天津市宝坻一中等七校2024届数学高一下期末统考试题含解析

天津市宝坻一中等七校2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形2．如图，在中，若，，，用表示为（）A． B．C． D．3．在数列中，已知，，则一定（）A．是等差数列 B．是等比数列 C．不是等差数列 D．不是等比数列4．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角； B．相等的角终边必相同；C．终边相同的角相等； D．不相等的角其终边必不相同.5．在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形6．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．下列函数中，最小值为2的函数是（）A． B．C． D．8．在中，分别是角的对边，,则角为()A． B． C． D．或9．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A． B． C． D．10．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，的最小正周期是___________.12．在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.13．执行右边的程序框图，若输入的是，则输出的值是．14．设变量满足条件，则的最小值为___________15．数列中，为的前项和，若，则____．16．________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；（Ⅱ）求圆的标准方程；（Ⅲ）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．18．是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对会议的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为，，，，）.（1）求选取的市民年龄在内的人数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在内的概率.19．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标是.（1）求；（2）求；20．某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表：售价（元）45678周销量（件）9085837973（1）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为多少？参考公式：，.参考数据：，21．如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【题目详解】利用正弦定理得，化简得，即，则或，解得或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C【题目点拨】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题2、C【解题分析】

根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.3、C【解题分析】

依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。【题目详解】因为，，，所以一定不是等差数列，故选C。【题目点拨】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。4、B【解题分析】

根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果.【题目详解】是第一象限角，但不是锐角，故A错误；与终边相同，但他们不相等，故C错误；与不相等，但他们的终边相同，故D错误；因为角的始边在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确.故选：B【题目点拨】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.5、B【解题分析】

先化简sinAcosB＝sinC=，即得三角形形状.【题目详解】由sinAcosB＝sinC得所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,所以三角形是直角三角形.故答案为A【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6、D【解题分析】

利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.【题目详解】，，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且，当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选D.【题目点拨】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.7、C【解题分析】

利用基本不等式及函数的单调性即可判断.【题目详解】解：对于．时，，故错误．对于．，可得，，当且仅当，即时取等号，故最小值不可能为1，故错误．对于，可得，，当且仅当时取等号，最小值为1．对于.，函数在上单调递增，在上单调递减，，故不对；故选：．【题目点拨】本题考查基本不等式，难点在于应用基本不等式时对“一正二定三等”条件的理解与灵活应用，属于中档题．8、D【解题分析】

由正弦定理，可得，即可求解的大小，得到答案．【题目详解】在中，因为，由正弦定理，可得，又由，且，所以或，故选D．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练利用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9、B【解题分析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．10、C【解题分析】

解：因为选C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.【题目详解】由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为【题目点拨】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12、2【解题分析】

去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【题目详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【题目点拨】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.13、24【解题分析】

试题分析：根据框图的循环结构，依次；；；．跳出循环输出．考点：算法程序框图．14、-1【解题分析】

根据线性规划的基本方法求解即可.【题目详解】画出可行域有：因为.根据当直线纵截距最大时,取得最小值.由图易得在处取得最小值.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.15、【解题分析】

由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【题目详解】因为，所以，又因为所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以由等比数列的求和公式得，解得【题目点拨】本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题．16、【解题分析】

直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．【题目详解】．故答案为：.【题目点拨】本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.【解题分析】

（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；（Ⅱ）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果；（Ⅲ）由题意可知：圆心到直线的距离为1，分类讨论可得结果.【题目详解】解：（Ⅰ）设的中点为，则．由圆的性质，得，所以，得.所以线段的垂直平分线的方程是.(II)设圆的标准方程为，其中，半径为（）.由圆的性质，圆心在直线上，化简得．所以圆心，，所以圆的标准方程为．(III)由(I)设为中点，则，得．圆心到直线的距离.(1)当的斜率不存在时，，此时，符合题意.(2)当的斜率存在时，设，即，由题意得，解得：．故直线的方程为，即．综上直线的方程或．【题目点拨】圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系。18、（1）30人；（2）.【解题分析】

（1）由频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，进而可求出人数；（2）先由分层抽样，确定应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，再用列举法，分别列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.【题目详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，故年龄在内的市民人数为.（2）易知，第4组的人数为，故第3，4组共有50名市民，所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组；第4组.所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.【题目点拨】本题主要考查由频率分布直方图求频数，以及古典概型的概率问题，会分析频率分布直方图，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.19、（1），（2）【解题分析】

（1）求得点到原点的距离，根据三角函数的定义求值；（2）同（1）可求出，然后用诱导公式化简，再代入值计算．【题目详解】（1）（2），为第四象限，【题目点拨】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．20、（1）；（2）14元【解题分析】

（1）由表中数据求得,结合参考数据可得.再代入方程即可求得线性回归方程.（2）设售价为元,代入（1）中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.【题目详解】（1）由表可得,因为,由参考数据,,所以代入公式可得,则,所以线性回归方程；（2）设售价为元,由（1）知周销量为,所以利润,解得,因为,则.所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求