高三数学能力拓展题2

高三数学能力拓展题（2）第页共9页高三数学能力拓展题（2）2013/8/17一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）1．函数的定义域是R，其图象关于直线和点(2，0)都对称，，则________．A．6B．8C．10D．－42．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．A．6B．8C．10D．43．已知定义在R上的奇函数，满足且在区间[0，2]上是增函数，若方程在区间[－8，8]上有四个不同的根，，，，则________．A．6B．－8C．10D．－44．定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,|x－1|)，x≠1,1，x＝1))若关于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋eq\f(1,2)有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________．A．5B．15C．10D．245.当0≤x≤1时，不等式sineq\f(πx,2)≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．A．k≤1B．k≤-1C．0<k≤1D．-1<k≤06．设α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，β∈(0，eq\f(π,4))，cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，则sin(α＋β)＝________.A．1565B．513C．eq\f(56,65)D．1213二．填空题（每题5分）7.函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f(x)是偶函数②f(x)是奇函数③f(x)＝f(x＋2)④f(x＋3)是奇函数8.若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.三．解答题（每题12分）9．已知函数，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求，的值；（2）不等式在∈[－1，1]上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．10.已知函数，．（1）求在区间[，]上的最大值；（2）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．高三数学能力拓展题（2）答案解析2013/8/17一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）1．【答案】D解析：函数图象关于直线对称，则，函数图象关于点(2，0)对称，则，∴，∴，∴，又，2．【答案】D解析：AB＝2eq\r(2)，直线AB的方程为，在上取点C（，），点C到直线AB的距离为eq\r(2)，，，此方程有四个解．3．【答案】B解析：因为定义在R上的奇函数，满足，所以，对是奇函数，函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程在区间[－8，8]上有四个不同的根，，，，不妨设．由对称性知，，所以4．【答案】B解析：假设关于t的方程t2＋bt＋eq\f(1,2)＝0不存在t＝1的根，则使h(x)＝0的f(x)的值也不为1，而显然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数，因此方程h(x)＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t2＋bt＋eq\f(1,2)＝0，即得b＝－eq\f(3,2)，所以h(x)＝f2(x)－eq\f(3,2)f(x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解为x＝0,1,2，方程2f(x)－1＝0的解为x＝－1,3，由此可见五根分别为－1，0,1,2,3，因此直接计算得上述五数的平方和为15.答案：155.【答案】A解析：当0≤x≤1时，y＝sineq\f(πx,2)的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．当k>0，kx≤sineq\f(πx,2)时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sineq\f(πx,2)≥kx.答案：k≤16．【答案】C解析：α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，α－eq\f(π,4)∈(0，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，∴sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5).∵β∈(0，eq\f(π,4))，∴eq\f(3π,4)＋β∈(eq\f(3π,4)，π)．∵sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，∴cos(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－eq\f(π,4))＋(eq\f(3π,4)＋β)]＝－cos(α－eq\f(π,4))·cos(eq\f(3π,4)＋β)＋sin(α－eq\f(π,4))·sin(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65)，即sin(α＋β)＝eq\f(56,65).二．填空题（每题5分）7.解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④8.解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝eq\f(1,2)，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝eq\f(1,2)时，有sinθ＝±eq\f(\r(3),2).于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或eq\r(3)或－eq\r(3).答案：0或eq\r(3)或－eq\r(3)三．解答题（每题12分）9．解：（1），当＞0时，在[2，3]上为增函数，故，∴，∴．当时，在[2，3]上为减函数．故，，．∵∴，即．．（2）方程化为，即：，令，则，∵∈[－1，1]，∴∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))．记，∴，∴．(3)由得，，，令，则方程化为，∵方程有三个不同的实数解，∴由的图象(如右图)知，有两个根、，且或，，记，则或，∴．10.解：（1）．当，即时，在[t，t＋1]上单调递增．；当，即时，；当时，在[t，t＋1]上单调递减，．综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵，∴，当∈(0，1)时，，是增函数；当∈(1，3)时，，是减函数；当∈(3，＋∞)时，，是增函数；当或时，．∴，．∵当充分接近0时，，当充分大时，．∴要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须，即．所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为(7，15－6ln3)．11．设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式(用，表示)；（2）设为实数，对满足且的任意正整数，，，不等式都成立．求证：的最大值为eq\f(9,2)．解：（1）由题意知：，，，，，,，化简得：，，，，，当时，，适合情形．故所求．(2