福建省漳州市2022年高考高三毕业班高考模拟（一）试卷数学（文）试题（解析版）

漳州市2022届高三毕业班高考模拟试卷

文科数学(一)

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知复数z=x+yi(x,yeR),若l+i=x+(y-l)i,则=()

A.2B.y/2C.x/5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据向量相等，求解乂丁，再计算复数的模.

【详解】由l+i=x+(y-l>

x=l

即〈II，解得：x=l,y=2,

y-l=l

;.z=l+2i,|Z|=712+22=V5.

故选：c

【点睛】本题考查复数相等，复数的模，属于基础题型.

2.已知集合A=-2x>0},8={x|-2cx<3},则()

A.Ac3=0B.AuB=RC.BoAD.AjB

【答案】B

【解析】

【分析】

先解一元二次不等式，化简集合A,进而判断集合间的关系，以及AcAAuB.

【详解】由X2-2X>0,得：x<0或x>2,.•.集合人={*伙<0或x>2},

AnB=8-2<x<0或2Vx<3},故A不正确.

AUB=R,故B正确，

且A刎8,8A，故C,D选项不正确，故选B

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交并集和集合之间的包含关系；此类题目一般

需要先化简集合，再判断集合间的关系，以及进行交、并集运算.

3.已知向量口,5满足同=1,同=2,忖+同=近，则。力

A.1B.72C.6D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得：(@+5)=求+62+2无5=1+4+2无5=7,

则a•B=1.

本题选择A选项.

【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具

体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

4.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二

斤，中间三尺重几何."意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从

头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”()

A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤

【答案】D

【解析】

【分析】

将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.

【详解】原问题等价于等差数列中，已知4=4,%=2,求4+生+4的值.

由等差数列的性质可知：/+4=4+%=6,%=a爱=3，

则生+生+%=9，即中间三尺共重9斤.

本题选择。选项.

【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

2

5.在区间上随机取两个数x,y,记尸为事件的概率，则尸=()

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.

【详解】如图所示，表示的平面区域为A8CD，

平面区域内满足x+y<-的部分为阴影部分的区域APQ,其中

122

—X-X—

结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为2332.

p=—~-~~—=—

1x19

本题选择。选项.

【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表示出试

验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的

区域，据此求解几何概型即可.

TT7T

6.在AABC中，。=1,4=一,/3=一，则。=

64

AV6+V2V6-V2

A.----------DR.----------

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合正弦定理首先求得匕的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.

lxsin生

【详解】由正弦定理/一=-^-可得力=幺汹o——生=日

.71

sinAsinBsinAsin

6

V6-V2

且cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=

4

由余弦定理可得：.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的

一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式

的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

7.已知函数/(x)=sin[s+Vj(xeR,«y>0)的最小正周期为；r,将f(x)的图象向右平移(p((p>0)个单

位长度，所得图象关于了轴对称，则中的一个值是

2乃TI7in

A.----B.-C.-D.一

3348

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求得力的值，然后结合三角函数的性质和图象确定9的值即可.

2427t

【详解】由函数的最小正周期公式可得：8=—=—=2,

T71

则函数的解析式为“X)=sin(2x+?1,

将/(x)的图象向右平移。个单位长度或所得的函数解析式为：

函数图象关于y轴对称，则函数g")为偶函数，即当*=()时:

2%—2夕+工=_2°+(=/7+](/GZ),

则9=*如Z),①

令人=—1可得：(p=-,

3

其余选项明显不适合①式.

本题选择8选项.

【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识,

意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为

'石r

C.2+—।—71D.

22

【答案】c

【解析】

【分析】

三视图中有两个三角形则一般为锥体，另一图为半圆，则为半个圆锥，所以表面积为一个半圆、一个三角

形、一个扇形，根据图像中的长度结合面积公式即可求出结果.

【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为/*=1，圆锥的高/1=2,其母线

长/=Jl?+2?=6，

则该几何体的表面积为S=^X7IX12+^-X7txlxs/5+—x2x2=2+^兀.

222122)

故选C.

【点睛】本题考查三视图还原以及表面积的求法,注意熟练掌握还原方法与公式，求面积时要考虑全面,

注意面积公式的正确运用.

9.执行如图所示的程序框图，如果输入的xe[-2,2],则输出的y值的取值范围是

52

A.yW-/或y20B.-2<y<大

2>|

C.y<-2^0<y<—D.或y

【答案】c

【解析】

【详解】由题意知，该程序的功能是求函数的值域.

Y1

①当时，/(%)=——=1-----在区间上单调递增，

即0“彳；

②当一2«%<0时，/(x)=X+-=-(-X+—)<2J-X•—=-2,当且仅当—x=-L，即x=-l时等号

x-xV-x—x

成立.

2

综上输出的丁值的取值范围是2或选C.

22

10.已知双曲线七一]=1(。>08>0)的渐近线与圆C:(x—2)2+/：=2相切，则双曲线的离心率为()

a~h~

A.V2B.百C.77D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a力关系，然后得到。关系，再求解双曲线的离心

率.

【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=O,

圆（x—2）2+V=2的圆心（2,0）,半径为血,

双曲线的渐近线与圆（x—2p+y2=2相切,

|2例r

?====V2,整理得标=/,

cr+b-

由a2+b2>可得c=\[2a

所以e=£=J5,

a

故选：A.

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属

于简单题.

11.直线/过抛物线＞2=4x的焦点尸且与抛物线交于A，B两点,若线段Af3歹的长分别为以〃，贝IJ

4加+〃的最小值是（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

112,

由抛物线性质得一+—=一=1，再利用基本不等式可求得最小值.

mnp

【详解】抛物线的焦点为尸（1,0）,准线为=如图，过3作8N_L/于N,过A作AM，/于M，

过3作A"于O,交x轴于£点，准线/与x轴交于点出，

^A\AM\=\AF\=m,|BAf|=|BF|=n,\FH\=p=2,

：.\AD\=m-n,\EF\=2-n,

112,

由AD//EF得，.•.一+—=一=1,

mnp

....11、u4〃？〃、uc/4mn„止口“比4"?n3_.

..4/〃+”=(4〃z+〃)(——F—)=5d----1——>5+2.——x—=9,当且仅7当=一，即机=彳，〃=3时n

mnnmynmnm2

等号成立.

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查基本不等式求最值.解题关键是由抛物线的性质得出相，”满

足的关系，然后用凑配法配出基本不等式所需定值.

12.已知函数/(无)=4—融,xe(O,+。。)，当马>玉时，不等式恒成立，则实数。的取值范围为()

X

A.(F,e]B.(-00,e)C.D.卜Q0，'|

【答案】D

【解析】

【分析】

由变形可得，可知函数g(x)=xf(x)在xe(0,+8)为增函数，由g'(x)=靖-2仪20恒成立，求解参数即可

求得取值范围.

【详解】•••xw(0,+a5),

二.王/(M)<与/(工2)，即函数g(x)=xf\x)=e'-在％e(0,+oo)时单调增函数.

则g'(%)="-2620恒成立.

e'

2。W—•

x

令m(x)=J，则ni(x)=―—

xx

xG(0,1)时,m(x)<0,m(x)单调递减,xG(1,+00)时mf(x)>0,m(x)单调递增.

/.2a<m(x)lllin=m(l)=e,.\—

故选:D.

【点睛】本题考查构造函数，借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题，考查学生

的分析问题的能力和计算求解的能力，难度较难.

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13卜(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22卜(23)

题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知tana=—,则cos?a+sin2a的结果为.

2

o

【答案】-

5

【解析】

【分析】

转化条件得2sina=cosa,,求出cos2a后即可得解.

【详解】tana=—,包色=，即2sina=cosa,

2cosa2

*22123r

sin-a+cos-a=—cos-a+cosa=1即lcosa=—,

45

cos2a+sin2a=cos2a+2sina-cosa=2cos2a=—.

5

o

故答案为：—.

5

【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.

x-y+5>0

14.已知实数x、y满足｛x<3,则目标函数z=x+2y的最小值为.

x+y>0

【答案】-3

【解析】

满足条件的点(x,y)的可行域如下：

由图可知，目标函数z=x+2y在点(3,-3)处取到最小值-3

15.棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是.

【答案】84万

【解析】

【分析】

首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.

°Jx°=2百

【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为2sin602也，

V

则外接球的半径R=收+(2国=J9+12=V21，

则外接球的表面积为S=4兀改=4TTX21=84乃.

【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

16.已知函数f(x)=e'+alnx,

①当。=1时，“X)有最大值；

②对于任意的。〉0,函数/(x)是上的增函数；

③对于任意的。<0,函数/(可一定存在最小值；

④对于任意的a〉0,都有/(%)>().

其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)

【答案】②③

【解析】

【分析】

由题意利用导函数研究函数的性质即可.

【详解】由函数的解析式可得：/(x)=e'+f,

当。=1时，/'(x)=ev+-,f"(x)=ex--^,

/’(力单调递增，且，

据此可知当x>l时，尸(x)>o/(x)单调递增，函数没有最大值，说法①错误；

当a>0时，函数y=e,y=alnx均为单调递增函数，则函数/(x)是上的增函数，说法②正确；

当”0时，1(力=/+£单调递增，且尸(一a)=e-"-l>0,

且当，据此可知存在天，

在区间(0,%)上，/'(x)<0,/(x)单调递减;

在区间(小，+°。)上，单调递增；

函数/（x）在X=x0处取得最小值，说法③正确；

当。=1时，/（x）=e*+lnx,

由于e-5e（o,i）,故e/e（l,e）,/（e-5）=e"'+lne-5=e/—5<0,说法④错误；

综上可得：正确结论的序号是②③.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知

识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列的前n项和S“=prr+例（p,qeR,nGN*）,且q=3,=24.

（1）求数列的通项公式；

（2）设2=2%,求数列的前n项和7；.

【答案】（I）%=2〃+1,；（II）7>8（4-一］）

3

【解析】

【分析】

（I）由题意可得〃=1应=2.则S“=1+2〃,利用通项公式与前"项和的关系可得q=2〃+1,

（II）由（1）可知包=222，结合等比数列前〃项和公式计算可得数列的前〃项和（=与二

【详解】（I）由得p=1,<?=2.S“=/+2〃.

所以当〃=1时，4=3.

当时，S,T=（"—1y+2（“—1）,

所以

检验4=3.符合cin—2〃+1,

（II）由（1）可知（=2〃+1,

所以〃=2°"=22"］设数列的前〃项和为7；,则：

7；=2x4+2x4?+…+2x4*2x4”

=2(4'+42+---+4n-1+4n)

-

-NX

1-4

9

3

所以数列前〃

【点睛】本题主要考查数列通项公式与前〃项和公式的关系，等比数列前〃项和公式及其应用等知识，意在

考查学生的转化能力和计算求解能力.

18.长春市统计局对某公司月收入在1（XX）~4（XX）元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率

分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间［10（）0,1500）内，单位:

元）.

（I）请估计该公司的职工月收入在口000,2000）内的概率；

（II）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.

【答案】（1）0.3；（II）中位数和平均数的估计值都是2400.

【解析】

【分析】

（I）由频率分布直方图计算可得职工月收入在内概率为0.3；

（II）利用面积相等可得中位数的估计值为240（）；利用平均数公式计算可得平均数的估计值为240（）.

【详解】（I）职工月收入在内的概率为（0.0002+0.0004）x500=（）.1+0.2=（）.3；

（II）根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是0.1、0.2、（）.25、（）.25、（）.15、0.（）5,因此，中位

02

数的估计值为2000+—■—=2400；

平均数的估计值为.

综上可知，中位数和平均数的估计值都是2400.

【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横

坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的''重心”,

等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

19.如图，四棱锥P-A8C。中，平面底面力反为，△PDC是等边三角形，底面力5以>为梯形，且

NZM8=60°，AB//CD,DC=AD^2AB=2.

（I）证明：BD±PC；

（H）求Z到平面PBD的距离.

【答案】（I）见解析；（II）h-.

2

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理得BD=G，从而BDJ_AB,由AB〃DC,得BD_LDC.从而BDJ_平面PDC,由此能证明BDJ_PC

（2）设A到平面PBD的距离为h.取DC中点到连结PQ,由VA-PBD=VP-ABD,能求出A到平面PBD的距离.

【详解】（1）由余弦定理得BD=Vl2+22-2xlx2cos60°=百，

BD2+AB2=AD2>•--BD±AB,-.-AB//DC,/.BD±DC.

又平面PDC_L底面ABCD,平面PDC八底面ABCD=DC,BDu底面ABCD,

•••BD,平面PDC，

又PCu平面PDC,BD±PC.

（2）设A到平面PBD的距离为h.

取DC中点Q,连结PQ”APDC是等边三角形，；.PQ，DC.

又平面PDC_L底面ABCD,平面PDCn底面ABCD=DC，PQu平面PDC,

PQ_L底面ABCD,且PQ=b，

由（1）知BD_L平面PDC,又PDu平面PDC,二BD±PD.

xxxx

VA_PBD=Vp_ABD，即1X5Xx2xh--l\/35/3•

解得h=3.

2

【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

20.已知椭圆。：^+方=1（。＞0,。＞0）的离心率为，点（G,g）在C上.

（I）求椭圆C的方程；

（H）过点A（—2,0）作直线AQ交椭圆。于另外一点Q,交V轴于点R,P为椭圆C上一点，且

IAQI-IARI,+

AQ//OP,求证:

\OP\2为定值.

2

【答案】（I）—+y2=1；（II）证明见解析

4'

【解析】

【分析】

2

（I）由题可得。=2,c=6,b=L则椭圆C程为工+：/=l.

4

（II）设直线42：丁=%（1+2）,/?（0,2。联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式可得

.高“

|AQHAR|

令直线。尸为y=丘且令九〉0,%„＞0.联立椭圆方程结合韦达定理计算可得2,即

\OP\2

AR

HG||为定值.

|OP/

【详解】（I）由题可得e=£=立，,

a2

且：，=Z?2+C?，

所以a=2,c=#),b=1,

所以椭圆C程为三+y2=i.

4'

(II)设直线AQ:y=Mx+2),R(0,2。,

由韦达定理可得:

c2—8攵2

x\=_2,*2=%=Ir'

则|4Q|=717研q-止VITF卢等+2

1十^Tft3备

令直线。尸为y=5且令”>0,xp>0.

得

可得韦达定理:

所以

V1+4A;

4°

\AQ\-\AR\174^-2

10Pl24

1+4公

所以定值为2.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

InX

21.己知函数/(*)=」.

X

(1)求函数/(X)的单调区间和极值;

(2)若不等式丘2/(x)在区间(0,+8)上恒成立，求实数我的取值范围;

In2In3In4Inn

(3)求证:+...d----

F+亨+不〃4(A

【答案】(1)单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8),f(x)的极大值为/(e)=L无极小值；(2)；

e

(3)详见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值；（2）先分离

变量，转化为对应函数最值，再利用导数求对应函数最值，即得结果，（3）利用（2）得，即得

^<——（^^2）,再利用放缩以及裂项相消法求和，即得结果.

x2ex

【详解】解：（1）•••/（力=吧，其定义域，

・•./。）=臂，

令/'（力>0,得（）<x<e,

令/'(x)<0,得x>e.

故函数/(x)=——的单调递增区间为，单调递减区间为(e,+8),

X

/(x)的极大值为/(e)=:,无极小值.

(2)*.*x>0»kxi—,

x

，、Inx人，/\Inx

**•k2——,令=—―，

,,7\1-21OY

则h(x)=——--,

令"(x)=0,解得x=&.

当X在内变化时，"（x）,人（力的变化情况如下表:

X（0,五）

"（X）+0-

1

/

2e

由表知，当X=G时，函数〃（X）有最大值，且最大值为[，，攵n],

...实数上的取值范围为.

（3）由