆可知长轴长，焦距为，因为内切圆的面积为，所以内切圆的半径为.记内切圆的半径为，的周长为，则，即，所以.故选C.8.设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：B解析：设函数，求导得，因为当时，有恒成立，则，所以在上单调递减.因为是定义在上的奇函数，则，所以是偶函数，则在上单调递增.因为，所以，.又不等式即为，所以由上述可得解集为.故选B.二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列是递增数列，是数列的前项和，公比为，若，，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列 C．D．数列是公差为2的等差数列答案：ABC解析：因为是等比数列，所以，又，所以或，又因为数列是递增数列，所以，所以，则，所以，则数列是等差数列，但公差不是，所以A正确，D错误；因为，所以，则数列是等比数列，所以B正确；由得，，所以C正确.故选ABC.10.双曲线的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线与双曲线的渐近线相同C.若，则的面积为 D.的最小值为答案：ABC解析：A选项中，由双曲线方程,可得即，则离心率为，所以A正确；B选项中，它们的渐近线都是，渐近线相同，所以B正确；C选项中，结合，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，则直线PF的方程为，即，联立方程组，解得，则点，所以的面积为，所以C正确；D选项中，因为点，其中一条渐近线的方程为，所以的最小值就是点F到渐近线的距离，因为点F到渐近线的距离为，所以D错误．故选ABC.11.关于函数，下列判断正确的是A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且＞，若，则答案：BD解析：因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；B选项中，函数，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，又当时，，当时，，所以函数有且只有个零点，所以B正确；C选项中，由，可得当，，，所以C错误；D选项中，由，要证，只要证，即证，显然成立，所以D正确.故选BD.12.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）A.的轨迹方程为B.在上存在点，使在直线C.在上存在点，使得D.在上存在点，使得答案：AD解析：设，因为，所以，则，即，即，所以A正确；曲线的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以B错误；点到圆心的距离为，所以不存在点，使得，所以C错误；设，由得，，化简整理得，，则圆心距为，则两圆内切，所以D正确.故选AD.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆上存在不同的两点关于直线对称，则.答案：解析：由题意得，圆心在直线，代入可得.14.已知等比数列的公比为，，则.答案：解析：设，则，，由题意可得，即，所以.15.已知点为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为_________.答案：解析：设,，，因为动点满足，则，化简得，因为面积的最大值为8，面积的最小值为1，所以，解得，所以椭圆的离心率为.16.若对任意的，且当时，都有，则实数的最小值为_________.答案：解析：由题意得，，则，设，则，因为，所以在上单调递增.因为，令，解得，所以在上单调递增，所以，即实数的最小值为.四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，，，等差数列的公差大于，若，且成等比数列.⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和．解析：⑴因为，所以，所以，即，当时，，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.⑵设公差为，由，得，因为成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，所以，因为，所以，．18.（本小题满分12分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线与双曲线交于点A，B两点.记FA，FB的斜率分别为⑴求双曲线C的方程；⑵求的值.解析：⑴设双曲线的方程为，由题意知，，该双曲线的渐近线方程，又双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，所以双曲线C的方程为.⑵设，由，消去x化简可得，，所以，，所以．19.（本小题满分12分）已知函数.⑴讨论的单调性；⑵若在上的最大值为1，求a的值.解析：⑴的定义域为，，当时，，在上单调递减.当时，令，得，则的单调递减区间为；令，得，则的单调递增区间为.⑵由⑴知，当时，上单调递减，所以，则.当时，，在上单调递减，所以，则不合题意.当时，，因为，所以，则不合题意.综上，．20.（本小题满分12分）已知数列满足，且.⑴求；⑵若，求数列的前项和.解析：⑴因为，，，所以，令，所以，所以是首项，公比的等比数列，所以，则.⑵因为，设，，令的前2n项和为，的前2n项和为，则，且，所以.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.(ⅰ)求的值；(ⅱ)求面积的最大值.解析：⑴由题意知又，解得，所以椭圆的方程为⑵由⑴知椭圆的方程为.(ⅰ)设由题意知.因为又，即所以，即(ⅱ)设将代入椭圆的方程，可得，由可得①则