高三数学理科二轮复习-1-5-12等差数列、等比数列、数列的综合应用

高考专题训练十二等差数列、等比数列、数列的综合应用班级______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·上海)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)．则{An}为等比数列的充要条件是()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同解析：依题意有Ai＝aiai＋1∴An＝anan＋1，∴An＋1＝an＋1an＋2{An}为等比数列⇔eq\f(An＋1,An)＝q(q>0)，q为常数∵eq\f(An＋1,An)＝eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q.∴a1，a3，a5…a2n＋1…和a2，a4…a2n…都成等比数列且公比相同．答案：D2．如果等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35解析：本小题主要考查等差数列的性质，前n项和的求法以及转化的数学思想．由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12⇒a4＝4，故a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a答案：C3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S9＝45，则数列{an}的公差为()A．－1 B．1C．2 D.eq\f(1,2)解析：记等差数列{an}的公差为d，依题意得，S9＝9a1＋eq\f(9×8,2)d＝9＋36d＝45，解得d＝1，选B.答案：B4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则eq\f(Sn＋64,an)的最小值为()A．7 B.eq\f(15,2)C．8 D.eq\f(17,2)解析：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＝4,10a1＋eq\f(10×9,2)d＝110，∴a1＝d＝2，于是an＝2n，Sn＝n2＋n，∴eq\f(Sn＋64,an)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(64,n)))＋eq\f(1,2)≥8＋eq\f(1,2)＝eq\f(17,2)(当且仅当n＝8时取“＝”)，选D.答案：D5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.令bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋10．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：令最上面一节为a1则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66).答案：eq\f(67,66)三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·课标)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n项和．解：(1)设数列{an}的公比为q.由aeq\o\al(2,3)＝9a2a6得aeq\o\al(2,3)＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(1,9).由条件可知q>0，故q＝eq\f(1,3).由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝eq\f(1,3)故数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,3n).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(nn＋1,2).故eq\f(1,bn)＝－eq\f(2,nn＋1)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，eq\f(1,b1)＋eq\f(1,b2)＋…＋eq\f(1,bn)＝－2eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝－eq\f(2n,n＋1).所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n项和为－eq\f(2n,n＋1).12．(13分)(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①Tn＝tn＋2·tn＋1·…t2·t1，②①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得Teq\o\al(2,n)＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.(2)由题意及(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1.另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝eq\f(tank＋1－tank,1＋tank＋1·tank)，得tan(k＋1)·tank＝eq\f(tank＋1－tank,tan1)－1.所以Sn＝eq\o(,\s\up10(n),\s\do10(k＝1))bk＝eq\o(,\s\