2024届安徽省芜湖市中小学校数学高一第二学期期末统考试题含解析

2024届安徽省芜湖市中小学校数学高一第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．32．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形3．在中，分别为角的对边，若，且,则边=()A． B． C． D．4．设双曲线的左右焦点分别是，过的直线交双曲线的左支于两点，若，且，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．5．已知，，则()A． B． C． D．6．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=A． B． C． D．7．已知函数是连续的偶函数，且时，是单调函数，则满足的所有之积为（）A． B． C． D．8．函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（）A． B．2 C．或 D．或29．把函数的图象沿轴向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得函数的图象，则的解析式为（）A． B．C． D．10．执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A．0 B． C．0或 D．0或1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，，则的值为________．12．已知函数，则______.13．如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________.14．展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________．15．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．16．函数可由y=sin2x向左平移___________个单位得到．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点及中点处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与等距的点处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，记辅设管道总长为千米.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设，将表示成的函数；（ii）设，将表示成的函数；（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.18．的内角、、的对边分别为、、,且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，且边上的中线的长为,求边的值．19．已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程;（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.20．在中，角所对的边分别为．（1）若，求角的大小；（2）若是边上的中线，求证：．21．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.（1）若，求和的值；（2）已知命题存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2、A【解题分析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等变换的公式，化简得，即可求解.【题目详解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，则，即，即，解得，所以为等腰三角形，故选A.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

由利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosA，整理化简得a2b2+c2，与，联立即可求出b的值．【题目详解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化简得：b＝8c•cosA，将cosA代入得：b＝8c•，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），则b＝1．故选B【题目点拨】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理,准确计算是解本题的关键，是中档题4、C【解题分析】，则，所以，，则，所以，故选C。点睛：离心率问题关键是利用圆锥曲线的几何性质，以及三角形的几何关系来解决，本题中，由双曲线的几何性质，可以将图中的各边长都表示出来，再利用同一个角在两个三角形中的余弦定理，就可以得到的等量关系，求出离心率。5、C【解题分析】

利用二倍角公式变形为，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．【题目详解】，化简得，，则，，因此，，故选C．【题目点拨】本题考查二倍角公式的应用，考查弦切互化思想的应用，考查给值求角的问题，着重考查学生对三角恒等变换思想的应用能力，属于中等题．6、A【解题分析】分析：累加法求解。详解：，，解得点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。7、D【解题分析】

由y＝f（x+2）为偶函数分析可得f（x）关于直线x＝2对称，进而分析可得函数f（x）在（2，+∞）和（﹣∞，2）上都是单调函数，据此可得若f（x）＝f（1），则有x＝1或4﹣x＝1，变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足f（x）＝f（1）的所有x之积，即可得答案．【题目详解】根据题意，函数y＝f（x+2）为偶函数，则函数f（x）关于直线x＝2对称，又由当x＞2时，函数y＝f（x）是单调函数，则其在（﹣∞，2）上也是单调函数，若f（x）＝f（1），则有x＝1或4﹣x＝1，当x＝1时，变形可得x2+3x﹣3＝0，有2个根，且两根之积为﹣3，当4﹣x＝1时，变形可得x2+x﹣13＝0，有2个根，且两根之积为﹣13，则满足f（x）＝f（1）的所有x之积为（﹣3）×（﹣13）＝39；故选：D．【题目点拨】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题．8、D【解题分析】

先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.【题目详解】因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.【题目点拨】对称轴和对称中心的判断：对称轴：，则图象关于对称；对称中心：，则图象关于成中心对称.9、C【解题分析】

根据三角函数图像变换的原则，即可得出结果.【题目详解】先把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到；再把图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到.故选C【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记图像变换的原则即可，属于常考题型.10、C【解题分析】

根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．【题目详解】程序对应的函数为y，若x≤0，由y＝1得ex＝1，得x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或e，故选C．【题目点拨】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，函数是偶函数，，函数的解析式为，故答案为.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，往往利用特殊点求的值，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.12、【解题分析】

根据题意令f（x）＝，求出x的值，即可得出f﹣1（）的值．【题目详解】令f（x）＝+arcsin（2x）＝，得arcsin（2x）＝﹣，∴2x＝﹣，解得x＝﹣，∴f﹣1（）＝﹣．故答案为：﹣．【题目点拨】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题，属于基础题．13、【解题分析】

在中，在中，分别由正弦定理求出，，在中，由余弦定理可得解.【题目详解】由图可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得：.故答案为：【题目点拨】此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量.14、【解题分析】令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.15、【解题分析】

分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.【题目详解】①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意②当，即时，不等式恒成立则需：解得：综上所述：本题正确结果：【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.16、【解题分析】

将转化为，再利用平移公式得到答案.【题目详解】向左平移故答案为【题目点拨】本题考查三角函数图像的平移，将正弦函数化为余弦函数是解题的关键，也可以将余弦函数化为正弦函数求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水厂设在与直线距离处【解题分析】

（1）（i）设的中点为，则，，，，由此可得关于的函数；（ii）由题意，则，，由此可得关于的函数；（2）设，，则，然后利用基本不等式求最值．【题目详解】解：（1）（i）设中点，则，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）设，，则，，当，即时，取最小值，∴污水厂设在与直线距离处时，铺设管道总长最短，最短长度为千米．【题目点拨】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解题分析】

（Ⅰ）利用正弦定理和三角恒等变换的公式化简即得；（Ⅱ）设，则，，由余弦定理得关于x的方程，解方程即得解.【题目详解】（Ⅰ）由题意，∴，∴，则，∵，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴，设，则，，在中，由余弦定理得：，即，解得，即．【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）【解题分析】

(1)通过三角恒等变形，化简为的形式，方便我们去研究与其相关的任何问题；（2）恒成立，可转化，我们只需要求出最大值从而完成本题.【题目详解】（1）令得，所以的对称轴为（2）当时，，，因为，即恒成立故，解得【题目点拨】在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.20、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）已知三边的关系且有平方，考虑化简式子构成余弦定理即可。（2）观察结论形似余弦定理，通过，则互补，则余弦值互为相反数联系。【题目详解】（1）∵，∴∴由余弦定理，得，∴∵，∴，∵，∴（2）设，，则在中，由余弦定理，得在中，同理，得∵，∴，∵，∴，∴【题目点拨】解三角形要注意观察题干条件所给的形式，出现边长平方一般会考虑用到余弦定理。正弦定理和余弦定理是我们解三角形的两大常用工具，需要熟练运用。21、（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.【解题分析】

（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.【题目详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，因此，，，；（2）真命题，证明如下：