冲刺2022届高考物理大题限时集训13　带电粒子在组合场中的运动（解析版）

冲刺2022届高考物理大题限时集训

专题13带电粒子在组合场中的运动

【例题】某粒子控制装置中，同时利用电场和磁场来控制粒子的运动，其简化示意图如图甲所示。

粒子由静止开始先经加速电场加速，然后沿平行于板面的方向从两板左侧中间位置射入偏转电场,

离开偏转电场后进入偏转磁场，最后打在屏上。已知粒子的电荷量为q,质量为机，加速电压为

G,偏转电场两板间距离为d,两板间的电压U随时间，变化的图像如图乙所示，由于粒子在偏

转电场区域运动时间极短，粒子通过此区域时，可认为电场是不变的匀强电场；偏转磁场区域是

宽度也为4的条形匀强磁场，磁场两边界与屏平行，不计粒子重力和空气阻力。求：

（1）粒子进入偏转电场时的速度％；

（2）要使所有粒子均能从偏转电场飞出，极板长度最长为多少；

（3）若偏转电场的极板长度为d,且以最大速度飞入偏转磁场的粒子从磁场飞出后，恰好垂直在

屏上，则偏转磁场区域的磁感应强度为多大。

加速电场偏转电场偏转磁场屏

甲

【答案】

【解析】

（1）在加速电场中，由

,,12

qu、=5机坛

可得

Vm

（2）如果具有最大偏转位移的粒子能刚好飞出，则所有粒子均能飞出，此时极板长度最大则

又

qE=ma

E旦

d

An=卬

解得

tan0=—

%

在偏转电场中运动的时间

d

八=一

%

沿偏转电场方向的速度为

匕=皿

粒子进入磁场的速度为

丫=工

COS。

设粒子轨迹半径为，，由几何关系可知

rsin0=d

又

•>

「mv~

qvB=-----

r

联立以上各式解得

带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动（圆周、类平抛、变速直线、匀速直

线等）组合而成。

（1）分析研究带电粒子在不同场区的运动。

（2）分析与计算各阶段运动间连接点的速度大小与方向是解题关键。

（3）画出全过程运动示意图很重要。

1.正确区分“电偏转”和“磁偏转”

带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较

垂直进入磁场（磁偏转）垂直进入电场（电偏转）

!_,B：

情景图

FB=qvoB,FB大小不变,方向

FE=qE,FE大小、方向不

受力总指向圆心，方向变化，FB为

变，为恒力

变力

类平抛运动

匀速圆周运动

运动规Eq

以一政），vy—mt

ntvo2兀〃2

律Bq'T~Bq

_Eq）

x-vot,y-2mr-

2.基本思路

带电电场中

粒

子

在

分

离的

麻

电

场

磁

的

中

动

运

磁场中

3.“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

要清楚场的性质、方向、强弱、范围等

带电粒子依次通过不同场区时,由受力

情况确定粒子在不同区域的运动情况

正确地画出粒子的运动轨迹图

根据区域和运动规律的不同.耨粒子运

动的过程划分为几个不同的阶段,对不

同的阶段选取不同的规律处理

要明确带电粒子通过不同场区的交界处

时速度大小和方向关系，上一个区域的

末速度往往是卜一个区域的初速度

【变式训练】如图所示，在X。），平面0*34的区域内存在垂直平面向里的匀强磁场,

磁感应强度大小为B,在3>3。的区域内存在平行于X。），平面垂直x轴方向的匀强电场（图中未

画出），从原点。沿y轴正方向发射的带负电粒子刚好从磁场右边界上的P点离开磁场进入电场，

经电场偏转后到达x轴上的。点，且粒子到达。点时速度恰好沿x轴正方向。己知粒子的质量为

加、电荷量为W，尸点的坐标为（3m1.5a）,不计粒子所受重力，取sin37o=0.6,cos37°=0.8,求：

（1）粒子经过P点时的速度大小n；

（2）电场强度的大小和方向；

（3）粒子从。点运动到。点所用的时间。

ytxxx!

I

XXX

I

XXX；

Opa~Qx

।

।

।

।

।

।

2

l5qBa£21qaB？=j27^M+_8w_

【答案】（1）8/n；（2）-64加，沿y轴负方向；（3）,80^3qB

【解析】

（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,粒子到达P点时速度方向与），轴负方向的夹

角为a,根据几何关系有

Rsina=1.5。

/?+Rcosa=3〃

根据牛顿第二定律有

V2

qvB=m——

R

解得

\5qBa

v=----

8/n

（2）粒子在电场中做类平抛运动，将粒子从P点进入电场的速度分解，设垂直电场方向的分速

度大小为“其沿电场方向的分速度大小为处，粒子从P点运动到。点的时间为⑵根据运动规

律有

vv=vcosa

-1

1.5a=-vyt2

根据牛顿第二定律有

qE"=m-匕

t2

解得

27敦B?

口一

64/w

根据运动过程分析受力可知，电场强度的方向沿y轴负方向。

（3）粒子在磁场中做完整圆周运动的周期

T2兀R

1------

V

粒子在磁场中运动的时间

1270T127T

t,=-----T=------

1360°360

粒子从。点运动到Q点所用的时间

t=tl+t2

解得

127冗m8/n

t=---------1---------

1SOqB3qB

1.某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为正方形EFG"、方向垂直纸面向

外的匀强磁场，探测板CO平行于HG水平放置，只能沿竖直方向移动。a、6两束宽度不计带正

电的离子从静止开始经匀强电场0。加速后持续从边界E"水平射入磁场a束离子在EH的中点射

入经磁场偏转后垂直于"G向下射出，并打在探测板的右端点。点，已知正方形边界的边长为

2R,两束离子间的距离为（）6夫，离子的质量均为加、电荷量均为q,不计重力及离子间的相互作

用，°。已知。求：

（1）求磁场的磁感应强度B的大小以及a束离子在磁场运动的时间t；

（2）要使两束离子均能打到探测板上，求探测板CD到HG的距离最大是多少？

EF

a

CD

【答案】（1）R%q,2.（2）0D=i5

【解析】

（1）离子在电场中加速，由动能定理

八HPQD

tan0=------=------

077PQ

解得

4

QDR

2.如图所示，坐标系xOy第一象限内有场强大小为E,方向沿x轴正方向的匀强电场，第二象限

内有磁感应强度大小为B,方向垂直于xOy平面且与x轴相切于P点的圆形匀强磁场区域（图中

未画出），P点的坐标为（2/。，0）电子人人以大小相等的速度从P点射入磁场，b沿+y方向,

a、b速度方向间的夹角为0（0＜。＜2）,a、匕经过磁场偏转后均垂直于y轴进入第一象限，b经

过坐标为（0,lo）的。点.已知电子质量为“、电荷量为e,不计电子重力.

（1）求电子进入磁场时的速度大小也

（2）求a、b第1次通过磁场的时间差加。

（3）a、8离开电场后途经同一点A（图中未画出），求A点的坐标及。从P点运动至A点的总

路程So

【解析】

（1）粒子运动轨迹如图所示

0a

根据题意可知电子的轨迹半径

电子在磁场中运动

evB=m-

r

解得

V=蛆

tn

(2)粒子运动轨迹如上图所示，电子在匀强磁场中运动的周期

.2兀m

1=-----

eB

。在磁场区中的运动时间

。在磁场区中的运动时间

5

可得

解得

,0m

2=——

eB

(3)粒子运动轨迹如上图所示，a、b离开电场后均经过圆形磁场的最高点A,A点的坐标为

(-2/。4)；

。在磁场中运动的路程

心=啜2丸

无场区的路程

52=2(2/()-cos。)

在电场中，动能定理

-eE—=0--wv2

22

路程为

S=+邑+邑

解得

।加2

5=(^4-4-2COS^)/

0mE

3.如图，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，S/、S2分别为M、N板上的小孔，S/、

S2、。三点共线，它们的连线垂直M、N,且52。=凡以。为圆心、R为半径的圆形区域内存在

磁感应强度大小为8、方向垂直纸面向外的匀强磁场。。为收集板，收集板上各点到。点的距离

以及两端点A和C的距离都为2R,板两端点的连线AC垂直M、N板，且NAOC=60。。质量为

〃?、带电量为+q的粒子，经S/进入M、N间的电场后，通过S2进入磁场，粒子在S/处的速度和

粒子所受的重力均不计。

（1）当间的电压为Ux时，在N板右侧加上哪个方向、大小为多少的匀强电场才能使粒子进

入磁场后能做直线运动；

（2）调节M、N间的电压，若粒子均能打到收集板，求加速M、N间的电压范围。

（3）若收集板是弹性绝缘的，粒子与板发生弹性碰撞（速度大小不变，方向反向），碰后电量不

变，求在磁场中运动时间最长的粒子从S/开始运动到最终离开磁场所经历的时间。

D

2（36+万）,"

=B"炉3"产

Em

【答案】（1）竖直向上V;（2）6相~2m（3）qB

【解析】

（1）粒子从每到达Sz的过程中，根据动能定理有

,,12

qUx=-mv~

解得

Vtn

在N板右侧加上竖直向上的匀强电场，要满足粒子做匀速直线运动，有

q匕5=qE

联立解得

（2）当粒子打在收集板左端时，根据几何关系可求得粒子在磁场中运动的半径

设粒子进入磁场的速度为田，则有

qB\\=m—

粒子在加速电场中，有

„12

qu、=-wv,

联立可得

।—2m—6m

当粒子打在收集板右端时，根据几何关系可求得粒子在磁场中运动的半径

r2=y/3R

设粒子进入磁场的速度为期则有

qBv、=m—

粒子在加速电场中，有

,,12

qU2=-mv2

联立可得

qB/3qB?R?

所以M、N间电压范围为6,”~2nl

（3）当粒子打到收集板的A点时，经历的时间最长，根据几何关系可知粒子在磁场中半径为

根据公式，有

口2

qvB=m—

r\

联立，可得

6BR

V=-----

3m

粒子在加速电场中运动时间为

R2辨m

‘1==z-

ZqB

2

粒子在磁场中共经历的时间为

又

T①

qB

粒子出磁场后，做匀速直线运动经历的时间为

_4R_4cm

“vqB

粒子从5开始运动到最终离开磁场所经历的时间为

2（3>/5+4）加

qB

4.如图所示，离子室内充有大量带正电的某种粒子，它们以不同的初速度从离子室飘出，经加速

电场加速后，从速度选择器两极板间的中点平行于极板进入速度选择器。速度选择器两极板间匀

强电场的电场强度大小为E（未画出），匀强磁场的磁感应强度大小为司、方向垂直纸面向里。部

分粒子沿直线通过速度选择器后，从M点沿半径方向射入半径为R的圆形磁场区域，然后从N

点射出。0为圆形磁场的圆心，NMON=120。,圆形区域内分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁

感应强度大小为层。不计粒子所受的重力及它们之间的相互作用。求：

（1）粒子从“点进入圆形磁场时的速度V；

（2）该粒子的比荷”2；

（3）粒子在圆形磁场中运动的时间人

【答案】（1）,方向向右；（2）（3）3E

【解析】

（1）能沿直线通过速度选择器应满足

Eq=qvB、

解得

E

v=一

4

方向向右；

(2)设粒子做圆周运动的半径为r,从M点沿半径方向射入半径为R的圆形磁场区域，然后从

N点射出。NMON=120°,如图所示

根据

V2

qvB,=m—

r

解得

q_73E

tn3B、B2r

(3)粒子做圆周运动的周期

T=如

也

则粒子在圆形磁场中运动的时间

120°丁

t=------xT

360°

联立解得

4iB\R兀

3E

5.如图所示，在平面直角坐标系X。)，内，第I象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第W象限存

在垂直于坐标平面向外的半有界匀强磁场，磁感应强度为8,虚线为平行于y轴的磁场左边界.一

质量为加、电荷量为q的带正电的粒子，从〉轴上>=力处的/点，以速度3垂直于y轴射入电

场，经x轴上x=2〃处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向从。点(图中未画出)射出磁

场.不计粒子重力。求：

(1)电场强度E的大小和粒子射入磁场时速度v的大小和方向；

(2)粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间上

%血

cosa=—=——

v2

即a=45°

（2）粒子在电场中运动的时间

2/2

G=一

%

粒子在磁场中运动的周期

,271r27nn

1=-----=-------

vqB

设粒子在磁场中运动的圆弧所对圆心角为夕，由几何关系，得

夕=135。

所以粒子在磁场中运动的时间为

3_37tm

284qB

粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间

2/?37tm

t=t1+t.=­+-----

■%4qB

6.科学研究的过程中常利用电磁场来控制带电粒子的轨迹。如图所示，在平面第山象限存在

沿X轴正方向的匀强电场百，电场强度大小d=E,第I象限存在沿y轴负方向的匀强电场当，

电场强度大小用=6",第IV象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴上N点处有一垂直x轴

的足够长的挡板。质量为，"、带电荷量为％的粒子从点2一2/，-/）由静止释放，经点Q（°，T）进入第

W象限，此后经点M（b/，。）进入第I象限。不计粒子的重力，忽略粒子间相互作用，粒子打在挡

板上立即被吸收。

（1）求第IV象限内匀强磁场磁感应强度8的大小；

（2）若带电粒子经过电场当偏转后直接垂直打在挡板上，求带电粒子从P点释放到垂直打在挡

板上经历的时间/;

（3）若沿x轴正方向向右移动挡板，使带电粒子仍能垂直打在挡板上，求挡板可能位置的横坐标

XN

(2)带电粒子在第HI象限内做匀加速直线运动

Eqt[=mv

得

带电粒子在第IV象限内做匀速圆周运动，由几何关系得NM°©=60。，粒子做圆周运动的时间

60°21r

=------x------

2360°v

带电粒子在第I象限内做匀变速曲线运动

\[3Eqt3=zwvsin60°

带电粒子从P点释放到垂直打在挡板上经历的时间

t=tA+t2+t3

(3)带电粒子在第I象限内做匀变速曲线运动，由运动的合成与分解法则可知粒子从M到之后

首次速度与x轴平行的过程中，沿x轴速度

匕=vcos60°

xN=(2n-l)rsin60°+(2n-1)X0(M=1,2,3...)

解得

xN=(2n-1)(73+1)/(/?=1,2,3...)或%N=+D(8+»(〃=0,1,2,3...)

②若带电粒子在第W象限垂直打在挡板上，N点的横坐标八为

xN=2nrsin60°+2«x0(n=1,2,3...)

解得

xN=2〃(后+1)/("=1,2,3..)或加=(2〃+2)(百+1)/(〃=0,1,2,3....)

综合可得

xN=”(G+1)/("=1,2,3...)

方法2：

带电粒子第1次在第I象限垂直打在挡板上

占=(6+1)/

带电粒子第2次在第IV象限垂直打在挡板上

9=2(6+1)/

带电粒子第3次在第I象限垂直打在挡板上

七=3(\/3+1)/

带电粒子第4次在第IV象限垂直打在挡板h

%=4(6+1)/

带电粒子第5次在第I象限垂直打在挡板上

%=5(6+1)/

解得

xN=«(>/3+l)Z(n=1,2,3...)

7.如图，A、K为平行板电容器的两极板，K板接地，正中有小孔。。半径为R的圆筒内充满垂

直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为8,圆筒左壁有一小孔。)。、。，及圆心C三点均

在纸面内，且处在同一直线上。平行板电容器充好电后，将质量为机、带电量为q的粒子从靠近

A板的位置无初速释放，恰沿直线。。，运动，射入圆筒，粒子与筒壁发生的每一次碰撞都是弹性

的，忽略粒子重力以及碰撞所需的时间，粒子与圆筒的碰撞过程中电量不发生转移。

(1)若使两极板间电势差为U/,释放粒子，粒子进入匀强磁场后偏转90。首次与圆筒壁碰撞，求

Ui；

(2)若使两极板间电势差为U2,释放粒子，粒子从进入圆筒至首次离开磁场的时间恰取得最小

值，求此最小值fm；

(3)若使两极板间电势差为U3,再释放粒子，粒子进入圆筒后经历与圆筒四次碰撞后又恰能从

O'离开圆筒，求S：⑦的可能值。(结果可用三角函数式表达)

见解析

180

若粒子射进圆筒后，偏转三不（n=l,2,3...）即与圆筒发生首次碰撞，图力就是最简单的一种

情况，此时粒子在筒内的总运动时间最短

兀"2

，,力

（3）粒子与筒壁发生四次碰撞，有可能是以下两种情况:

【情况一】

如图（c）,粒子在磁场中的运动半径

结合（1）的分析，得

，，qB2R2tan2360

u、=--------

2m

（7,:（7,=tan236°

【情况2】

如图（d）,粒子在磁场中的运动半径

O'

图(d)

n720°

r=Ktan------

310

结合(1)的分析，得

qB2R2tan272°

2m

U3:U}=tai?72。

8.平面直角坐标系x°>'第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直于坐标平面向

外的匀强磁场，如图所示。质量为机、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的M点，以垂直于y

轴的初速度％射入电场，经由x轴上的N点进入磁场，最终粒子在2点垂直y轴离开磁场。已知

国

Vi=-------

M、N两点到原点距离分别为2,x=L,不计粒子重力。

(1)匀强电场的电场强度E的大小；

(2)匀强磁场的磁感应强度8的大小。

E二岛:B二

【答案】⑴"；⑵qL

【解析】

(1)粒子在电场中运动时，y方向做匀加速运动

国12

------=-at2

22

(2)要使粒子从距离B点§的P点位置射出，求x的可能值。

【答案】(1)12.96m；(2)4.0m或1.44m或2.25mm

【解析】

(1)带电粒子从。点运动到A点的速度为v

1

qE口x=—mv2

进入磁场做匀速圆周运动的半径为r

v2

qvB=m—

r

解得

qB2r2

x=-------

2mE

要使粒子从C点射出，则如图甲所示，由儿何关系可知

r-d

联立可得

qB2d2

2mE

解得

12.96m

-----、、

A[\BI

(2)要使得粒子从p点射出，有三种情况，第一种情况，如图乙，由几何关系可知

r2-(j)2=(d-r)2

解得

r=—d=2.0m

9

带入

qB2r2

x=--------

2mE

解得

x=4.0m

第二种情况，如图丙，由几何关系

1，…

r=-d=1.2m

3

带入

.四

2mE

可得

x=1.44m

/—入

D--'cD[-」CD---'C

乙丙丁

第三种情况，如图丁所示，由几何关系可知

(3一4+(g)2=/

解得

5，，「

r=—a=1.5m

12

带入

x金

2mE

可得

x=2.25m

(2021•河北高考真题)如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感

应强度大小为8的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上。点处的粒子源垂直极板向上发射

速度为%、带正电的粒子束，单个粒子的质量为加、电荷量为4,一足够长的挡板。M与正极板成

37°倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于0点的正上方，P

点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，b长度为4,忽略栅极的电

3

sin37°=-

场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。5。

（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压0。的大小；

（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值"而。；

（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在〃、S两点（C"4CP<CS,H、

S两点末在图中标出）、对于粒子靶在4S区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时•，粒

子靶均只能接收到〃（〃22）种能量的粒子，求C"和CS的长度（假定在每个粒子的整个运