数字逻辑电路第一章

第一章数字逻辑的

基础知识天津大学仁爱学院信息系葛自强目录1.1数字电路的信号1.2数制＊二、十、十六进制之间的转换1.3码制与编码码制的转换，编码种类、和二进制之间的转换1.4逻辑代数基本知识＊基本定理和定律最大项和最小项逻辑函数的代数化简和几何化简△小结＊重点△难点1.1数字电路的信号模拟量：在时间上和数值上连续变化的物理量。数字量：在时间上和数值上都不连续（即离散）的物理量。定义：表示数字量的信号叫做数字信号，工作在数字信号下的电子电路叫做数字电路。数字信号只有0和1两个状态。数字电路具有误差小、抗干扰性强、易保存等优点。1.2数制——十进制（Decimal）我们平时用的数制：十进制，逢十进一P2(1-1）十——基数，10i——位权1.2数制——二进制（Binary）数字电路所用的数制：二进制，逢二进一P3(1-2)(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－31.2数制——十六进制（Hex）二进制缺点：一个数的位数会很多，不方便书写十六进制表示方式：0-9，A,B,C,D,E,F分别代表十进制中：0-9，10,11,12,13,14,15十进制数二进制数十六进制

0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F二进制-十进制转换二进制转换为十进制二进制-十进制转换十进制转换为二进制(43.6875)10=(?)2整数部分，除2倒序取余小数部分，乘2顺序取整432222210221125余数011································································0011·············最高位（MSB）最低位（LSB）0.687522221.37500.7501.501.0········································整数1101最高位（MSB）最低位（LSB）××××习题整数部分，除2倒序取余小数部分，乘2顺序取整第一次作业：1,3，11（3），12（2）（6），13（4）（6）每个周三交作业二进制数→十六进制数按4位一组得5(1011010.10111)2=(01011010.1011

1000)2=(5A.B8)16AB8十进制→十六进制十六进制→十进制目录1.1数字电路的信号1.2数制＊二、十、十六进制之间的转换1.3码制与编码码制的转换，编码种类、和二进制之间的转换1.4逻辑代数基本知识＊基本定理和定律最大项和最小项逻辑函数的代数化简和几何化简△小结＊重点△难点1.3.1正负数的表示方法

eg. +110，-110原码

+110=（0110）原 -110=（1110）原反码+110=（0110）反 -110=（1001）反补码+110=（0110）补 -110=（1010）补正数的补码是？原码负数的补码是？原码取反+11.3常用的码制和编码最高位为符号位0代表正数1代表负数1.3常用的码制和编码字长=多少位（bit）字节1Byte=8bits 字1Word=16bits双字2Words=32bits二进制1.3常用的码制和编码原码、反码、补码应用补码应用于计算机中，两个数的运算。eg.N1=+0100110,N2=+1010010,计算N1-N2的值补码原码补补负数的补码是原码取反+1负数的原码是补码-1再取反1.3常用的码制和编码1.3.2BCD码(BinaryCodedDecimal)二进制数（0，1）编码的方式表示一个十进制数。几种常见的BCD码

8421BCD码：从二进制编码0000、…、1111（4位自然二进制码）中取前十个数来表示0、1、…、9。8421BCD编码表十进制数 8421码

0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001几种常见的BCD码2421码，5121码余3码是一种无权码，将表示8421码的数码加3（0011）即得到相应的余3码。0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码（2421码也有相似的特性），这对于求取对10的补码运算非常方便。1.3.2

格雷码格雷码是循环码每两个相邻代码中的数码仅有一位不同，其余各位均相同。首尾(0和15)两个代码也仅有一位不同，构成“循环”十进制数格雷码

0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 8 1100 9 1101 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000目录1.1数字电路的信号1.2数制＊二、十、十六进制之间的转换1.3码制与编码码制的转换，编码种类、和二进制之间的转换1.4逻辑代数基本知识＊基本定理和定律最大项和最小项逻辑函数的代数化简和几何化简△1.5小结＊重点△难点1.4逻辑代数基本知识＊逻辑运算中，最基本的运算是与、或、非三种。1.与逻辑 逻辑表达式

真值表为：ABY000010100111ABY0000111011112.或逻辑当决定事物某一结果的一个或多个条件具备时，这个结果就会发生逻辑或，逻辑加。逻辑关系表达式为：真值表为：3.非逻辑：某一结果的发生在相反条件下。非逻辑的函数表达式为：

AY0110真值表为：与、或、非门的符号表示国标符号外文资料常用符号与门或门非门&≥111.4.2复合运算基本运算与、或、非的各种组合。与非：或非：与或非：异或：同或：各种逻辑运算的符号与非与或非或非同或（异或非）异或课堂练习设计一个表决器的电路。有三个人，当A同意时，表决通过；当B,C都同意时，表决也通过。请写出这个电路的逻辑表达式。第二次作业1-14目录1.1数字电路的信号1.2数制＊二、十、十六进制之间的转换1.3码制与编码码制的转换，编码种类、和二进制之间的转换1.4逻辑代数基本知识＊基本定理和定律最大项和最小项逻辑函数的代数化简和几何化简△1.5小结＊重点△难点1.4.3逻辑代数的定律数字电路中变量取值只有0和1，根据逻辑运算规律可以有以下结论：0·0=01+1=10·1=01+0=11·1=10+0=0逻辑代数的一般定律0-1律A·0=0A+1=1结合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C

自等律A·1=A

A+0=A分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)重叠律A·A=A

A+A=A还原律互补律反演律交换律A·B=B·A

A+B=B+A吸收律

A+A·B=A

A·(A+B)=A摩根定理反演定理对一个原函数求反函数:将原逻辑函数中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”；0换成1，1换成0;原变量换为反变量，反变量换为原变量。括号→×→+求的反函数根据反演定理可写出求的反函数对偶规则如果把任何一个逻辑表达式F中的“·”换成“+”，“+”换成“·”；0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式，这个叫F的对偶式。对偶式记做F*

，或F’。对偶定理用来验证两逻辑式是否相等。eg：

1.4.4逻辑函数的标准形式

在逻辑函数的积项之和表示式(与-或表达式)中，在每个积项中均包含全部变量的原变量或反变量，称为最小项，用mi

来表示。如两个输入变量的逻辑函数Y(A,B),有四个最小项：、、、最小项表达式又称标准积之和式。

1、最小项表达式n变量的函数有2n个最小项。

三变量逻辑函数最小项关系表m77111m66m55101m44100m33011m2

2m11001m00000编号对应的十进制数使最小项为1的变量取值最小项010110(1)变量的取值方法：原变量取1、反变量取0；(2)全体最小项之和为1；(3)任意两个最小项的乘积为0；(4)对应于每一种变量取值组合，只有一个最小项值为1，其余均为0。2、最大项表达式

在逻辑函数的和项之积表示式(或-与表达式)中，在每个和项中均包含全部变量的原变量或反变量，称为最大项，用Mi

来表示。如两个输入变量的逻辑函数Y(A、B)，有四个最大项：最大项表达式又称标准和之积式。

n变量的函数有2n个最大项。

三变量逻辑函数最大项关系表M77111M66110M55101M44100M33011M2

2010M11001M00000ABC编号对应的十进制数使最大项为0的变量取值最大项(1)变量的取值方法：原变量取0、反变量取1；(2)全体最大项之积为0；(3)任意两个最大项的和为1；(4)对应于每一种变量取值组合，只有一个最大项值为0，其余均为1。

n变量函数最大项数目和最小项数目是相等的。例如，，则最大项与最小项之间的关系

若将三变量逻辑函数最小项关系表和三变量逻辑函数最大项关系表加以对比则可发现，最大项和最小项之间存在如下下关系:1.4.5逻辑函数的化简

1、

化简的目的是使逻辑函数中的项式最少，每一项包含的因子也最少。和

列出真值表就可以看出，它们是同一个逻辑函数。显然，后面的式子要简单得多。例如有两个逻辑函数2、代数法化简代数法化简就是利用逻辑代数的基本定律和常用公式来化简逻辑函数，所以，也叫公式法化简。化简过程就是不断地用等式变换的办法消去函数式中多余的乘积项和因子，使函数式的最简。经常有以下几种方法：（1）合并项法:[又例]利用公式可以消去B和这一对因子，将两项合并为一项。例:试用合并项法化简下面的逻辑函数（2）吸收法：利用公式A+AB=A和公式可将多余项消去。[例][又例][例]第三次作业1-18（1）[例][又例]（3）消去法：利用公式可将中的因子消去。（4）配项法：利用逻辑函数的基本性质和公式，，先增加项，后合并项，使函数简化[例]冗余项[例]综合练习：3、卡诺图化简(1)卡诺图(Karnaughmaps)

卡诺图是美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的，故以此命名。作图时，把n变量逻辑函数中的2n个最小项各用一个小方格表示，这些最小项的位置是按逻辑相邻性原则排列的，即每个方格中的最小项与其周围相邻方格中的其它最小项只有一个变量不同(互补)，这种图形叫做卡诺图。逻辑变量的卡诺图卡诺图：二变量的卡诺图最小项方格图(按循环码排列)(四个最小项)ABAB0101AB0101二～五个变量最小项的卡诺图

三变量的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同

逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7五变量的卡诺图：四变量的卡诺图：16个格（最小项）ABCD0001111000011110

六个变量卡诺图64个格，当变量个数超过六个时，用卡诺图法化简就困难了。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻32个格（最小项）以最小项表示的函数，用卡诺图来表示逻辑函数所包含的最小项，然后在卡诺图上将这些最小项对应的位置处填1，其余部分填0逻辑函数等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。以最大项表示的函数，则将这些最大项对应的位置处填0，其余部分填1。逻辑函数等于它的卡诺图中填0的那些最大项之积。（2）用卡诺图表示逻辑函数

需要注意：在用卡诺图表示逻辑函数时，由于对变量、尤其是多变量的函数分割、安排的不同，同一个函数，其表现形式会有所不同。为了便于交流，作如下规定：1.变量数为偶时，将变量等分分别写于斜线的上下。2.变量数为奇时，写于斜线上方的变量多一个。3.将变量按ABCDE的顺序排列，先写AB于斜线的下方,后写CDE于斜线的上方。（2）用卡诺图表示逻辑函数ABCD00011110000111100100010001011000例:将逻辑函数Y

用卡诺图表示。卡诺图化简法一般分以下几个步骤：(a)将逻辑函数按最小项（或最大项）填入相应的卡诺图。(b)

找出可以合并的相邻项（函数值为1的相邻格）。(c)

合并所有相邻项，每项写出一个与（乘积）项式。(d)

列出最简与-或式（将所有与项式相或）。注意：(a)每个能够合并的格数必须是2的整数次幂，即2、4、8…，构成矩形或方形；

(b)可合并的最小项圈中应包含尽量多的最小项，即圈尽量大；

(c)最小项的每一格可以重复圈，但每个圈中至少有一格只圈过一次。（3）用卡诺图化简逻辑函数ABCD000111101000111101例:用卡诺图化简法将下式化简为最简与—或函数式ABCD00011110100011110111ABCD000111101000111101111ABCD00011110100011110111111ABCD00011110100011110111100000000000ABCD00011110100011110111100000000000ABCD00011110100011110111100000000000ABCD00011110100011110111100000000000ABCD00011110100011110111100000000000ABCD00011110000111101000000011111111。

例:ABCD00011110000111101000000011111111由于如图所示函数，卡诺图中只有3个0格，其余均为1格，故通过圈0格，写出或与式，形式更为简单。圈0格的方法同圈1格类似。只是变量取值不同，取值方法与圈1格相反，即：

0—对应原变量，1—对应反变量每项为各变量的或，函数为所得全部或式之与。ABCD00011110100011110011011111011111由卡诺图求函数最简式的另一种形式先将卡诺图中的1看作0，