高考数学一轮复习 讲义 平面向量的应用 教师

课题：平面向量的应用知识点1．平面向量在几何中的应用（1）用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理⇔，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)（θ为向量a，b的夹角），其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝（x，y），a为非零向量（2）用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题eq\o(→,\s\up7(设向量))向量问题eq\o(→,\s\up7(运算))解决向量问题eq\o(→,\s\up7(还原))解决几何问题。2．平面向量在物理中的应用平向量的线性运算：向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：；（2）结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则【注1】1．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；3．利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【注2】1．涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形如：三角函数最值，但一定要关注自变量的范围．另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如：，这一点很重要．2．涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题．【注3】1．三角形中最值、范围问题的解题思路,建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．3．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．【注4】1．平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．（2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．典型例题例1直角中，为斜边边的高，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，由射影定理得，故．例2已知，，且，则的值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】因为，，所以，解得，故选B．例3在矩形中，,，点为的中点，点在边上，若，则的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B例4如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么．故本题选A．例5已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】如图所示，∵，∴设，，又∵，，∴，∴．例6在△ABC中，若，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】，，则，，，则△ABC为直角三角形．故选：B．例7在中，若，则的形状为（

）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】取中点，连接，则，因为，所以，所以，所以，即，所以的是等腰三角形．故选：B．例8在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），则的最大值为（）A．1B．C．D．【答案】A例9在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则,得,所以，故选：D．例10直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，设与的夹角为，，所以，因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，又因为，所以，因为，所以，所以当时最大，此时，最大的值为．故选：A．例11在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如图所示平面直角坐标系：则,设，因为动点位于直线上，直线的方程为：，所以，当时，取得最小值，此时，，所以，又因为，所以，故选：C．例12如图A是单位圆与轴的交点，点在单位圆上，,,四边形的面积为,当取得最大值时的值和最大值分别为（）A．，B．，1C．，D．，【答案】C【解析】根据可知四边形为平行四边形，于是，所以，当时，取得最大值．例13设是平面上的两个单位向量，．若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，则，所以当时，有最小值，选C．举一反三1．（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（

）A．B．C．的取值范围是D．的取值范围是【答案】BD【解析】由正弦定理得即，故B对，A错；又又锐角中解得，故故选：BD2．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，，所以，，，设，因为、、三点共线，所以，，，因为，、、三点共线，所以，联立，解得，，，因为，，所以，，因为，所以，故选：A．3．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，∴，，则，故选：D．4．已知H为的垂心，若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，同理．由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故选：C．5．在平行四边形中，，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【解析】由题意得|，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得：，故选：6．已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【解析】根据正弦定理由，因为，所以，或，当时，,不符合三角形内角和定理，当时，，因此,因此，因为的面积为，所以有，负值舍去，即，由余弦定理可知：，设边的中点为，所以有，因此故选：C7．在中，若，则是的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由，得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点，故选D。8．在直角三角形中，，，点在斜边的中线上，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：所以设，所以，，，所以当时，的最大值为，故选C。9．已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．【答案】【解析】与夹角为锐角时，；解得；当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数的取值范围为．故答案为：．10．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______【答案】【解析】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，，，，解得且，因此，实数的取值范围是且，故答案为：且．11．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2．一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货．若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________．【答案】【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，，在中，有，所以，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为．故答案为：12．若在中，，则面积S的取值范围是___________．【答案】【解析】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；故，又，故．故答案为：．13．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．【答案】【解析】由∴得，所以，因为所以，所以，而，所以．又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，所以，因为为锐角三角形，所以，的面积取值范围为．故答案为：．课后练习1．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为，故选：C．2．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系,则,设,则,且,故当时,的最小值为,故选：D．3．在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，在中，边的中点为D由，可得：，，可得：，，，可得：，（当且仅当时等号成立）则的最大值为4．故选：D．4．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为7，故选：D．5．是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，设，则，，则，所以，则则的最小值为，故选：D．6．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【解析】因为在等腰直角中，斜边，所以，因为、，所以，设，则，所以当时，取得最小值，故选：B7．一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里【答案】A【解析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A8．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为（m）．故选：A．9．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，所以，，所以，即，又是的平分线，所以，而，所以，，，所以，故选：C．10．在中，