2023届上海市青浦区高三下学期4月学业质量调研（二模）数学试卷

高级中学精品试卷PAGEPAGE1上海市青浦区2023届高三下学期4月学业质量调研（二模）数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为___________．2．已知复数满足，则___________．3．已知向量和，则在方向上的投影是___________．4．过点，与直线垂直的直线方程为___________．5．已知集合，，若，则实数的取值范围为____．6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为__________．7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是___________．8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，，则___________．9．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及，则等于__________米.10．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是___________．11．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．12．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（）．（A）和 （B）和（C）和 （D）和14．已知n为正整数，则“n是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（）条件．（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既不充分也不必要15．某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表广告费（万元）2345销售额（万元）26394954根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为（）．（A）63．6万元 （B）65．5万元 （C）67．7万元 （D）72．0万元16．已知数列满足，，存在正偶数n使得，且对任意正奇数n有，则实数的取值范围是（）．（A） （B） （C） （D）17.(本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分)已知函数的表达式为.（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；（2）求函数在上的值域.18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．AABCA1B1C1D（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．19.(本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分)在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望．20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，F为抛物线的焦点．（1）若点C的横坐标为，用表示线段CF的长；（2）若，求点C的坐标；（3）证明：直线与抛物线相切．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)设是定义域为的函数，当时，记．（1）已知在区间I上严格增，且对任意，，有，证明：函数在区间I上严格增；（2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值；（3）已知，，，且对任意，当时，有，证明：．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题1．平行或相交； 2．；3．； 4．；5．； 6．；7．； 8．；9.； 10.；11．； 12..二、选择题13.；14.；15．；16.三、解答题17.解：（1）由已知则函数的最小正周期为，令，得，即函数的对称轴方程为；（2）由（1），，，，，即在上的值域为.18．（1）证明：因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，因为平面，所以，又所以，平面．（2）解：以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由（1），是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则有即令，则，，所以，设与的夹角为，则，所以，所以，二面角的正弦值为．19.解：（1）由,解得,解得.（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，记任选2人有男生为事件,则，记任选2人有女生为事件,则，则.（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在〖6.0,6.5)和的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在的人数为人.抽中的8人每天学习时问在的人数为人.设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则的分布为:的数学期望为.或20.解：（1）因为点C的横坐标为，所以，又的准线，．（2）显然直线的斜率都存在，设，过点C的抛物线的切线方程为，由得，令，则k的两个解分别为直线斜率．∵∴，，∴．（3）设，直线，即．由得，已知直线与抛物线相切，所以直线与抛物线相切，同理可得又是方程，即的两根，所以，，即，这表明直线AB与抛物线相切．21.解：（1）不妨设，∵在I上严格增，∴对任意，，有，又，∴，∴在区间I上严格增．（2）由（1）可知：当在区间I上严格增时，在I上严格增；当在区间I上严格减时，在I上严格减．又当时，取得极值，当时，也取得极值．，，可得当时，，在左右附近两侧异号，满足条件．．（3）当时，由条件知，∴，，∴，∴．当时，对任意，有，即，又∵的值域为，．当时，对任意，有，，又∵值域为．综上可知，对任意，.上海市青浦区2023届高三下学期4月学业质量调研（二模）数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为___________．2．已知复数满足，则___________．3．已知向量和，则在方向上的投影是___________．4．过点，与直线垂直的直线方程为___________．5．已知集合，，若，则实数的取值范围为____．6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为__________．7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是___________．8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，，则___________．9．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及，则等于__________米.10．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是___________．11．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．12．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（）．（A）和 （B）和（C）和 （D）和14．已知n为正整数，则“n是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（）条件．（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既不充分也不必要15．某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表广告费（万元）2345销售额（万元）26394954根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为（）．（A）63．6万元 （B）65．5万元 （C）67．7万元 （D）72．0万元16．已知数列满足，，存在正偶数n使得，且对任意正奇数n有，则实数的取值范围是（）．（A） （B） （C） （D）17.(本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分)已知函数的表达式为.（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；（2）求函数在上的值域.18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．AABCA1B1C1D（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．19.(本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分)在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望．20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，F为抛物线的焦点．（1）若点C的横坐标为，用表示线段CF的长；（2）若，求点C的坐标；（3）证明：直线与抛物线相切．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)设是定义域为的函数，当时，记．（1）已知在区间I上严格增，且对任意，，有，证明：函数在区间I上严格增；（2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值；（3）已知，，，且对任意，当时，有，证明：．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题1．平行或相交； 2．；3．； 4．；5．； 6．；7．； 8．；9.； 10.；11．； 12..二、选择题13.；14.；15．；16.三、解答题17.解：（1）由已知则函数的最小正周期为，令，得，即函数的对称轴方程为；（2）由（1），，，，，即在上的值域为.18．（1）证明：因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，因为平面，所以，又所以，平面．（2）解：以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由（1），是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则有即令，则，，所以，设与的夹角为，则，所以，所以，二面角的正弦值为．19.解：（1）由,解得,解得.（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，记任选2人有男生为事件,则，记任选2人有女生为事件,则，则.（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在〖6.0,6.5)和的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在的人数为人.抽中的8人每天学习时问在的人数为人.设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则的分布为:的数学期望为.或20.解：（1）因为点C的横坐标为，所以，又的准线，．（2）显然直线的斜率都存在，设，过点C的抛物线的切线方程为，由得，令，则k的两个解分别为直线斜率．∵∴，，∴．（3）设，直线，即．