2023届湖北省武汉市高三下学期四月调研数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，则，故选：C．2.若复数是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，有.故选：A3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.正六边形ABCDEF中，用和表示，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设边长为2，如图，设交于点，有，，则，故选：B.5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）A.55 B.49 C.43 D.37〖答案〗A〖解析〗正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有.故选：A6.设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（）A3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗依题意，，，，又，，则为等边三角形，有，故选：B.7.阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数 B.是无理数C.存在无理数a，b，使得为有理数 D.对任意无理数a，b，都有为无理数〖答案〗C〖解析〗这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.故选：C8.已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于任意，，，的范围恒定，只需考虑的情况，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，，，，只需考虑，，其中的情况，则，，其中，；又，，，；令，则，在上单调递增，又，，又，，；令，则，令，则，在上单调递增，，即，在上单调递减，，，；综上所述：.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A招商引资后，工资性收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍〖答案〗AD〖解析〗设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资性收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：AD.10.椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为，而椭圆的焦点在轴，当焦点是，右顶点，此时，离心率，当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率，当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率故选：BCD.11.函数的图像可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，当时,,A选项正确；，，,时,有两个根,且时,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；当时,有两个根,且此时,故B选项正确.故选：ABC．12.三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有（）A.三棱锥体积的最小值为B.三棱锥体积的最大值为C.直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角D.直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角〖答案〗ACD〖解析〗如图（1）所示，作平面，连接，因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，所以，即所以，即，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系，设，，，则，整理得，可得圆心，半径，设点圆与轴的交点分别为，可得，因为，所以又由且，所以，则，，所以A正确，B错误；因为，可设，设与平面所成角为，且，可得，且，又由，令，根据斜率的结合意义，可得表示圆与定点连线的斜率，又由与圆相切时，可得，解得或，即，当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部，如图（3）所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中含项的系数为______．〖答案〗〖解析〗的通项公式为，所以的展开式中含项为，所以展开式中含项的系数为．故〖答案〗为：.14.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．〖答案〗〖解析〗设棱长为2，则所以原正方体的体积为，所以二十四等边体为，所以二十四等边体与原正方体的体积之比为．故〖答案〗为：.15.直线：和：与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：______和______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令直线的倾斜角分别为，则，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；当围成的等腰三角形底边在直线上时，，，，整理得，而，解得；当围成的等腰三角形底边在直线上时，，，所以k的两个可能取值，.故〖答案〗为：；16.在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______．〖答案〗〖解析〗，令，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极小值，也是最小值，故，故，当且仅当时，等号成立，令，，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故当时，，当时，，故时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，最小值为，设，由基本不等式得，，当且仅当，，时，等号成立，故，则．故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记数列的前n项和为，对任意，有．（1）证明：是等差数列；（2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．（1）证明：因为①，则②①－②可得，故为等差数列．（2）解：若当且仅当时，取得最大值，则有,得则，，故的取值范围为．18.设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．（1）求角A；（2）若BC边上的高，求．解：（1）（1）由题意得：，则，有，即，因为所以．（2）由，则，所以，有，则，又，则．19.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．（1）证明：取的中点Q，连接,则有，且，又，且，故，且，则四边形EFPQ为平行四边形，则，又平面，平面，故平面．（2）解：取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则可得，，，，由P为中点，故，则，，，设平面BFP的法向量，则，即，故取，故所求角的正弦值为，所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为．20.中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、〖解析〗几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．（1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；（2）若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．解：（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，，由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故；（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为；③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知，故，而由，可得．21.过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．解：（1）由题意可知：双曲线过点，，将其代入方程可得：，解得：，双曲线的标准方程为：.（2）方法一：设，点与三点共线，，（其中，），，，又，整理可得：，当时，，，不合题意；当时，由得：，设，则，，若为定值，则根据约分可得：且，解得：；当时，，此时；当时，为定值.方法二：设，直线，由得：，为方程的两根，，则，由得：，由可得：，同理可得：，则，若为定值，则必有，解得：或或，又点在直线上，点坐标为；当直线斜率为时，坐标为，若，此时；当直线斜率不存在时，坐标为，若，此时；综上所述：当时，为定值.22.已知函数，其中．（1）证明：恒有唯一零点；（2）记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．（1）证明：，又，令，则，递增，令，则，递减，而时，，时，有，，可得恒有唯一零点．（2）解：因为，故，要证图像上存在关于点对称的两点，即证方程有解；，令，，令，则，令，当时，，则，递增，当时，，则，递减，故，因为，故，又时，，时，，故先负后正再负，则先减再增再减，又，且时，，时，，故先正后负再正再负，则先增再减再增再减，又时，，时，，而，故在区间存在两个零点，则原题得证！湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，则，故选：C．2.若复数是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，有.故选：A3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.正六边形ABCDEF中，用和表示，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设边长为2，如图，设交于点，有，，则，故选：B.5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）A.55 B.49 C.43 D.37〖答案〗A〖解析〗正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有.故选：A6.设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（）A3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗依题意，，，，又，，则为等边三角形，有，故选：B.7.阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数 B.是无理数C.存在无理数a，b，使得为有理数 D.对任意无理数a，b，都有为无理数〖答案〗C〖解析〗这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.故选：C8.已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于任意，，，的范围恒定，只需考虑的情况，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，，，，只需考虑，，其中的情况，则，，其中，；又，，，；令，则，在上单调递增，又，，又，，；令，则，令，则，在上单调递增，，即，在上单调递减，，，；综上所述：.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A招商引资后，工资性收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍〖答案〗AD〖解析〗设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资性收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：AD.10.椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为，而椭圆的焦点在轴，当焦点是，右顶点，此时，离心率，当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率，当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率故选：BCD.11.函数的图像可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，当时,,A选项正确；，，,时,有两个根,且时,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；当时,有两个根,且此时,故B选项正确.故选：ABC．12.三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有（）A.三棱锥体积的最小值为B.三棱锥体积的最大值为C.直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角D.直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角〖答案〗ACD〖解析〗如图（1）所示，作平面，连接，因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，所以，即所以，即，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系，设，，，则，整理得，可得圆心，半径，设点圆与轴的交点分别为，可得，因为，所以又由且，所以，则，，所以A正确，B错误；因为，可设，设与平面所成角为，且，可得，且，又由，令，根据斜率的结合意义，可得表示圆与定点连线的斜率，又由与圆相切时，可得，解得或，即，当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部，如图（3）所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中含项的系数为______．〖答案〗〖解析〗的通项公式为，所以的展开式中含项为，所以展开式中含项的系数为．故〖答案〗为：.14.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．〖答案〗〖解析〗设棱长为2，则所以原正方体的体积为，所以二十四等边体为，所以二十四等边体与原正方体的体积之比为．故〖答案〗为：.15.直线：和：与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：______和______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令直线的倾斜角分别为，则，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；当围成的等腰三角形底边在直线上时，，，，整理得，而，解得；当围成的等腰三角形底边在直线上时，，，所以k的两个可能取值，.故〖答案〗为：；16.在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______．〖答案〗〖解析〗，令，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极小值，也是最小值，故，故，当且仅当时，等号成立，令，，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故当时，，当时，，故时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，最小值为，设，由基本不等式得，，当且仅当，，时，等号成立，故，则．故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记数列的前n项和为，对任意，有．（1）证明：是等差数列；（2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．（1）证明：因为①，则②①－②可得，故为等差数列．（2）解：若当且仅当时，取得最大值，则有,得则，，故的取值范围为．18.设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．（1）求角A；（2）若BC边上的高，求．解：（1）（1）由题意得：，则，有，即，因为所以．（2）由，则，所以，有，则，又，则．19.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．（1）证明：取的中点Q，连接,则有，且，又，且，故，且，则四边形EFPQ为平行四边形，则，又平面，平面，故平面．（2）解：取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则可得，，，，由P为中点，故，则，，，设平面BFP的法向量，则，即，故取，故所求角的正弦值为，所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为．20.中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、〖解析〗几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，