5-5数学归纳法 （教案）-高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

《数学归纳法》教学设计执教教师学科数学授课日期讲授章节第五章授课主题§5.5数学归纳法课时1课时课型新授课执教对象高二学生课标解读在本节中，应注意从具体示例中感悟数学归纳法的原理，了解数学归纳法的关键步骤，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，以及与正整数有关的命题.积累从具体到抽象的活动经验，学习有逻辑地思考问题，形成有条理的思维习惯.引导学生体会从特殊到一般、从无限到有限的思维过程，有利于提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模、逻辑推理等核心素养.教材分析本节内容选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习数学归纳法，数学归纳法可以证明与正整数有关的命题，它是一种有鲜明逻辑特色的证明方法.教材从具体实例出发，总结数学归纳法证明的步骤和作用：第一步为基础步骤，第二步为递推关键，二者缺一不可.数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现.并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验从特殊到一般的思维过程的素材.教学时可以根据学生的接受情况，借助“探索与研究”中的多米诺骨牌帮助学生理解数学归纳法.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式、不等式、命题等，其中不等式的证明是难点.学情分析学生已经在之前在数列的通项公式部分初步学习了不完全归纳法，即由有限个特殊例子归纳出一般的结论.但不完全归纳法得出的结论不一定正确，因此，我们需要在不完全归纳法的基础上，进一步学习严谨的科学的论证方法—数学归纳法.学生学习这部分需要着重理解数学归纳法的原理和核心步骤，引导学生通过对数学归纳法的学习，经历从具体到抽象的过程，逐步形成逻辑的推理方式.教学目标了解数学归纳法的原理和步骤，能用数学归纳法证明关于正整数的数学命题；借助具体实例，进行大胆猜测和证明，理解数学归纳法的原理和步骤；感受类比、从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法，逐步培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.教学重难点教学重点：数学归纳法的原理和基本步骤教学难点：数学归纳法的原理教学过程教学环节师生活动情境问题探究1：已知数列中，且.问题1：求出这个数列的第2、3、4、5项；问题2：你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗？【设计意图】通过具体问题的思考和分析，给予学生表达和交流的机会，借此机会鼓励和引导学生在已有的知识基础上进行大胆猜测，进而提出与正整数有关的问题.探究2：怎样才能证明这一点呢？我们已经知道前面5项都是满足的，原则上需要对后面的每一项都进行验证，但因为后面有无数项，所以一一验证是不可能的，不过用下述方法可以给出后面的每一项也满足的严格证明.证明：（ⅰ）已知前5项都满足；（ⅱ）假设时，成立.根据已知条件和假设可知，即时，成立，由以上两点的陈述，就能说明对任何正整数都是成立的.探究新知探究新知探究3：数学归纳法的定义数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行:（ⅰ）当时，命题命题成立；（ⅱ）在假设时命题成立的前提下，能够推出时命题也成立.由上（ⅰ）（ⅱ）两个步骤，就可以说明命题对大于等于的所有正整数n都成立.【设计意图】引导学生理解数学归纳法的基本思想，找到把所有结论递推下去的依据，就可以把结论推广到所有的正整数.深刻理解数学归纳法：数学归纳法中的两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二部就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠第一步无法递推下去，即取以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样，只有第二步而没有第一步时，也可能得出不正确的结论，缺乏第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步就没有意义了.（2）用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，为何要求，这是要保证的一般性和任意性，能够取到大于等于的所有正整数.此外时命题为什么成立，应该用命题成立这一假设条件，然后根据题意和假设等推出时命题也成立，而不是直接代入，否则时命题成立也变成假设条件了，没有进行递推，命题也就没有得到证明.这里的，保证了命题成立时的连续性.典例分析探究4：用数学归纳法证明，对任意正整数，都有证明：（ⅰ）当时，左边=右边=1，等式成立；（ⅱ）假设时，等式成立，即则当时，所以，此时时等式也成立.综上，由（ⅰ）（ⅱ）可知，等式对任意正整数都成立.【设计意图】通过典型例题，加深学生对数学归纳法的理解和运用，发展学生逻辑推理，引导学生理解用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点:（1）弄清取时等式两端项的情况，在第一步中，考察使得结论成立的最小整数，这一步是递推的基础；（2）弄清从到等式两端增加了哪些项或减少了哪些项；（3）证明时结论也成立，要设法将的假设利用上，建立两者之间的联系，并朝证明目标的表达式变形，这一步是递推的关键.延申拓展有人认为可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法，如图所示，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下，你觉得这种理解方式怎么样？【设计意图】在数学归纳的原理及应用之后，展示多米诺骨牌倒下的过程，由多米诺骨牌帮助学生加深对数学归