初中数学答题技巧详解

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中考初中数学必考点答题技巧详解

构建答题模板

模板1三角函数的周期性、单调性及最值问题

【例1】已知函数

sinx+j—3sin2x+sinxcosx+1.

⑴求函数y（x）的最小正周期；

（2）求函数大幻的最大值及最小值；

（3）写出函数人M的单调递增区间.

审题路线图不同角化同角f降基扩角f化fix）=zAsin（（ox+（p）

+〃f结合性质求解.

规范解答

解/(x)=2cosA^pinx+^cosx—\/3sin2x+sinx-cosx+1

=2sinxcosx+3(cos2x—sin2x)+1

=sin2x+\/3cos2x+l

=2sin2x+?+1.

3J

(1)函数/U)的最小正周期为彳=兀

兀

(2),.・一lWsin2r+Zl,

\3)

(兀)

/.—1W2sin2x+'+1W3.

TVJTIT

•二当2X+Q=5+2Z兀，k®Z,即戈=方+4兀，4£Z时，，/(x)取得最大值3；

当然+金=_,卜22兀,kSZ,即x=一毛卜hr,卜£Z时，危)取得最小值一L

构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成/=

Asin（（ox+（/））+h的形式或j=/lco§®x+0）+a的形式.

如：/（x）=2sinI2x+5”+1.

第二步：根据/U）的表达式求其周期、最值.

第三步：由sinx、cosx的单调性，将“GX+夕”看作一个整体，转

化为解不等式问题.

第四步：明确规范表述结论.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

模板2与平面向量综合的三角函数问题

【例2】已知向量.=(cosy,siny),6=(—sinp—cos力其中

x.恨7r.

(1)若|仅+〃=由，求x的值；

(2)函数/(X)=Q++|Q+臼)若c》(x)恒成立，求实数c的取值范围.

审题路线图(l)|〃+5|=y3f+力?=3f三角方程f求x.

(2)化应¥)向量表示式为三角表达式f化简/(x)=Asin(cox+(p)+

规范解答

解⑴；q+6=(cosy-sinpsiny-cosf),

-c-。c»；r>0、・

由|a+b|=\3,得\，2—2§in2x='/3,即sin2x=一

7T

Vx^y71，・••兀＜2x＜2zr.

因此2x=7t+］或2x=2n—Tf即x=称或x=y?.

UU1./JL/

3xx3xx

（2）：a7）=­cos会insin万cos1=-sin2x,

.♦./（不）=。b+W+旬2=2—3sin2A*,＜兀＜2X〈2TC,

/.—1Wsin2xW0,0W—3sin2AW3.

・・・2Wy（x）=2—3sin2rW5.

•\Ax）max=5，由。次Y）恒成立，得C＞5.

构建答题模板第一步：根据向量运算将向量式转化为三角式；

第二步：化简三角函数式，一般化为的形式；

第三步：解三角方程或求三角函数的单调区间、最值；

第四步：明确规范地写出答案；

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.如本题的易

错点为易忽略兀］这一条件.

模板3由数列的前〃项和其与通项%的关系求通项％

【例3】已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，。1=1,斯+i=2S〃+l

等差数列仍〃｝中，%>0(〃£N),且加+岳+必=15,又由十仇、

生+仇、的+必成等比数列.

⑴求数列｛%｝、｛〃〃｝的通项公式:

(2)求数列｛斯仇｝的前n项和T〃.

审题路线图（1）|%"1-5一（22）|一卜肖去与

得%-1=3叱口一％二3一1

?|观察&♦九中||在7；前乘以4i的公比,

-，与6；的特点|一|构造使用错位相减的条件

-27；=-2〃♦3”一|得「

ria

规范解答

解⑴,•%=1,%+i=2S〃+l(〃£N)

・・・斯=2S〃—i+l(〃£N*,〃22),

♦•%”]一%—2(S〃-S〃-])，即。“+1-—2。“，

••・斯H=3〃〃(〃£N",〃22).而劭=2〃1+1=3,.•.。2=3。1.

工数列｛%｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

.•.%=3〃­(〃£N*)./•(i\=\,敢=3,“3=9,

在等差数列出〃｝中，・・•仇+力2+63=15,：・bz=5.

又・・・0+瓦、a2+b2.6+=成等比数列，设等差数列｛仇｝的公差为",

则有3+6)Q+仇)=(。2+力2)2.

・•.(+5—①(9+5+m=64,解得d=—10或d=2,

・・♦儿＞0(〃£N’)，・•・舍去/=-10,取d=2,

:.hi./.h..=?n-\-1r+iA4-海,T1

2z,-2,,,

(2)由(1)知7j/=3Xl+5X3+7X3+-+(2w-l)3+(2//+l)3~,

①

23WI,/

A37；/=3X3+5X3+7X3+-+(2/Z-1)3-+(2/Z+1)3,②

・・・①一②得一2〃=3Xl+2X3+2><32+2义33+…+2X3”T

(2〃+1)3〃

=3+2(3+32+33+-+y1)-(2z/+l)3,/

3—3〃

=3+2X-+1)3〃=3〃一(2〃+1)3"=—2〃3〃,

:.T〃=nW；

构建答题模板第一步：令〃=1,由S〃=/5〃）求出Q1.

第二步：令〃22,构造斯=S〃-S〃—i，用。〃代换S“一Si（或用S”一

丛一］代换为,这要结合题目特点），由递推关系求通项.

第三步：验证当及=1时的结论是否适合当“22时的结论.

如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示.

第四步：写出明确规范的答案.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点，

易忽略对n=l和n22分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.

模板4数列求和问题

[例4](2012♦江西)已知数列｛%｝的前〃项和S“=—〃(其中

AWN+),且S〃的最大值为8.

(1)确定常数A,并求％;

(2)求数歹《审，的前〃项和Ttl.

审题路线图

S„=—^n2+kn为关于n的二次函数

I当〃=A时，S〃取最大值

ISA=­；〃2+好=%2=8

I解关于〃的方程得：k=4

I定S〃=—,一一

9

J"”=S〃一S„-\=2—〃（〃22）

9—2〃〃n

Ib〃=2〃2〃T

IT,t—1------

l用错位相减求和

规范解答

解（I）当〃=%£N.时，S〃=-52+初取最大值,

即8=5々=—；产+9=；然，

故必=16,因此左=4,

从而o〃=S〃一S”—[=£—

79

又⑦=Si=F所以〃,,=二性.4<1

e9—2%n

(2)因为〃呼

b=2〃-i，

T„=bi+b-i-----F/>=l+|+^+n—1

2Zi2〃v+2〃-1，

所以T„=2Tr-Tt=2+\+^+-

n____〃+2

2〃T42〃-]•

构建答题模板第一步：利用条件求数列｛。〃｝的通项公式.

第二步：写出丁〃=加+庆+…〃的表达式.

第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.（例如：公式法、

裂项法，本题用错位相减法）.

第四步：明确规范表述结论.

第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在

求斯时，易忽视对〃=1,时的讨论.

模板5立体几何中的基本关系与基本量问题

【例5】在如图所示的空间几何体中，平面4CO_L平面/3G

BC=CA=DA=DC=BE=2tBE和平面ABC所成的角为60°,

且点E在平面ABC上的射影落在N/13C的平分线上.

(1)求证：〃平面/46C；

(2)求多面体力6COE的体积.

审题路线图在平面ABC内作辅助线0尸~*证明〃。〜将多

而侏/Reni7A弱IfA即设两人二舫摊伙和夕知

规范解答（1）证明

DE

由题意知，

△力BC,/\ACD都是边长为2的等边三角形,

取/C中点。连接B0,。0,

贝ljBOL4C,DOLAC.

•・•平面，CQ_L平面ABC,

・・・0。_1平面48。，作£7」平面/8C,

那么E/〃OO,根据题意，点厂落在60上,

AZEBF=60°,易求得£尸=0。=5,

:.四边形DEFO是平行四边形，DE//OF.

♦.•0EZ平面/BC,。尸U平面48C,

・・・。£〃平面/1BC.

(2)解:平面4C£)_L平面OBX.AC,

・・・OB_L平面力CD

又,：DEI/OB、.・.Z)E_L平面D4C

・・・三棱锥E—D4C的体积

又三棱锥E—ABC的体积

6一小

・・・多面体力6CDE的体积为＞=%+%=丁

构建答题模板

第一步：画出必要的辅助线，根据条件合理转化.

第二步：写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分.

第三步：明确写出所证结论.

第四步：对几何体进行合理转化（分割或拼补）.

第五步：分别计算几何体的体积并求和.

第六步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范.

模板6空间角或空间距离问题

【例6】如图，在七面体46COMN中，四边形/6CD是边长为2

的正方形，MOJ_平面ABCDfN6_L平面ABCDf且MD=2,

NB=\,MB与ND交于P点.

⑴在棱48上找一点Q,使2P〃平面4VO,并给出证明;

⑵求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.

审题路线图(1)P是△/氏M的一边BM上的点一在另一边AB上一

占七七上八/七八八〃,一5°BPNB1

定存在一点0使"一位=而=而万=亍

(2)建立坐标系一构造法向量->求夹角.

规范解答

解⑴

QB

当时，有。尸〃平面4A/D

证明：•・・"0_1平面/8。，75_1平面/夕。。，:.MD〃NB.

.BPNB1OB1

••丽=砺=5♦乂）

・2BBP

•&=丽・

・••在△M46中，OP〃AM.

又。PZ面ZA/O,力MU面4M。，

：.OP//^AMD.

⑵

以。4、DC、0M所在直线分别为x轴，歹轴，z轴建立空间直角坐

标手力n闵_______

贝IJ0(0,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2),N(2,2,l).

.\3f=(0,—2,2),忒=(2,0,1),5c=(0,2,0).

设平面CMN的法向量为m=(x,j,z),

A?r(5w=0,-27+2==0,

则~

«i-cw=0.2x+z=0.

取x=l,・・・切=(1,-2,-2).

又N8_L平面/BCD,:.NBLDC,又DCIBC.

・・.DC，平面BNC.

・'•平面8NC的法向量肛=法=(0,2,0),

/〃广〃2-42

c°s3,肛〉=WN=3X2=-3-

设所求的锐二面角大小为仇

则COS，=|CO§〈〃1，〃2〉|=|・

故平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值为|.

构建答题模板第一步：作出（或找出）具有公共交点的三条相互垂直

的直线.

第二步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标.

第三步：求（或找）两个半平面的法向量.

第四步：求法向量的夹角或COS〈如，色〉（若为锐二面角则求

|COS〈〃],肛〉I）-

第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角.

第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.如本题求得

?一2

cosM=一§后易答当二面角的余弦值为一;而出错，一定要

杳，；讶—•占

模板7解析几何中的探索性问题

【例7】已知定点。(-1,0)及椭圆x2+3/=5,过点。的动直线与

椭圆相交于力，8两点.

(1)若线段中点的横坐标是一；，求直线N5的方程；

(2)在x轴上是否存在点使疝•成为常数？若存在，求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由.

审题路线图设AB的方程p=A(x+l)-待定系数法求A-写出

方程；设M存在即为W，0)f求危1•疝?在必•诚为常数的条件

下求m.

规范解答

解（1）依题意，直线45的斜率存在，设直线的方程为

y=k（x+\）9

将/=A（x+1）代入^+3^2=5,

消去p整理得（3解+14+6A2X+3好一5=0.

设4（X[,Ji）,B（X29%），

4=36〃一4（32+1）（3炉一5）＞0,①

则/+尤__上②

X.为十处一3炉+「②

由线段川中点的横坐标是T得立要=一餐「一3,

解得左=±g,适合①.

所以直线AB的方程为x~\[3y+1=0或x+由j+1=0.

(2)假设在x轴上存在点M＞，0)，使苏•成为常数.

(i)当直线4B与x轴不垂直时,

6炉_3门一5

由（1）知X\+x2=3公+1'修处―3,+「

所以总-MB=（xI—"。（、2—〃?）+y\yi

=5-〃?）（应一加）++l）（x2+1）

=（2+1）%1万2+（—一〃7）（X]+X2）+F+"Z2.

将③代入，整理得拓林=色〃域匕二5Tm2

2机一斗仃炉+1)-2加一号

2

'~~3一+1nr

=〃P+2〃L；6〃/+14

3（3炉+1）。

注意到宓•而是与k无关的常数，

74

从而有6帆+14=0,优=—1此时次TAT供=6.

(ii)当直线与x轴垂直时，此时点％、B的坐标分别为1—1,1

RA

当，〃=一1时，也有加•而=G・

综上，在X轴上存在定点M[-2o],使祝4,血为常数.

构建答题模板第一步：假设结论存在.

第二步：以存在为条件，进行推理求解.

第三步：明确规范表述结论.若能推出合理结果，经验证成立即可

肯定正确：若推出矛盾，即否定假设.

第四步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.

如本题中第(1)问容易忽略/>0这一隐含条件.

第(2)问易忽略直线AB与X轴垂直的情况.

模板8概率与统计问题

【例8】(2012・山东)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分

别为123；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之

和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取

两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

审题路线图确定概率模型一列出所有取卡片的结果(基本事

件)f构成事件的基本事件一求概率.

规范解答

解(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为Z,B,C,标号为1,2

的两张蓝色卡片分别记为O,E,从五张卡片中任取两张的所有可能

的结果为(力，B)f(4C),(A,D),(4E),(B,C),(B,0,(B,

E),(C,£>),(C,E),(D,E),共10种.由于每一张卡片被取到的

机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.

从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于

4的结果为(4，O),(4E),(B,0,共3种.

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为玲.

⑵记E是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的

结果为(4B),(Z,Q,(4D),(Z,E),(A,F),(B,C),(B,D),

(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,£),(D,F)，(E,

d珏1s用।

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可

能的.

从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于

4的结果为(40),(4E),(B,£>),(A,F),(B,F),(C,F),(D,

F),(E,F),共8种.

Q

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为2.

构建答题模板第一步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；

第二步：将所求事件分解为若干个互斥的事件，或转化为其对立事

件.（也许不用分解，但分解必须注意互斥）

第三步：分别计算每个互斥事件的概率.

第四步：利用概率的加法公式求出问题事件概率.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及答题规范.

模板9离散型随机变量的分布列、期望与方差

［例9］已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外

完全相同.

(1)每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为

止，求取球次数。的分布列和数学期望4。；

(2)每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取

3次，求取出红球次数〃的数学期望£(〃).

审题路线图取到红球为止一取球次数的所有可能1,2,3,4—求

对应次数的概率一列分布列f求E(e).

取出后放回，这是条件一每次取到红球的概率相同一三次独立

重复试验一利用公式.

解（七的可能取值为

1123,14.

313Al3X33_

2-

P《=l)=Irr66X5KT

3X2X33

P(6=3)=

A6-6X5X4-20,

AUl3X2X31

P(D=6X5X4X3-20*

故《的分布列为

I234

1331

p2102020

数学期望召©=1X:+2X2+3X,+4X：=1.

41vXLI4UQ

⑵取出后放回，取球3次，可看作3次独立重复试验,

所以)7〜6(3,1),

所以E(t])=3X2=2,

构建答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值.

第二步：求出每个可能值的概率.

第三步：画出随机变量的分布列.

第四步：求期望和方差.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题可重点

查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否

正确.

模板10函数的单调性、最值、极复问题

【例10】已知函数/(x)=alnx+4~+x(。00).

(1)若曲线p=/(x)在点(L八1))处的切线与直线x~2y=0垂直，

求实数〃的值；

(2)讨论函数人幻的单调性；

(3)当“£(—8,0)时,记函数/(x)的最小值为g(°),

求证：鼠")&丁2.

审题路线图(1/(1)=一2一求心

(2)讨论，(x)>0或，(x)〈0f/(x)的单调区间.

(3)求人幻的最小值gm)的函数表达式f求g(q)在(一8,0)上的最

大值fg(q)W；e2.

规范解答

⑴解ar)的定义域为国x>0}.

2/

f(x)=£一

x2+1(x>0).

根据题意，有/'(1)=—2,所以2，一。一3=0,

3

解得。=-1或Q

2,

(2)解/a)=；—g+i=x2-{~ax—2a2

~7

(x-q)(x+2q)

(x>0).

①当4>0时，因为x>0,

由/(x)>0得(x—a)(x+2a)>0,解得x>a；

由/(/)〈。得(无一〃)0+24)<。，解得0〈x<a

所以函数加)在(。，+8)上单调通增，在(0,q)上单调递减.

②当”0时，因为入>0,

由，(x)>0得(x—a)(x+2a)>0,解得x>一2a；

由/'(x)v。得住一”)(x+2q)v0,解得0cv—2〃・

所以函数人*)在(0,—2。)上单调递减，在(一2a,+8)上单调递增.

(3)证明由(2)知，当。£(一8,0)时，函数大外的最小值为八一2々),

即g(q)=A_2q)=Q1D(—2a)+-2a=Hn(-2a)—3a.

g'(67)=ln(—2a)+a,_勿-3=ln(—2a)-2,

令g'(。)=0，得q=一聂

当。变化时，g'(。)，g(Q)的变化情况如下表:

（8，e）-V（十0）

a22t

g’⑷+0—

g（a）/极大值X

一Ie?是g(q)在(一8,0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是

g(Q)的最大值点.

所以g(。)展大值=g-1e2j

=-1e2ln[-2x[-Je2|]-3[-p

12.2_J_321，

=一Ine-+je**=2e♦

所以，当。£(—8,o)时，成立.

构建答题模板第一步：确定函数的定义域.如本题函数定义域为

（0,+°°）.

第二步：求函数1x）的导数/。）.

第三步：求方程/（外=0的根.

第四步：利用/（幻=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定

义域分成若干个小开区间，并列出表格.

第五步：由/（外在小开区间内的正、负值判断,危）在小开区间内的

单调性；求极值、最值.

第六步：明确规范地表述结论.

第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题第⑵

向易勿祯宗▽域.对〃不能正确分举讨论一

模板11含参不等式的恒成立问题

【例11]已知函数应^)=工3+必2+d+”，当工=-j和X=