2014年广州市高中数学教师解题比赛

PAGE广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案第11页（共7页）2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合，，映射：满足，则映射：的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4CDBA2．直角梯形中，，，，CDBA.以直线为轴将梯形旋转一周所得旋转体的体积为 A．B．C． D．3．已知是奇函数，定义域为，又在区间上是增函数，且，则满足的的取值范围是A． B．C．D．4．已知虚数，其中、均为实数，当时，的取值范围是A． B． C．D．5．设，且，，则点在（为坐标原点）平面上的区域的面积是A．B．1C．2D．6．已知向量，，，设X是直线OP上的一点(为坐标原点)，那么的最小值是A．－16B．－8C．07．等比数列的公比为，则“，且”是“，都有”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件8．若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是 A． B． C． D．9．已知集合、、，，，，若，，，给出四个命题:①；②；③；④，则正确命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．310．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为A．22 B．23 C．24 D．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷的相应位置上．11．已知是三角形的一个内角，满足，则*．12．已知正三棱锥的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点，使得的概率是*．13．对于正整数和，其中，定义，其中是满足的最大整数，则*．14．有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，*秒．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15．（本小题满分12分）若函数的图象与直线相切，若函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求的值；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标．16．（本小题满分12分）一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用表示一次摸奖中奖的概率；（2）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？17．（本小题满分14分）如图所示，正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为.（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若是中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点，使⊥侧面.试确定点的位置，并加以证明.PPDEACB18．（本小题满分14分）这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值，，，；（2）（将当前的值赋予新的）；（3）（将当前的值赋予新的）；（4）（将当前的值赋予新的）；（5）（将当前的值赋予新的）；（6）如果，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印，；（8）程序终止.由语句（7）打印出的数值为，.以下写出计算过程：19．（本小题满分14分）如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．（1）若，求点的轨迹方程；（2）求的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；（3）设，证明：．2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．题号12345678910答案CABBBBABBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.12.13.14.2三、解答题，本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分12分）解：（1）．由题意知，为的最大值或最小值，所以或.（2）由题设知，函数的周期为，所以．所以.令，得，即．因为，得或，因此点A的坐标为或.16．（本小题满分12分）解：（1）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，所以一次摸奖中奖的概率．（2）若，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是．（3）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，，因为，所以在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．所以，解得．故当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．17．（本小题满分14分）（1）解：连结AC，BD交于O，连结PO.因为P—ABCD为正四棱锥，所以PO⊥底面ABCD.作PM⊥AD于M，连结OM，所以OM⊥AD.（苏元高考吧：）所以∠PMO为侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角.因为PO⊥底面ABCD，所以∠PAO为PA与底面ABCD所成的角.所以．设，所以所以所以，即．所以侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为60°.（2）解：连结EO，因为E为PB的中点，O为BD的中点，所以EO∥PD.所以∠AEO为异面直线AE与PD所成的角．在，所以，．由AO⊥截面PDB，可知AO⊥EO.在Rt△AOE中，.即异面直线AE与PD所成角的正切值是．（3）证明：延长MO交BC于N，连结PN，取PN中点G，连结EG，MG.因为P—ABCD为正四棱锥且M为AD的中点，所以N为BC中点.所以BC⊥NM，BC⊥PN.因为，所以BC⊥平面PMN.因为平面，所以平面PMN⊥平面PBC.因为PM=PN，∠PMN=60°，所以△PMN为正三角形.所以MG⊥PN.所以MG⊥平面PBC.（苏元高考吧：）取AM中点为F，连结FE，则由EG∥MF且GE=MF，得到MFEG为平行四边形，所以FE∥MG.所以FE⊥平面PBC.分18．（本小题满分14分）解：设时，，，的值分别为，，.依题意，，，所以是等差数列，且.因为所以是等比数列，且．因为，所以即．①所以．②①—②得，．依题意，程序终止时：，，即解得，进而．19．（本小题满分14分）解法1：（1）①若直线∥轴，则点为．②设直线，并设点的坐标分别是，由消去，得，（*）由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，所以．（苏元高考吧：）由及方程（*），得，，即消去，并整理得，（．综上所述，点的轨迹方程为（．（2）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，．②由方程（*），得所以，，，所以．因为，所以，所以．综上所述，．解法2：（1）①若直线∥轴，则点为．②设直线，并设点的坐标分别是，由消去，得，（*）由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．由及方程（*），得，，即由于（否则，直线与椭圆无公共点），消去，并整理得，（．综上所述，点的轨迹方程为（．（2）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，．②由方程（*），得所以，，，所以．因为，所以，所以．综上所述，．20．（本小题满分14分）（1）解：因为，所以．令，得．所以当时，，当时，．所以函数在区间上单调递减，在区间上单调