2024届云南省玉溪市第一中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届云南省玉溪市第一中学高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数列满足，则数列的前项和等于（）A． B． C． D．2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是B．结余最高的月份是月份C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D．前个月的平均收入为万元3．中，角的对边分别为，且，则角（）A． B． C． D．4．在中，角所对的边分别为,若的面积，则()A． B． C． D．5．已知两点,,若直线与线段相交,则实数的取值范围是()A． B．C． D．6．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（）A． B． C． D．7．等差数列的前n项和为，且，，则(

)A．10 B．20 C． D．8．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，速度为900km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30∘，经过80s后又看到山顶的俯角为75A．5000(3+1)C．5000(3-3)9．直线倾斜角的范围是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]10．当点到直线的距离最大时，的值为（）A． B．0 C． D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，则的值为．12．下列关于函数与的命题中正确的结论是______.①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.13．设，，，若，则实数的值为______14．已知角满足且，则角是第________象限的角．15．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是____________.16．己知中，角所対的辻分別是.若，=，，则=______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设数列的前项和，数列为等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．已知函数的最小正周期为.（1）求的值和函数的值域；（2）求函数的单调递增区间及其图像的对称轴方程.19．如图，在中，，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求的面积.20．已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）求.21．在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的面积为，求在上的投影.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.【题目详解】当为正奇数时，由题意可得，，两式相减得；当为正偶数时，由题意可得，，两式相加得.因此，数列的前项和为.故选:A.【题目点拨】本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.2、D【解题分析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误．综上，故选．3、B【解题分析】

根据题意结合正弦定理，由题，可得三角形为等边三角形，即可得解.【题目详解】由题：即，中，由正弦定理可得：，即，两边同时平方：，由题，所以，即，所以，即为等边三角形，所以.故选：B【题目点拨】此题考查利用正弦定理进行边角互化，根据边的关系判断三角形的形状，求出三角形的内角.4、B【解题分析】

利用面积公式及可求，再利用同角的三角函数的基本关系式可求，最后利用余弦定理可求的值.【题目详解】因为，故，所以，因为，故，又，由余弦定理可得，故.故选B.【题目点拨】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.5、D【解题分析】

找出直线与PQ相交的两种临界情况，求斜率即可.【题目详解】因为直线恒过定点，根据题意，作图如下：直线与线段PQ相交的临界情况分别为直线MP和直线MQ，已知，，由图可知：当直线绕着点M向轴旋转时，其斜率范围为：；当直线与轴重合时，没有斜率；当直线绕着点M从轴至MP旋转时，其斜率范围为：综上所述：，故选：D.【题目点拨】本题考查直线斜率的计算，直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.6、D【解题分析】

作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【题目详解】根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而，故面积最大值为4，答案为D.【题目点拨】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.7、D【解题分析】

由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【题目详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：．【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8、C【解题分析】分析：先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．详解：如图，∠A=30°，∠ACB=45°，

AB=900×80×13600∴在△ABC中，BC=102∵CD⊥AD，=102sin30点睛：本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．9、C【解题分析】试题分析：根据直线倾斜角的定义判断即可．解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选C．10、C【解题分析】直线过定点Q(2,1),所以点到直线的距离最大时PQ垂直直线,即,选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】

，故答案为3.12、④【解题分析】

利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可【题目详解】①，当时，的反函数是，故错误；②，当时，是增函数，故错误；③，不是周期函数，故错误；④，与都是奇函数，故正确故答案为④【题目点拨】本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题13、【解题分析】

根据题意，可以求出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值.【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14、三【解题分析】

根据三角函数在各个象限的符号，确定所在象限.【题目详解】由于，所以为第三、第四象限角；由于，所以为第二、第三象限角.故为第三象限角.故答案为：三【题目点拨】本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.15、；【解题分析】试题分析：设垂直于直线的直线为，因为直线在轴上的截距为，所以，所以直线的方程是.考点：两直线的垂直关系.16、1【解题分析】

应用余弦定理得出，再结合已知等式配出即可．【题目详解】∵，即，∴，①又由余弦定理得，②，②－①得，∴，∴．故答案为1．【题目点拨】本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题关键，解题时不需要求出的值，而是用整体配凑的方法得出配凑出，这样可减少计算．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解题分析】

(1)通过求解数列的通项公式,从而可以求出首项与公比,即可得到的通项公式;(2)化简,利用错位相减法求解数列的和即可.【题目详解】(1)∴,∴,∵,∴,∴,,∵,,∴,从而,∵数列为等比数列∴数列的公比为,从而;(2)∵,,∴∴∴,∴.【题目点拨】本题考查已知求的通项公式以及数列求和,考查计算能力.在通过求的通项公式时,不要忽略时的情况.18、（1），值域为；（2）单调递增区间为，对称轴方程为.【解题分析】

（1）利用二倍角公式降幂，然后化为的形式，由周期公式求出，同时求得值域；（2）直接利用复合函数的单调性求得增区间，再由求得对称轴方程.【题目详解】（1），由，得，，则函数的值域为；（2）由，解得，函数的单调递增区间为，令，解得，函数的对称轴方程为.【题目点拨】本题考查了二倍角公式以及三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质才是解题的关键，考查了基本知识，属于基础题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）设，利用正弦定理表示出，求得，利用面积公式即可得解.【题目详解】（1）在中，，为内一点，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），设，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面积.【题目点拨】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由可求得公差，利用等差数列通项公式求得结果；（2）利用等差数列前项和公式可求得结果.【题目详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：（2）由（1）知：【题目点拨】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.21、（1）；（2）当时，在上的投影为；当时，在上的投影为.【解题分析】

（1）由已知条件，结合正弦定理，求得，即可求得C的大小；（2）由已知条件，结合三角形的面积