全国一卷五省优创名校2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

全国一卷五省优创名校2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列中，，，则的值为（）A．51 B．34 C．64 D．5122．已知圆C与直线和直线都相切，且圆心C在直线上，则圆C的方程是（）A． B．C． D．3．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线所成角的大小为（）A． B． C． D．4．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A． B．C． D．5．已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（）A． B．C． D．6．已知两条直线与两个平面，给出下列命题:①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确的命题个数为A．1 B．2 C．3 D．47．设函数，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图是函数一个周期的图象，则的值等于A． B． C． D．9．在△ABC中，点D在边BC上，若，则A．+ B．+ C．+ D．+10．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，是第三象限角，则.12．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为________.13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________.14．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．16．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，.（1）当为何值时，与垂直？（2）若，，且三点共线，求的值.18．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.1．②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-19．如图，在平面四边形中，，,,,．（1）求的长；（2）求的长．20．已知函数的部分图象如图所示.（1）求与的值；（2）设的三个角、、所对的边依次为、、，如果，且，试求的取值范围；（3）求函数的最大值.21．已知向量,的夹角为,且,.(1)求；(2)求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

根据等差数列性质;若，则即可。【题目详解】因为为等差数列，所以，，所以选择A【题目点拨】本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中若，则，属于基础题。2、B【解题分析】

设出圆的方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可【题目详解】∵圆心在直线上，∴可设圆心为，设所求圆的方程为，则由题意，解得∴所求圆的方程为．选B【题目点拨】直线与圆的问题绝大多数都是转化为圆心到直线的距离公式进行求解3、C【解题分析】

根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.【题目详解】如图所示：在正方体中，，所以直线所成角，由正方体的性质，知，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.4、C【解题分析】

根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【题目详解】向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.5、A【解题分析】

由圆心在轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将,两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程.【题目详解】因为圆心在轴上,设圆心坐标为,半径为设圆的方程为因为圆经过,两点代入可得解方程求得所以圆C的方程为故选:A【题目点拨】本题考查了圆的方程求法,关键是求出圆心和半径,属于基础题.6、A【解题分析】

结合线面平行定理和举例判断.【题目详解】若，则可能平行或异面，故①错误；若，则可能与的交线平行，故②错误；若，则，所以，故③正确；若，则可能平行，相交或异面，故④错误；故选A.【题目点拨】本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.7、C【解题分析】

利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【题目详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.8、A【解题分析】

利用图象得到振幅，周期，所以，再由图象关于成中心对称，把原式等价于求的值.【题目详解】由图象得：振幅，周期，所以，所以，因为图象关于成中心对称，所以，，所以原式，故选A.【题目点拨】本题考查三角函数的周期性、对称性等性质，如果算出每个值再相加，会浪费较多时间，且容易出错，采用对称性求解，能使问题的求解过程变得更简洁.9、C【解题分析】

根据向量减法和用表示，再根据向量加法用表示.【题目详解】如图：因为，所以，故选C.【题目点拨】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.10、D【解题分析】

根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．【题目详解】A.，取，显然不成立，所以该选项错误；B.，取，显然不成立，所以该选项错误；C.，取，显然不成立，所以该选项错误；D.，由已知且，所以，即．所以该选项正确.故选：．【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】试题分析：根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.考点：同角三角函数的基本关系.12、【解题分析】

由周期求出，由图象的所过点的坐标求得，【题目详解】由题意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，两根之和为．故答案为：．【题目点拨】本题考查求三角函数的解析式，考查解三角方程．掌握正切函数的性质是解题关键．13、【解题分析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋；甲不输，即甲获胜或和棋，甲不输的概率为14、【解题分析】

两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【题目详解】圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心，半径r为2，且圆心到直线的距离，则公共弦长为．故答案为．【题目点拨】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．15、【解题分析】由三视图知该几何体是一个半圆锥挖掉一个三棱锥后剩余的部分，如图所示，所以其体积为.点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.16、05【解题分析】

根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.【题目详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.【题目点拨】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用坐标运算表示出与；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出，根据三点共线可知，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.【题目详解】（1），与垂直，解得：（2）三点共线，，解得：【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线.18、（1）见解析；（2）①；②3.385万元．【解题分析】

（1）由已知条件利用公式，求得的值，再与比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程求出对应的的值即可.【题目详解】（1）由已知条件得：，这说明与正相关，且相关性很强．（2）①由已知求得，所以所求回归直线方程为．②当时，（万元），此时产品的总成本为3.385万元．【题目点拨】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19、(1)；(2)【解题分析】

（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.（2）在中，计算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.【题目详解】（1）在中，,则,又由正弦定理，得（2）在中，,则，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中,由余弦定理，得所以.【题目点拨】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.20、（1），；（2）；（3）.【解题分析】

（1）由图象有，可得的值，然后根据五点法作图可得，进而求出（2）根据,可得,然后由行列式求出,再由正弦定理转化为，根据的范围求出的范围（3）将化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题.【题目详解】（1）由函数图象可得，解得，再根据五点法作图可得，解得，.（2），由正弦定理知，，，，.（3）令，因为，所以，则，令，因为，所以,则令，则，只需求出的最大值，，令，则，当时，，此时单调递增，当时，