工程流力（第二版）-第四章

第四章相似理论与量纲分析

§4.1相似理论与模型试验

§4.2量纲分析与π定理§4.1相似理论与模型试验4.1.1几何相似、运动相似与动力相似

几何相似的定义几何相似是指模型与原型中的对应线性长度成比例。

几何相似常数定义为模型与原型的线性长度之比：

运动相似的定义运动相似是指模型和原型中对应点上的速度方向相同，大小成比例。运动相似常数定义为模型与原型的对于速度之比：运动相似时，流体质点走过对应距离所需的时间也成比例：§4.1相似理论与模型试验

动力相似的定义动力相似是指模型和原型中对应点上的流体质点所受到的同名力方向相同，大小成比例。力相似常数：

三个相似条件的关系几何相似是必要的前提，因为只有几何相似的条件下，才能找到模型与原型流场的对应点，没有几何相似就谈不上运动相似和动力相似。动力相似是决定性条件。运动相似则是几何相似和动力相似的表现。§4.1相似理论与模型试验4.1.2动力相似准则

牛顿数合外力与惯性力之比。

牛顿相似准则要求模型和原型的所有单项力（如粘性力、重力、压力、弹性力等）均相似。牛顿相似准则：流场动力相似时，模型与原型的牛顿数必

然相等：如果只考虑作用在流体上的某种单项力（如粘性力、重力、压力、弹性力等），则牛顿相似准则便退化为单项力相似准则。§4.1相似理论与模型试验1.重力相似准则

在重力作用下的相似流动，其重力场必须相似。由牛顿第二定律，有：弗劳德数：弗劳德数实际上是作用在流体上的惯性力与重力的比值。在重力相似时，

，这就是重力相似准则。§4.1相似理论与模型试验2.粘性力相似准则

在粘性力作用下的相似流动，其粘性力必须相似。由牛顿第二定律，有：雷诺数：雷诺数实际上是作用在流体上的惯性力与粘性力的比值。在粘性力相似时，

，这就是粘性力相似准则。§4.1相似理论与模型试验3.压力相似准则

在压力作用下的相似流动，其压强场必须相似。由牛顿第二定律，有：欧拉数：欧拉数实际上是作用在流体上的惯性力与总压力的比值。在压力相似时，

，这就是压力相似准则。§4.1相似理论与模型试验4.非定常性相似准则

对非定常流动，还必须保证模型与原型的流动随时间变化相似。由当地加速度引起的惯性力之比为：由牛顿第二定律，有：斯特劳哈尔数：斯特劳哈尔数是当地惯性力与迁移惯性力的比值。§4.1相似理论与模型试验5.弹性力相似准则

可压缩流体因变形而引起弹性力，作用在两流场流体上的弹性力之比为：由牛顿第二定律，有：柯西数：柯西数是作用在流体上的惯性力与弹性力的比值。对气体流动，体积模量

K与声速c存在关系：则柯西准则转换为马赫准则：马赫数：§4.1相似理论与模型试验6.表面力相似准则

在表面力作用下的相似流动，其表面力分布必相似。由牛顿第二定律，有：韦伯数：韦伯数是作用在流体上的惯性力与表面张力的比值。在表面力相似时，

，这就是表面力相似准则。§4.1相似理论与模型试验4.1.3流动相似条件

相似条件是指保证流动相似的充要条件，模型实验必须遵循相似条件。共有三个相似条件：（1）相似第一条件：相似的流动属于同一类流动，其运动微分方程必相同。（2）相似第二条件：单值条件相似。

所谓单值条件就是把某一特定的流动从无数个同类的相似流动中区分开来的条件。单值条件包括几何条件、边界条件、物性条件和初始条件。因为同一微分方程的通解有无穷多个，应用单值条件才能得到唯一的确定解。（3）相似第三条件：由单值条件中涉及的物理量组成的相似准则数相等。§4.1相似理论与模型试验

相似条件概括为：对同一类流动，单值条件相似且由单值条件中物理量所组成的相似准则数相等时，则这些流动必相似。在上述相似准则中，除欧拉准则外，其它准则都是决定性相似准则。因流场中各点速度及物性参数决定后，各点的压强随之确定。就是说，只要其它决定性准则得到满足，压强也就相似。相似条件解决了模型实验所必须遵循的原则：（1）根据单值条件相似和相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质。（2）实验时，应测定相似准则数包含的所有物理量，并整理成相似准则数。（3）根据相似准则数整理出来的准则方程可以应用于所有的相似流动。§4.1相似理论与模型试验4.1.4近似模型试验

两个流动动力相似时，各相似常数的取值不能是任意的，它们之间存在着相互约束关系。例如，在重力场中，重力相似准则使得：如还要求粘性力相似，则雷诺数应相等（假设模型与原型的流体相同）：显然是矛盾的。实际上，涉及的相似准则越多，各种相似常数间的制约也就越多。有时甚至使实验根本无法进行。工程上常采用近似相似的模型实验方法，忽略次要的定性准则，只考虑起主要作用的力而忽略其它力对流动的影响。§4.2

量纲分析与π定理4.2.1物理方程量纲一致性原则

基本量纲：长度[L]，质量[M]，时间[T]等属于基本量纲。物理方程量纲一致性原则：任何物理方程中，各项的量纲必定相同。角度和弧度属于辅助量纲，但在量纲运算中都视为无量纲数。

量纲的定义物理量单位的属性或种类称为量纲。量纲分为基本量纲和导出量纲。不能由其它量纲导出、具有独立性的量纲称为基本量纲；可通过基本量纲导出的称为导出量纲§4.2

量纲分析与π定理4.2.2π定理

π定理如果一个物理过程涉及到

n个物理量，则它的规律可以用这

n个物理量的某个函数进行描述：假设这

n个物理量包含了

m个基本量纲，则这个物理过程可以用这n个物理量所组成的(n-m)个无量纲量（相似准则数）的函数关系来描述：§4.2

量纲分析与π定理

无量纲数π的具体求法（1）在

n个物理量中任选

m个作为独立变量，但这

m个独立变量的量纲不能相同，而且它们必须包含有

n个物理量所涉及的全部

m个基本量纲；（2）将剩余的(n-m)个物理量分别用所选定的

m个独立变量的乘幂组合来表示，相差的倍数就是相应的无量纲数π。在一般流体力学问题中，通常选取与流动特性密切相关的特征长度、流速以及流体密度作为基本量纲。因为三者既包含了所有基本量纲，又相互独立，而且还代表了几何、运动、动力学三方面的变量。该压强降与管径、管长、管壁粗糙度、管内流体密度、流体的动力粘度以及断面平均流速有关。因此，这一流动过程可用下面的物理方程来表示：例4-2流动过程涉及7个物理量，包含3个基本量纲。其准则方程应为：试用π定理导出不可压粘性流体在水平等直径圆管内流动的压强降公式。解§4.2

量纲分析与π定理选取密度、速度、直径为基本变量。无量纲数为：由量纲的一致性原则可确定待定系数，各无量纲数如下：§4.2

量纲分析与π定理无量纲准则方程为：根据实验结果，沿管道的压强降与管长成正比，于是沿程阻力系数为：§4.2

量纲分析与π定理4.2.3瑞利法

如果物理量

y

是物理量

x1，x2，…xn的函数，即：式中，k为无量纲系数，其值由实验确定；待定指数

a1，a2，…an由量纲一致性原则求出。影响颗粒沉降运动的主要物理参数包括颗粒直径、重力加速度、流体粘度和密度、颗粒与流体的密度差。故有：例4-3用瑞利法求小颗粒在静止流体中的沉降速度。解根据瑞利法，可以写成：由量纲的一致性原则，可得到待定系数有如下关系：§4.2

量纲分析与π定理沉降速度的表达式为：根据实验及理论分析，球形颗粒的沉降速度与其直径的平方成正比，于是：于