高考数学习题及含答案 (二)

普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、化简而-5+反+豆的结果等于（）

A>QPB>OQC.SPD>SQ

2、数列是公比为q的等比数列，若氏=m，则4,=（）

A、mqk+l~'B、mq'C、mq/_|D、mq/+l

3、函数y=logo_2（x+2）2的递增区间是（）

A、（0,+oo）B、（-oo,0）C、（-2,+oo）D>（-00,-2）

4、若等比数列的前三项依次为VI次，啦，则第四项为（）

A、1B.V2C、蚯D、啦

5、设集合。={丁/、=/+1},。={丁/、=x+1},则Pp|Q=（）

A、{1,2}B、{（0,1）,（1,2）}C、{0,1}D、{y/y>\}

6、已知全集/={x|xN0},M={x|x〉0},则GM等于（）

A、{x|x>0}B、{x|x<0}C、{0}D、0

22

7、一个样本M的数据是x,,x2,,,x,”它的平均数是5,另一个样本N的数据x,,x2,

，X：它的平均数是34。那么下面的结果一定正确的是（）

A、Sj=9B、S；=9C、Si=3D、S'=3

8.已知集合A,B,则是“A=B”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9..不等式k+Z>3的解集是（)

A,（-5,1）

C（f,T）J（5,+oo）D.（-L5）

io.若奇函数在（°，笆）上的图像;如图所示,则该函数在（F⑼上的图像可

能是（）

y

_k，

0

10图

ytv

_v，

00

AR

yy

cn

n.已知函数是R上的偶函数,且在（-8,°】上是减函数，若八。）2/（2）,

则实数a的取值范围是（）

A.aW2B.aW-2或a22

C.a2—2D.一2WaW2

12.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10,AB=6,EF=7,

则异面直线AB与PC所成的角为（）

A.60°B.45°C.0°D.120°

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1.“面积相等的三角形全等”的否命题是命题（填“真”或者“假”）

2已知tana=6（1+m）且&（tan-tan（3+m）+tan（3-O,a,£为锐角，则a+£的值为

3.某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡

人数分别为年初人口的0.8%和1.2%,则经过2年后，该镇人口数应为万.（结

果精确到0.01）

4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”

共有一个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为.

三、大题：（满分70分）

y----

1.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为L1+『（t为参数）.以坐标原点0

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为

2/?cos0+60sin6+11=0

（1）求C和1的直角坐标方程；

（2）求C上的点到1距离的最小值.

2.已知a,b,c为正数，且满足abc=l.证明:

-+-+-<a2+h2+c2

⑴abc;

(2)(0+))'+("+c)3+(c+a)-'224

3.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE1EC1.

(1)证明：BE_L平面EB1C1；

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-Cl的正弦值.

4.知实数x,y满足x+y-4=0,求(x-l)?+(y-l)2'的最小值.

5.直线y=2x是AABC中NC的平分线所在的直线，且A,3的坐标分别为4(-4,2),

8(3,1),求顶点C的坐标并判断AABC的形状.

6.两条直线4：(m+3)x+2y=5-，/2：4x+(5+，〃)y=16,求分别满足卜列条件的加的

值.

⑴4与4相交；⑵4与4平行；⑶4与4重合；

⑷4与乙垂直；⑸4与4夹角为45。.

参考答案：

一、选择题:

1-5题答案:BBDAD

6To题答案:CABAD

11-12题答案:BA

8.已知集合A,B,则=是，，A=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B［解析］.A=5=又A=A08蜘=8,...“AqB”是

“A=8”的必要不充分条件.

9..不等式k+Z>3的解集是（）

A.（f-5>（1,^（-5,1）

C（f,T）.（5,+oo）口.（T5）

..（尤+2>3fx>l

【答案】A【解析】〔尤+2<-3[x<-5,即不等式的解集为

（YO,-5）（1,4-00）

io.若奇函数在似口）上的图像如图所示,则该函数在（―⑼上的图像可

能是（）

y

0

10图

【答案】D【解析】因为已知是奇函数,根据奇函数的性质是关于原点对称，根据

选项只能选D.

二、填空题：

1、真

乃

2、T

3、0.99

4、126,24789

三、大题：

=1

-1<-----<1

1.解:(1)因为1+/一，,所以C的直角坐标方

X2+^p=l(X^-l)

程为

/的直角坐标方程为2x+6y+u=°.

x=cosa,

（2）由（1）可设C的参数方程为〔y=2sina（。为参数，-兀＜。＜兀）.

12cos。+26sina+l1|_4c°s[a-j+"

C上的点到/的距离为币币.

a=--4cos|a--+11广

当3时，I3；取得最小值7,故C上的点到/距离的最小值为万.

2ab2222

2.解：(1)@^b+c>2bc,c+a>2acf又abc=l,故有

,22、，,ah+be+ca111

cT2+b~+c>ab+be+ca=----------=—d---F-

abcabc

-+-+-<tz2+/+/

所以。bc

(2)因为〃，"，c为正数且必。=1,故有

(a+〃)3+(b+c)3+(c+a)-，>3y(a+b)，(/?+c)?(a+c)，

=3(a+〃)(〃+c)(a+c)

>3x(2\fab)x(<2\[bc)x(<2\[ac)

=24.

所以（a+“+S+c）3+（c+a）3N24.

3.解：（1）由已知得，平面A四'BEU平面A网A,

故4G'BE.

又BELECJ所以BE_L平面3G.

（2）由（1）知N83=90°.由题设知RCABE三Rt^AgE,所以乙钻8=45。，

故AE=Aff,A4=2A6.

以。为坐标原点，根的方向为X轴正方向，I。*为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系D-xyz,

则C(0,1,0)，B(b1,0),G(0,1,2)，E(1,0,1)，理=(1,-1,1),Cq=(0,0,2)

设平面EBC的法向量为n=(x,y,x),则

CBn=0,fo,

jV%=

CEn=0,gp[尤一y+z=O,

所以可取n=(°，T，T).

设平面ECG的法向量为m=(x,y,z),则

CC「m=0,f2z=0,

IV

CE-m=0,g|j[x-y+z=0.

所以可取m二(1,1,0).

n•m1

cos<n,m>=---------=——

于是1〃11间2.

旦

所以，二面角8-EC—a的正弦值为2.

4.知实数x,y满足x+y-4=0,求(x-l)2+(y-l)2的最小值.

分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：J(x-1)2+。-1)2可看

成点(x,y)与(1,1)之间的距离.

解：(法1)由x+y-4=0得y=4-x(xeR),

贝！Jd)2+(y_l)2=(X-1)2+(4-X-1)2

—x~—2x+1+—6x+9

=2X2-8X+10

=2(X-2)2+2,

(x—l)2+(y_l)2的最小值是2.

(法2)..,实数X,y满足x+y-4=0,

.•.点P(x,y)在直线x+y-4=0上.

而J(x-l)2+(y—1尸可看成点P(x,y)与点A(1,1)之间的距离(如图所示)

显然J(x—l)2+(y—1了的最小值就是点A(1,1)到直线x+y-4=0的距离:

V2,

...(x—1)2+(y—1)2的最小值为2.

说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化.形如J(x-"+(k4的式子

即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决.

5.直线y=2x是A4BC中ZC的平分线所在的直线，且A,3的坐标分别为4-4,2),

8(3,1),求顶点。的坐标并判断AABC的形状.

分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将

“角相等”列成一个表达式.

解：(法1)由题意画出草图(如图所示).

2a-22a-1

则k，kj=2.

AC。+4~a-3

由图易知AC到/的角等于/到的角，因此这两个角的正切也相等.

1+“AC•k11+

c2。—22。—1°

2----------

。+4」一2

1+2o-221+网」2

。+4CL—3

解得＜7=2.

，C的坐标为(2,4),

,•"AC=§'k/jc-—3,

：.ACVBC.

A/LBC是直角三角形.

(法2)设点A(-4,2)关于直线/：y=2x的对称点为A(a,b),则4必在直线8c

上.以卜先求A'(a,/?).

b-21

由对称性可得a+4-2'

b+2与。-4

22

解得;二，-2).

...直线的方程为七L二，即3x+y-10=0.

-2-14-3

由P=2”得C(2,4).

[3x+y-10=0

•*,Kc=§，％BC=-3,

：.ACLBC.

A43C是直角三角形.

说明：(1)在解法1中设点。坐标时，由于C在直线y=2x上，故可设(a,2a),

而不设(a,b),这样可减少未知数的个数.(2)注意解法2中求点4T,2)关于/的

对称点,b)的求法：原理是线段AA‘被直线/垂直平分.

6.两条直线4：(机+3)x+2y=5-3机，4：4x+(5+m)y=16,求分别满足下列条件的团的

值.

⑴4与4相交；⑵4与4平行；⑶4与乙重合；

(4)4与4垂直；(5)4与夹角为45。.

分析：可先从平行的条件幺=口(化为砧2=。,外着手.

a2b2

解：由2得〃/+8机+7=(),解得叫=-1,=-7.