双变量区间估计

第五章双变量回归：区间估计和假设检验OLS估计值在多大程度上可靠?双变量下OLS估计量的性质bˆ1sˆ2bˆ21.无偏估计E(b1)=b1E(b2)=b2ˆˆ3.推论:随n变大,估计更精确ås=s=bxˆ[Se(b2)]2222ˆ2()[]s×åå=b222ˆ1xnxSe2.最小方差()x2)2n(22~2nˆ-ss-OLS估计量属性ˆˆ

1

和

2

是正态分布的假设检验和置信区间()bˆf2密度d-bˆ2d+bˆ2b2bˆ2随机区间(置信区间)真实值估计的b2落入区间^

OLS估计量的可信度有多大

?

b1距b1

有多近?

b2

距b2有多近?^^假设检验和置信区间ˆˆ0.990.950.90Pr(

2-<2<2+)=(1-)(1-

)是置信系数:(0<

<1)

也称显著水平.ˆ

2-d

称置信下限

2+d称置信上限和之间区间称为随机区间

(置信区间)ˆ0.010.050.10构造

bi

的置信区间åås=sÞbxnx2i2i22ˆ1()sbbb211ˆ1,N~ˆ()sbbb222ˆ2,N~ˆås=sÞbx2i22ˆ2()s2ui,ON~uE(u)=OVar(u)=su2假设:构造

bi

的置信区间()bˆf2bˆ2()b=bˆE22实际估计的

2可能落入该区间()b2b-b=ˆSeˆZ22构造

bi

的置信区间转换成标准正态分布构造

bi

的置信区间假设实际的

s2可知，运用正态分布来对b2作出判断事实上是不可观察的()()()sb-b=bb-b=xˆ1,0NˆSeˆZ222222~假设:构造

bi

的置信区间接受域()95.096.1Z96.1Pr=<<-95%置信区间:96.1)ˆ(Seˆ96.1222<bb-b<-构造

bi

的置信区间ˆb-b95.096.1)ˆ(Se96.1Pr222=<b<-Þ()*b±bÞˆSe96.1ˆ22s2事实上,是不可知的,我们不得不使用无偏估计量2n2¬RSSuˆi2ˆ-å=s运用t分布来替代标准正态分布.构造

bi

的置信区间()*()b*+b<b<b-bÞˆSe96.1ˆˆSe96.1ˆ22222=估计量的标准误估计值

–实际参数tbb-b=)ˆ(Seˆt222()såb-b=ˆxˆt222使用t来构造b2的区间构造

bi

的置信区间SEE或者是其他需要对比的值运用t分布构造的

b2

区间：构造

bi

的置信区间其中

是双尾下的t的临界值

a

是显著水平

(n-2)是自由度

(两变量情况下).tc2n,2-a±2aa-=££--a-a1tttPrcc2n,22n,2*构造

bi

的置信区间()90.0tˆSeˆtPrc222c2n,05.02n,05.0=ççèæ£bb-b£---因此()()()ˆˆˆˆc*+£b£*-90.0SetSetPr22c2222n,05.02n,05.0=bbbb--整理,Pr(-tc0.025,n-2(2-2)/Se(2)

tc0.025,n-2

)

=0.95

^^因此

b290％水平的置信区间:()b*±b-ˆSetˆ2c22n,05.0()bˆSe2-tc2n,05.0从t表查得从估计结果查得bˆ2&b295％水平得置信区间：

()b±ˆ*Set2cbˆ20.025,n-2

假定

=0.5091,n=10,Se()=0.0357,

95%的置信区间:ˆSe()tˆ2c22n,2b*±b-a)5914.0,4268.0(0823.05091.0)0357.0(t5091.0c8,025.0Þ±Þ±Þ2.306x0.03575091.0±Þ90%的置信区间:)0357.0(t5091.0c8,05.0±

检验显著性水平的方法:

单尾t检验规则计算t*值第2步:()bb-b=ˆSeˆt*222tc2n,-a第3步:查t值表

寻找临界值

()()b<bb>bb³bb£b221221220220ˆ:Hˆ:Hˆ:Hˆ:H第1步:表述出假设第4步:比较

tc

和t*单尾t检验的判断标准

左尾(如

t<-tc==>拒绝H0)(如

t>-tc==>不拒绝

H0)决定准则第5步:如t>tc==>拒绝

H0

如

t<tc==>不拒绝

H0右尾0tc<t右尾0-tct<左尾双尾t检验b-ˆ()bb=ˆSet2222.计算

3.查t表得临界值:

b¹bb=b221220ˆ:Hˆ:H1.表述出假设双尾t检验4.比较

t

和b2接受域拒绝域()b*+b-aˆSet2c22n,2拒绝域()b*-b-aˆSet2c22n,25.Ift>tcor-t<-tc,故拒绝

Ho

or|t|>|tc|决定准则:Stata得到的t值H0:

2=

0H1:

2

0t=0.5091-00.0357RSSSEE=

^Se(β2)^单尾t检验

()5.8570357.02091.00357.03.05091.0tˆSeˆt222==-=bb-b=1.计算:3.0:H3.0:H2120>b

b我们也可假定:ˆˆ单尾t检验=0.052.查表

得

=1.860Hreject860.1t857.5t0c8,05.0\=>=3.比较t和临界标准

t值单尾t检验b<b*221:Hb³b*220:Hˆˆ“左尾检验的判断准则”Ift<-tca,

df

=>拒绝

H0^

**-tc

Se()左尾

^假设我们假定观察的和真实的b2一致吗

?=3.0:H3.0:H2120¹bbbˆ2双尾t检验

(1)置信水平:95%置信水平是

(0.4268,0.5914)不包括真实的

2.

2

不等于

0.3(2)来自于显著检验的方法:比较t值和临界t值:5.8570357.02091.0==0357.03.05091.0-=()2ˆSeˆt22bb-b=tc0.025,8=2.306,==>rejectH0这意味着

2

不等于0.3“接受”或“拒绝”接受原假设:

我们能够说的是基于样本我们不能拒绝;我们不能说原假设是毫无疑问的.因此“接受”Ho,我们应该意识到另一个假设可能和数据是协调的.所以统计的结论“不拒绝”优于“接受”“零”原假设与“2－t”法则

检验某一个变量对于因变量的解释能力，或变量的显著性，这一问题就表述为对应的系数是否可约束为零，即为H0：b2＝0，即零原假设或简称为零假设。零假设检验有一常用的法则(“2－t”法则)：如果自由度大于或等于20，显著性水平为.05，则所计算的t的绝对值超过2时，应拒绝零假设H0：b2＝0显著性水平a通常选定的显著性水平a，其实质含义为犯第I类错误的概率，所谓第I类错误是指，在原假设为真时，拒绝这一正确的原假设，即去真。而对应的取伪的概率即为犯第II类错误的概率，即接受了错误的假设的概率。所谓检验势（powerofthetest）定义为1－Pr.(犯第II类错误)，这是目前在仿真实验中所使用的概念,它主要用在计量经济学的理论研究中,以此评价所构造的统计量的检验能力.精确显著性水平：p值计量经济学软件中，目前广泛使用精确的概率值，它表示所设定的原假设可被拒绝的最低的显著性水平

p值与显著性水平a关系，如果要选定a

，那么，当p值小于或等于a

时，则在a水平上拒绝原假设。反之，不拒绝原假设。回归分析与方差分析

在回归分析中，我们推出了下式TSS=ESS+RSS

总平方和TSS的自由度为n-1；解释平方和的自由度为1；残差平方和的自由度为n-2考虑显著检验问题回归分析与方差分析（续）在扰动为正态分布且在H0：b2＝0之下，统计量F服从F分布，其第一自由度为1，第二自由度为n-2

对于双变量