广东省肇庆市重点学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

肇庆市重点学校2023—2024学年度（上）高三年级月考数学试卷2023-10（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则如图阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.2.已知复数满足在复平面内对应的点为，则（）A. B. C.1 D.3.已知向量，.若，则（）A. B.2 C. D.04.已知函数，则（）A.1 B. C.0 D.5.若，则（）A. B. C. D.36.若满足，且，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或直角三角形7.如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（）A. B.C. D.8.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（）A. B. C. D.二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（）A.为等比数列 B.为等差数列C.为等比数列 D.若，则10.下列结论正确的是（）.A.若是无理数，是有理数，则是无理数B.若，则C.若“，”是真命题，则D.已知，是方程的两个实根，则11.已知函数（）的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于对称C.在上单调递减 D.的图象关于直线对称12.已知函数，，若，，则的可能取值为（）A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数、满足，则的最小值为______.14.曲线在处的切线方程为______.15.已知等比数列的前项和（），则______.16.已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为______.四、解答题17.（10分）已知向量，，且函数.（1）求的解析式与最小正周期；（2）求在区间上的值域.18.（12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：.19.（12分）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润（单位：万元）关于年代加工量（单位：万件）的函数解析式.（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大？并求出年利润的最大值.20.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角；（2）记的面积为，的周长为，若，求的取值范围.21.（12分）已知函数的首项，且满足.（1）求证为等比数列，并求.（2）对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.22.（12分）已知函数（为自然对数的底数）在处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）若在内有两个零点，求的取值范围.2023—2024学年度（上）高三年级月考数学试卷参考答案1.D【分析】首先求出集合、，依题意图中阴影部分表示的是，根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：，所以所以故选：D2.C【解析】由题意得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由题意，，则，∴.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.3.D【分析】根据平面向量线性运算法则，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，故选：D4.A【分析】先求得，然后求得.【详解】，.故选：A5.C【分析】结合二倍角公式以及同角的平方关系化简得到，进而结合同角的商数关系得到关于的式子即可求出结果.【详解】因为，故选：C.6.B【分析】由正弦定理可得，结合，可得，，即，分析即得解【详解】由正弦定理，以及，可得代入，可得，∴，故，∴故为直角三角形故选：B7.B【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.【详解】解：过点分别作交于点，作交于点，已知，，∵，则和，则：且，即：且，所以，则：，所以，解得：，同理，和，则：且，即：且，所以，则：，即，所以，即，得：，解得：，∵四边形是平行四边形，∴由向量加法法则，得，所以.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.8.A【分析】由题意，，代入，运算即得解【详解】由题意，，代入可得故，∴故选：A9.BC【分析】对于选项A，利用等比数列的定义判断即可；对于选项B，C，利用举反例的办法判断即可，对于选项D，先求出，，的值，再利用即可求出的值.【详解】解：令，则（），所以是等比数列，选项A正确；若，则无意义，所以选项B错误；当时，，此时不是等比数列，所以选项C错误；若，则，，，由是等比数列，得，即，解得，所以选项D正确.故选：BC.10.BCD【解析】举反例可判断选项A；利用基本不等式求最值可判断选项B；根据二次函数的最小值大于等于0求出的范围可判断选项C；由根与系数的关系可得，，将通分，即可求的值，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：当，时，是有理数，故选项A错误；对于选项B：因为，所以，则（当且仅当时，等号成立），故选项B正确；对于选项C：由题意可得，解得：，故选项C正确；对于选项D：由题意可得，，则，故选项D正确.故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.BD【分析】先利用的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.【详解】因为的图象对称轴与对称中心的最小距离为，所以，即，即选项A错误；由，得，即，因为，所以的图象关于对称，即选项B正确；当时，则，所以在上单调递增，即选项C错误；因为，所以的图象关于直线对称，即选项D正确.故选：BD.12.ABC【分析】首先把变形为，再结合函数的单调性及图象可得到；从而把转化为，利用导数求函数的最大值即可.【详解】由题意得，，即，由，得，由得；由得，所以在单调递减，在单调递增，又时，；时，，所以作出函数的图象如图所示，由图可知，时，有唯一解，所以由，得，且，所以，设（），则，由得，易得在单调递增，在单调递减又，所以时，.故选：ABC.13.8【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故答案为：8.14.或【分析】求导得，故，再结合和直线的点斜式方程得切线方程，【详解】解析：因为，所以.又，故曲线在处的切线方程为，即或15.1458【分析】根据等比数列前项和的递推公式，求出，代入即可求解.【详解】因为等比数列的前项和（），当时，，当时，，因为为等比数列，所以公比，则，所以，故答案为：1458.16.【分析】化简，得，转化为在区间上存在最小值，根据余弦函数的性质可得结果.【详解】，因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，由，得，所以，即.故答案为：17.（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知条件列出方程组即可得出答案；（2）结合（1）中的通项公式，利用裂项相消法求出数列和，然后利用放缩法即可得出答案.【详解】（1）设公差为，由题，解得，.所以.（2）由（1），，则有.则.所以.18.（1），最小正周期为；（2）.【分析】（1）根据时，，求得，利用，结合向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，即可求得，进而求得最小正周期；（2）由，可得，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，，当时，，，又由，可得，解得，即，，所以，即函数的解析式为，最小正周期为.（2）由，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，所以函数的值域为.19.（1）2.（1）（2）当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，即可结合的表达式求解，（2）根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值.【详解】（1）当时，；当时，.故（2）当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线所以在上单调递增，故（万元）；当时，，当且仅当，即时，等号成立.即当时，（万元）.因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.20.（1）；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再由余弦定理求解作答.（2）根据已知结合三角形面积公式求出的函数关系，再利用均值不等式求解作答.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，由余弦定理得，，所以.（2）由（1）知，，即，于是，因为，即有，解得，当且仅当时取等号，又，因此，有，所以的取值范围为.21.【分析】（1）由已知可推得，变形可得，即可得出证明.由已知，进而得出，整理即可得出答案；（2）分组求和得出.根据错位相减法求，得出，即可得出，然后根据，即可得出答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，所以.又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以.（2）因为，所以.设，所以，所以，所以，所以.因为，所以，所以，所以.22.（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【分析】（1）先由切线