2024届广东省广州市第三中学高一数学第二学期期末联考试题含解析

2024届广东省广州市第三中学高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 C． D．2．已知为等差数列的前项和，，，则（）A．2019 B．1010 C．2018 D．10113．设等差数列的前项和为，，，则（）A． B． C． D．4．在数列an中，a1=1，an=2A．211 B．25．已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是A． B．C． D．6．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（）A． B． C． D．7．在等比数列中，，，，则等于()A． B． C． D．8．如图是函数一个周期的图象，则的值等于A． B． C． D．9．已知向量，，则（）A． B． C． D．10．函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等差数列满足，则其公差为__________．12．如图，在三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，是棱上的动点，设，分别记与，所成角为，，则的取值范围为__________．13．设α为第二象限角，若sinα=3514．函数的值域为_____________.15．已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．16．设x、y满足约束条件，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，且，.（1）求函数和的解析式；（2）求函数的递增区间；（3）若函数的最小值为，求λ值.18．已知圆过点，且与圆关于直线：对称．（1）求圆的标准方程；（2）设为圆上的一个动点，求的最小值．19．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.20．已知等比数列的公比为，是的前项和；（1）若，，求的值；（2）若，，有无最值？说明理由；（3）设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？21．已知余切函数.（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）（2）求证：余切函数在区间上单调递减.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案．【题目详解】将圆化为标准方程，得，所以圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以切线长的最小值为，故选A．【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题．2、A【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【题目详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.3、A【解题分析】

利用等差数列的基本量解决问题.【题目详解】解：设等差数列的公差为，首项为，因为，，故有，解得，，故选A.【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.4、D【解题分析】

将a1=1代入递推公式可得a2，同理可得出a【题目详解】∵a1=1，an=22an-1-1（【题目点拨】本题用将a15、B【解题分析】

，所以因此，选B.6、D【解题分析】

作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【题目详解】根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而，故面积最大值为4，答案为D.【题目点拨】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.7、C【解题分析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.【题目详解】故选：C【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.8、A【解题分析】

利用图象得到振幅，周期，所以，再由图象关于成中心对称，把原式等价于求的值.【题目详解】由图象得：振幅，周期，所以，所以，因为图象关于成中心对称，所以，，所以原式，故选A.【题目点拨】本题考查三角函数的周期性、对称性等性质，如果算出每个值再相加，会浪费较多时间，且容易出错，采用对称性求解，能使问题的求解过程变得更简洁.9、D【解题分析】

根据平面向量的数量积,计算模长即可.【题目详解】因为向量,,则,,故选:D.【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题,是基础题.10、A【解题分析】

根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合函数的单调性进行求解即可．【题目详解】函数图象向右平移个单位长度，得到，所得图象关于原点对称，则，得，，∵，∴当时，，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，∵，∴当时，，即，即在上的单调递增区间为，故选：A．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.【题目详解】，解得.，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.12、【解题分析】

作交于，连接，可得是与所成的角根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，根据，的关系即可得解.【题目详解】解：作交于，连接，因为三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，为正三角形，，，是与所成的角，根据等腰三角形的性质．作交于，同理可得，则，∵，∴，得．故答案为：【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.13、-【解题分析】

先求出cosα，再利用二倍角公式求sin2α【题目详解】因为α为第二象限角，若sinα=所以cosα=所以sin2α故答案为-【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14、【解题分析】

分析函数在区间上的单调性，由此可求出该函数在区间上的值域.【题目详解】由于函数和函数在区间上均为增函数，所以，函数在区间上也为增函数，且，，当时，，因此，函数的值域为.故答案为：.【题目点拨】本题考查函数值域的求解，解题的关键就是判断出函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、【解题分析】

,即为首项为，公差为的等差数列，，，，由得，因为或时，有最大值，，即的最小值为，故答案为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16、【解题分析】

由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取值范围的求解；通过直线平移可确定的最值点，代入点的坐标可求得最值，进而得到取值范围.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将的取值范围转化为在轴截距的取值范围问题由平移可知，当过图中两点时，在轴截距取得最大和最小值，，的取值范围为故答案为：【题目点拨】本题考查线性规划中的取值范围问题的求解，关键是能够将问题转化成直线在轴截距的取值范围的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）递增区间为，（3）【解题分析】

（1）根据向量的数量积坐标运算，以及模长的求解公式，即可求得两个函数的解析式；（2）由（1）可得，整理化简后，将其转化为余弦型三角函数，再求单调区间即可；（3）求得的解析式，用换元法，将函数转化为二次函数，讨论二次函数的最小值，从而求得参数的值.【题目详解】（1），.（2）令，得的递增区间为，.（3）∵，∴..当时，时，取最小值为－1，这与题设矛盾.当时，时，取最小值，因此，，解得.当时，时，取最小值，由，解得，与题设矛盾.综上所述，.【题目点拨】本题主要考查余弦型三角函数的单调区间的求解，含的二次型函数的最值问题，涉及向量数量积的运算，模长的求解，以及二次函数动轴定区间问题，属综合基础题.18、（1）；（2）.【解题分析】

试题分析：（1）两个圆关于直线对称，那么就是半径相等，圆心关于直线对称，利用斜率相乘等于和中点在直线上建立方程，解方程组求出圆心坐标，同时求得圆的半径，由此求得圆的标准方程；（2）设，则，代入化简得，利用三角换元，设，所以.试题解析：（1）设圆心，则，解得，则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为．（2）设，则，且，令，∴，故的最小值为-1．考点：直线与圆的位置关系，向量．19、（1）；（2）或．【解题分析】

（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．【题目详解】（1）圆心到直线的距离．直线与圆相切，．圆的标准方程为：．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，，又，．解得：．直线的方程为：．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．综上所述的方程为：或．【题目点拨】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20、（1）；（2），最小值，最大值；，最小值，无最大值；（3）个【解题分析】

（1）由，分类讨论，分别求得，结合极限的运算，即可求解；（2）由等比数列的前项和公式，求得，再分和两种情况讨论，即可求解，得到结论；（3）由不等式，求得，在由等比数列的前项和公式，得到，根据不等式成立，可得，结合数列的单调性，即可求解.【题目详解】（1）由题意，等比数列，且，①当时，可得，，所以，②当时，可得，所以，综上所述，当，时，.（2）由等比数列的前项和公式，可得，因为且，所以，①当时，单调递增，此时有最小值，无最大值；②当时，中，当为偶数时，单调递增，且；当为奇数时，单调递减，且；分析可得：有最大值，最小值为；综上述，①当时，的最小值为，最大值为；②当时，的最小值为，无最大值；（3）由不等式，可得，又由等比数列的前项和公式，可得，因为首项和都是正整数，所以，又由对于任意正整数有成立，可得，联立可得，设，由为正整数，可得单调递增，所以函数单调递减，所以，且所以，当时，，即，解得，此时有个，当时，，即，解得，此时有个，所以共有个.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的前项和公式，数列的极限的计算，以及数列的单调性的综合应用，其中解答中熟记等比数列的前项和公式，极限的运算法