【对数的历史溯源与发展5900字】

目录TOC\o"1-3"\h\u1引言 12对数的历史溯源 12.1纳皮尔的对数 12.1.1早期的探索 22.1.2纳皮尔对数及其性质 32.1.3比尔吉的对数 42.1.4布里格斯常用对数的发明 52.2对数的发展 62.2.1研究现状 62.2.2对数的发展 73结束语 8参考文献： 8

对数的历史溯源与发展摘要：对数的基本思想可以追溯到古希腊时代，不同时期数学家们在对数方面有不同的贡献。天文学的兴起，大数的计算，为对数的产生提供了土壤。随着航海、工学、贸易、军事的发展，改善数值计算方法变得更加迫切。纳皮尔对数、布里格斯常用对数等相继发明，经过各国数学家的努力，对数理论得到不断完善。关键词：对数萌芽；纳皮尔对数；常用对数关于对数的历史溯源1引言早在古希腊时期，对数的萌芽就已经出现。最初是在公元前500年，阿基米德偶然发现了几个相同的数字的乘积与这些数字的个数之间是存在着相互对应的关系的，但是他却并未把这个工作持久地推进下去。直到16世纪末，越来越多的科学家们开始关注地球以外的世界，那时哥白尼的“太阳中心说”轰动了整个科学界，天文学吸引了越来越多的学者前来参与研究，而让天文学家们头疼的“天文数字”接踵而至，这些数字的计算既费时又费力。因为确定一颗星球的位置，通常要在计算上花费几个月甚至更久的时间，简化运算便成了科学家们的“燃眉之急”。天文学的兴起，大数的计算，为对数的产生提供了土壤。随着航海、工学、贸易、军事的发展，改善数值计算方法变得更加迫切。纳皮尔对数、布里格斯常用对数等相继发明，经过各国数学家的努力，对数理论得到不断完善。2对数的历史溯源2.1纳皮尔的对数16世纪的中后期，是一个数字的时代，科学界的许多领域都会使用数值计算技术，而天文学和航海技术的发展更是对复杂三角计算的技术提出了更为严苛的要求。“加减法则”被认为是从天文学各个方面进行简化加乘运算的主要方法。不仅仅是斯蒂菲尔，还有许多数学家们都已经认同了算术级数与几何级数的级数项之间确实存在着相互对应的关系，但是，他们的思想都没有停留在寻找更稠密的几何级数这件事上。而正是对于这种思想深刻的认识和理解，成就了纳皮尔，也成就了堪称17世纪最伟大的发明：对数。其实纳皮尔很早就开始构思如何简化数字的运算，并付出了行动，众所周知的纳皮尔算筹就是纳皮尔为了简化大数运算，于1571年发明的一种较为机械的方法。1614年，纳皮尔在爱丁堡发表了著作《奇妙的对数定理说明书》，这本著作给出了里“根表”以及它们的使用方法，可惜的并是没有给出证明过程。1617年，纳皮尔去世，在他去世两年之后，才出版了《奇妙的对数造表法》这本著作，书中不仅有对数的使用方法，也给出了详细的对数表和证明过程。2.1.1早期的探索纳皮尔曾经研究过球面三角，因此他并没有从整数入手，而是先计算正弦的对数，从而简化正弦的乘法与除法成为了纳皮尔的首要目标，那时的一个角的正弦并不是像今天一样被定义为这个角在直角三角形中的对边比上斜边，而是表示这个角的两倍在圆中所对应的弦长的一半，例如图1中角的正弦是。图1示意图显然，一条弦的长度取决于这一条弦所在的圆的半径，同时半径大小与计算的精确程度之间又存在着密不可分的关系，因此如何选择半径的大小是至关重要的。半径越大，三角函数的值就越接近一个整数，并且理论上来说它能够达到任意的精确度。纳皮尔的表中给出的数字精确到了小数点后的位，因此可知他认为将圆的半径设定为更为合理。从今天来看，他试图提供的简化计算的正弦是近似于的整数，是以“分”为间隔的到之间的角，因为，，因此我们可以大致推断出他的正弦是在和之间的整数。纳皮尔的想法是从算术级数和几何级数之间的对比入手，考虑了首项为公比为的几何级数，这一奇妙构想的高明之处就在于公比接近于1，因为要想使得连续两项之间的差值非常小，就要让几何级数充分地稠密。接着，纳皮尔写下了：几何级数的项，，和算术级数的项，(表1)表12.1.2纳皮尔对数及其性质纳皮尔的对数定义源于一个运动学几何模型，即借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。如图2，假定两个初速度相同的质点和，质点从起点开始，沿线段（长度为）以初速度朝运动，它的速度的值总是与它尚需经过的距离成正比；质点从起点开始，沿射线朝作匀速直线运动。图2同一时刻，让两个质点和分别从和出发，那么点在按几何级数运动，而点按算术级数运动。若在某一个时刻，点与的距离为；点与的距离为，那么，纳皮尔定义线段是线段的对数，用表示。纳皮尔创造了对数这个术语，意为“比的数”，“比”是指数列,,,,……的公比，他还把对数称为人造的数。[5]由于点的速度的变化是连续的，因此要想真正地将它表达出来就必须要用到微积分。但如果时间足够小，并且假设点通过每一段长度都是在时间内完成的，同时假设点在这段时间里面作匀速直线运动，并将点开始时的速度定为参数，则,,,,……就形成了几何数列，如果考虑，并且假设点速度的值与它到点的距离的值之比是，则点在运动到点时的速度为，于是，所以，这样如果得知序列,,,,……中的任何一项的长度，再乘以就可以得出它后面一项的长度，而点是匀速运动的，因此距离,,……很显然是可以形成算术数列的，这样就可以得出如下事实：如果真数按照几何级数增多，那么它所对应的对数就会按照算术级数增多。纳皮尔处理的不是正整数的对数，这是因为纳皮尔的主要研究对象是球面三角，所以对三角函数颇有了解的他认为真正需要进行处理的是正弦的对数，他将一个完整的圆的半径分成份，把圆弧的半径作为正弦，从最大的数开始计算，他在直线上按照一定的顺序将到的正弦值表示出来，，是角的正弦，是它的对数，令，，，那么，点的速度是，即得，（为常数）当时，，所以.另一方面，Q的速度，即.将，的值带入得，即.于是可以得到以下关系：.因此，我们今天定义的自然对数和纳皮尔对数之间是不可以画等号的，它们之间最根本的区别是纳皮尔对数随着数的增加而减少，然而在自然对数中的情况与纳皮尔对数刚好相反。2.1.3比尔吉的对数比尔吉（1552-1632）是来自瑞士的一名著名的钟表设计师和制造商，还曾多次担任过著名的天文学家开普勒的助手，也许正因为这些年经常与天文和数字打交道的原因，比尔吉也独立地发明了一种对数，他虽然不是一位数学家，却是第一个掌握了对数概念和思想的人。《等差数列和等比数列表》这本书是比尔吉花了8年时间来完成的，但是直到1620年，比尔吉才把它出版，当时是纳皮尔发表《奇妙的对数原理的说明书》之后的第6年了，但比尔吉在1600年左右就发现了对数，因此，一般认为比尔吉和纳皮尔都是对数的创立者。值得一提的是，纳皮尔对数与比尔吉对数中都没有关于对数的“底”的概念，因为当时指数还没有被明确。但他们都取了一个非常接近于1的数作为底数（和），不同的是，比尔吉的对数会随着指数的增大而增大，纳皮尔的对数恰好相反。过度注重与如何避免小数导致比尔吉的对数的定义实际上要比纳皮尔的复杂很多。[6]2.1.4布里格斯常用对数的发明英国著名数学家布里格斯通过不断对纳皮尔早年发明的对数的运算方法进行优化和改革，成为最先认识到对数发展在整个科学界中的必要性的数学家之一。1614年，纳皮尔正式首次公开发表了他关于对数的学术讨论，并出版了一本标题为《奇妙的对数定理说明书》的小册子，这本书一出版便立即引起了人们的广泛的关注。布里格斯阅读了这本“奇妙的”书后，对这本对数著作的内容表现出了极大的兴趣，在此之前，布里格斯正专注于天文学的研究，繁重的天文计算给布里格斯带来了巨大的困难，这本书的出版对布里格斯来说简直是如鱼得水。一番研究后，他便开始思考如何对纳皮尔的对数进行改进。布里格斯在与作者纳皮尔本人会晤之前，曾向纳皮尔写过一封信，在这封信中，布里格斯曾给出过以作为对数的底的建议，而且布里格斯在伦敦格雷沙姆学院向学生讲解纳皮尔发明的对数理论时，也曾说，将作为整个正弦(即)的对数，要方便得多，事实上，布里格斯此时已经开始研究制作此类正弦对数的图表了。1617年，纳皮尔不幸离世。布里格斯运用插值法继续研究对数，算出了从1到1000的对数，计算至14

位小数，这件事几乎花费了他所有的精力，但执着的布里格斯还是完成了他的第一部关于对数的著作《一千个数的对数》，并于1617年发表了，表中一部分内容如下所示：这张对数表是当时唯一一篇被发表的常用对数表。继此之后，布里格斯便开始着手进行一项极为庞大和复杂的工作，也就是将到之间的全部数字的对数计算出来，并且精确到小数点后位。7年后，布里格斯的《对数的算术》这部著作得以出版，这是他的第二部关于对数的著作，其中包括了从1到20000以及从90000到100000的14

位的常用对数表，布里格斯在这本书中详细地解释了他所使用的方法和思路，就是将10

这个数字不停地开平方，即:

，，……，这样的开平方一直持续了54次，这样便得到一个近似于1的数，并把它们的计算结果精确到30位小数。中间20000到90000这些数的对数并不是由布里格斯计算出来的，而是由一位荷兰的书商阿德兰弗拉克所计算的，虽然弗拉克的计算只精确到了10位小数，但布里格斯还是于1628年把他们的结果整合在了一起，于是便有了一张完整的常用对数表。2.2对数的发展2.2.1研究现状法国数学家许凯（1445—1488）曾经在他的著作《算术三编》中给出了利用算术级数与几何级数的对应关系来简化运算的方法：算术级数1，2，3，4，……与几何级数2，4，8，16，……相对应，例如：对应。许凯是这样来解释这种关系的：用4乘以8，得到32。因为4乘以8对应2加3，而2加3等于5，5对应32。所以，第二项乘以第三项等于第五项，对应第二项加上第三项等于第五项。虽然许凯的这段话抓住了简化乘法的核心思想，但是很遗憾，许凯并没有看出它具有如此巨大的运用价值。实际上，他仅仅是用于定义单项式的乘除法。德国数学家斯蒂菲尔也曾考虑过用简单的加减运算来代替较为麻烦的乘除运算。在他的著作《整数算术》中，使用了和许凯相同的两个系列。算术序列项的加法对应于几何序列项的乘法，算术序列项的减法对应于几何序列项的除法，算术序列项的乘法对应于几何序列项。中间项的立方根、算术序列项的分割对应于几何序列项的平方根。斯蒂菲尔不仅探究了和的形式，而且将几何级数与算术级数的表向左边延伸。例如:32除以得128，而7是128的指数，所以5减去（-2）得7，即。斯蒂菲尔也有许凯一样的遗憾，没有将这种对应关系继续深入地研究下去，他们都认为这种对应关系的价值应该体现在计算某些复杂的单项式方面。但是斯蒂菲尔对上述法则的研究也有一些新的突破，他认为指数也可以是负数，并且与正数一样遵循相同的规律。1545年，欧洲的数学发展达到质的飞跃，一时间踊跃出了许多著名的数学家，其中对数学的发展做出极大贡献的是一位意大利数学家卡尔达诺，他在同年出版了他的著作《大术》，当时的“幂”还没有一个被人们广泛认知的符号，而这本著作已经开始讨论一元四次方程的解法了。即使是数学发展如此迅速的欧洲，也没有人能够统一和完善“幂”的符号和定义。这个现象一直持续到了17世纪的早期。但是，斯蒂菲尔将算术级数中的项定义为“指数”。甚至，在纳皮尔使用术语“对数”之前，称算术级数中的项为“人造的数”。[6]准确地说，“对数”的意思是“多少个比率的数”。2.2.2对数的发展16世纪和17世纪交替之际，随着天文学、航海、工学、贸易、军事的发展，数值计算方法的改善成为了最优先事项，纳皮尔深知简化计算是科学发展的必要条件，要想促进其发展就必须创造出解决方案，从而发明对数。恩格斯曾经把对数的发明、解析几何学的确立、微积分的建立称为17世纪数学的三大成果。伽利略还说：“给我空间、时间和对数，我就能创造宇宙”。[16]在300多年的时间里，对数计算规则对于科学家、特别是工程师和技术人员来说是必要的计算工具，直到1970年代被电子计算机取代为止。如今，对数的使用方法以及对数表的制作与使用已经显得没那么重要了，但是发明对数的思想却永远不会过时。纵观对数的历史溯源，可以发现纳皮尔在介绍对数的概念时，并没有提及指数和对数的关系，而是通过运动学并运用几何术语来解释对数。这种情况的主要原因是当时对指数没有明确的概念。瑞士数学家欧拉在18世纪发现了指数和对数之间的关系：对数与指数互为反函数。从今天来看，我们的教科书是将指数安排在对数之前的，这是因为对数源于指数，但对数思想的孕育却在指数之前，使得对数的发明在数学史上成为一段佳话。对数的发明是艰难的，但也是必要的，这个必要性来自于社会经济和科学技术的发展，而正是它们的必要性在推动着数学发展，并成为主要动力。事实上，优秀的数学符号可以大大减轻人们的思考负担。3结束语17世纪以前，阿基米德、休盖等数学家已经进一步地发现由某些特殊的数字构造而来的等差数列与等比数列之间可能会有某种相互对应的关系，并且人们对于具体的对数运算方式及其法则也已经有了进一步的认识，但也正是由于这些数字的特殊性，使数学家们在遇到一些比较大的数字的乘除运算时就显得心有余而力不足了，这一障碍使很多数学家们都没能继续坚持研究下去。

这种状态一直持续到了纳皮尔和比尔吉的出现，纳皮尔认为运用几何的方法更能将对数的性质玲离尽致地体现出来，并且选择0.999999作为底数；而比尔吉则更倾向于使用代数，底数为1.0001。可以发现他们都选择了非常接近1的数作为底数，使得各个真数之间的空隙可以尽可能地缩小，这也解决了之前的数学家们遇到的只能解决特殊数字运算的问题，最终都独立发明了对数。

为了提高纳皮尔发明的对数的通俗性和实用性，布里格斯和纳皮尔最终决定把对数的底规定为10，之后，布里格斯在纳皮尔发明的对数的基础上进一步做出了完善，他将数字10进行了高达54次的开方后，终于得出了一个比1稍大的数，取10作为对数的底，最终运用插值法发明了第一张常用对数表。参考文献：[1]陈元芳,沙志贵,顾圣华,许圣斌.可考虑历史洪水对数正态分布线性矩法的研究[J].河海大学学报(自然科学版),2003(01):80-83.[2]姜珊珊.数学史融入数学教学对学生思维能力的培养[J].经济师,2020(07):201+203.[3]王鑫,栗小妮,汪晓勤.20