上海市闵行区闵行中学2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析

上海市闵行区闵行中学2024届高一数学第二学期期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，，，角的平分线，则长为()A． B． C． D．2．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A． B． C． D．4．某赛季中，甲､乙两名篮球队员各场比赛的得分茎叶图如图所示，若甲得分的众数为15，乙得分的中位数为13，则（）A．15 B．16 C．17 D．185．已知a>0,b>0,a,b的等比中项为2，则a+1A．3 B．4 C．5 D．426．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（）A．2015年第三季度环比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度环比有所提高9．某学校的A，B，C三个社团分别有学生人，人，人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（）A．2 B．4 C．5 D．610．为了得到的图象，只需将的图象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为直线，为平面，下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是______．12．已知向量、的夹角为，且，，则__________．13．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.14．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________15．已知为锐角，，则________．16．方程的解集是___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在直三棱柱中，，，，点N为AB中点，点M在边AB上.（1）当点M为AB中点时，求证：平面；（2）试确定点M的位置，使得平面.18．已知数列中，，点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项；（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.19．某校高一年级有学生480名，对他们进行政治面貌和性别的调查，其结果如下：性别团员群众男80女180（1）若随机抽取一人，是团员的概率为，求，；（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率．20．某校全体教师年龄的频率分布表如表1所示，其中男教师年龄的频率分布直方图如图2所示.已知该校年龄在岁以下的教师中，男女教师的人数相等.表1：(1)求图2中的值；(2)若按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，求男女教师抽取的人数；(3)若从年龄在的教师中随机抽取2人，参加重阳节活动，求至少有1名女教师的概率.21．（已知函数.（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若,求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

在中利用正弦定理可求，从而可求，再根据内角和为可得，从而得到为等腰三角形，故可求的长.【题目详解】在中，由正弦定理有即，所以，因为，故，故，所以，故，为等腰三角形，故.故选B.【题目点拨】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．2、A【解题分析】

该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，的图象是开口向下且与x轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果.【题目详解】不等式为一元二次不等式，故，根据一元二次函数的图象与性质可得，的图象是开口向下且与x轴没有交点，则，解不等式组，得.故本题正确答案为A.【题目点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.3、C【解题分析】

先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出．【题目详解】所以扇形的面积为：故选：C【题目点拨】题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4、A【解题分析】

由图可得出，然后可算出答案【题目详解】因为甲得分的众数为15，所以由茎叶图可知乙得分数据有7个，乙得分的中位数为13，所以所以故选：A【题目点拨】本题考查的是茎叶图的知识，较简单5、C【解题分析】

由等比中项得：ab=4，目标式子变形为54【题目详解】∵a+1等号成立当且仅当a=b=2，∴原式的最小值为5.【题目点拨】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.6、A【解题分析】

由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【题目详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.【题目点拨】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.7、D【解题分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【题目详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选D．【题目点拨】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.8、C【解题分析】

根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【题目详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选C．【题目点拨】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．9、B【解题分析】

分层抽样每部分占比一样，通过A，B，C三个社团为，易得A中的人数。【题目详解】A，B，C三个社团人数比为，所以12中A有人，B有人，C有人。故选：B【题目点拨】此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目。10、B【解题分析】

先利用诱导公式将函数化成正弦函数的形式，再根据平移变换，即可得答案.【题目详解】∵，∵，∴只需将的图象向左平移可得.故选：B.【题目点拨】本题考查诱导公式、三角函数的平移变换，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平移是针对自变量而言的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、③④【解题分析】

①和②均可以找到不符合题意的位置关系，则①和②错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知③和④正确.【题目详解】若，此时或，①错误；若，此时或异面，②错误；由线面垂直的性质定理可知，若，则，③正确；两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知④正确本题正确结果：③④【题目点拨】本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.12、【解题分析】

根据向量的数量积的应用进行转化即可．【题目详解】，与的夹角为，∴•||||cos4，则，故答案为．【题目点拨】本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．13、512【解题分析】

由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.【题目详解】是等比数列，

，，

，，

和是方程的两个实数根，

解方程，

得，，

公比q为整数，

，，

，解得，

.故答案为：512【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.14、【解题分析】四棱锥的侧面积是15、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求出，并利用二倍角正切公式计算出的值，再利用两角和的正切公式求出的值.【题目详解】为锐角，则，，由二倍角正切公式得，因此，，故答案为.【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系求值、二倍角正切公式和两角和的正切公式求值，解题的关键就是灵活利用这些公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16、或【解题分析】

方程的根等价于或，分别求两个三角方程的根可得答案.【题目详解】方程或，所以或，所以或.故答案为：或.【题目点拨】本题考查三角方程的求解，求解时可利用单位圆中的三角函数线，注意终边相同角的表示，考查运算求解能力和数形结合思想的运用.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）推导出，由此能证明平面．（2）当点是中点时，推导出，，从而平面，进而，推导出△，从而，由此能证明平面．【题目详解】（1）在直三棱柱中，点为中点，为中点，，平面，平面，平面．（2）当点是中点时，使得平面．证明如下：在直三棱柱中，，，，点为中点，点是中点，，，，平面，平面，，，，，△，，，，，平面．【题目点拨】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.【解题分析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【题目详解】（1）因为点在直线上，所以，因此由得所以数列是以为公比的等比数列；（2）因为，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使数列是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.19、（1），；（2）．【解题分析】

（1）随机抽取一人，是团员的概率为，得，再由总人数为480得的另一个关系式，联立求解，即可得出结论；（2）根据团员男女生人数的比例，可求出抽取一个样本容量为5的样本，男生为2人，女生为3人，将5人编号，列出从5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1个女生的基本事件的个数，按古典概型求概率，即可求解.【题目详解】解：（1）由题意得：，解得，．（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，抽中男生：人，抽中女生：人，2名男生记为，3名女生记为，在这5名团员中任选2人，基本事件有：共有10个基本事件，两人中至多有1个女生包含的基本事件个数有7个，∴两人中至多有1个女生的概率．【题目点拨】本题考查分层抽样抽取元素个数的分配，考查古典概型的概率，属于基础题.20、（1）；（2）见解析；（3）【解题分析】

由男教师年龄的频率分布直方图总面积为1求得答案；由男教师年龄在的频率可计算出男教师人数，从而女教师人数也可求得，于是通过分层抽样的比例关系即可得到答案;年龄在的教师中，男教师为(人)，则女教师为1人,从而可计算出基本事件的概率.【题目详解】(1)由男教师年龄的频率分布直方图得解得(2)该校年龄在岁以下的男女教师人数相等，且共14人，年龄在岁以下的男教师共7人由(1)知，男教师年龄在的频率为男教师共有(人)，女教师共有(人)按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，则男教师抽取的人数为(人)，女教师抽取的人数为人(3)年龄在的