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文档简介
高二年单元考试试卷(圆锥曲线)
一、选择题(60分)
22
1.已知双曲线C:二-二=1(。>0)的一个焦点为(5,0),则双曲线。的
cT16
渐近线方程为()
A.4x±3y=12B.4x±A/41y=0
C.16x±9y=0D.4x±3y=0
2.平面直角坐标系中,已知。为坐标原点,点A、B的坐标分别
为(1,1)、(-3,3).若动点P满足9=4砺+〃砺,其中4、且
九+〃=1,则点P的轨迹方程为
A.x-y-0B.x+y=0
C.x+2y-3=0D.(x+l)2+(y-2)2=5
3.抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10,则
焦点到准线的距离是()
A.4B,8C.16D.32
4.椭圆加?+>2=]的离心率是当,则它的长轴长是()
A.1B.1或2C.2D.2或4
5.设经过点M(2,l)的等轴双曲线的焦点为耳,居,此双曲线上一点
N满足丽」丽,则鸟的面积为()
A.V2B.V3C.2D.3
6.抛物线有如下光学性质:由焦点的光线经抛物线反射后平行于
抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物
线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线>2=4x的焦点为尸,一条
平行于X轴的光线从点M(3,l)射出,经过抛物线上的点A反射后,
再经抛物线上的另一点3射出,则直线的斜率为()
A.--B.-C.+-D.
3339
7.已知点耳,工是椭圆Y+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上
的一个动点,那么|丽+用|的最小值是()
A.2B.272C,0D.1
22
8.椭圆亍+%=1(a>b>0)上存在一点P满足NAPF=W,F为
椭圆的左焦点,A为椭圆的右顶点,则椭圆的离心率的范围是
()
A.(0&B.(0用C,加口隹1)
9.把离心率6=尘土1■的曲线=力>0)称之为黄金双
2ab
曲线.若以原点为圆心,以虚半轴长为半径画圆。,则圆。与黄金
双曲线C()
A.无交点B.有1个交点C.有2个交点D.有4个交
点
10.已知mnxo,则方程是m2x+n2y=1与mx+n2y=0在同一坐标系内的
图形可能是()
ABC
D
11.设直线y=Z(x+l)与抛物线y2=4x相交于M、N两点,抛物线
试卷第2页,总6页
的焦点为F,若|前|=2两,则A的值为()
A.±侦B.±逑C.土逑D.±迈
3322
12.已知椭圆和双曲线有共同焦点1尸2尸是它们的一个交点,且
n]
=-aa
3,记椭圆和双曲线的离心率分别为%足2,则e1e2的最大值是
()
2m4,
A.3B.3C.2D.3
二、填空题(20分)
13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴
于点N.若M为FN的中点,则|FN=.
14.抛物线X2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线X2-y2=1相交于A,B
两点,若AABF为等边三角形,则P=
2222
xy日xv
—+—=l(a>b>0)-------=]
15.已知椭圆C:ab离心率为2,双曲线22的渐近线
与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,则
椭圆C的方程为________________
22
16.设椭圆。:三+七=l(a>b>0)的左右焦点为片,不,过居作x轴的
垂线与C相交于A,B两点,月8与y轴相交于。,若49,月8,则椭
圆。的离心率等于.
三、解答题
22
17(10分).设命题〃:方程」----匚=1表示双曲线;命题q:
2+Z3上+1
斜率为左的直线/过定点P(-2,l),且与抛物线y2=4x有两个不同的
公共点.若。入4是真命题,求攵的取值范围.
18(12分).(1)已知椭圆的离心率为4,短轴一个端点到右焦点
的距离为4,求椭圆的标准方程。
(2)已知双曲线过点(4,6),且渐近线方程为>=±gx,求该双曲线
的标准方程。
22
19(12分).已知双曲线C与=1的离心率为百,点(g,
a~0一
0)是双曲线的一个顶点。
⑴求双曲线的方程;
⑵经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线/,直线/与双曲线
交于不同的A,B两点,求AB的长。
试卷第4页,总6页
20(12分).过抛物线C:d=20;(p>O)的焦点厂作直线/与抛物线。
交于A8两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2.
(1)求抛物线。的方程;
(2)若直线/的斜率为2,问抛物线。上是否存在一点M,使得
MA±MB,并说明理由.
21(12分).已知椭圆。过点两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆。的方程;
(2)是椭圆。上的两个动点,①如果直线AE的斜率与A尸的
斜率之和为2,证明:直线EF恒过定点.
a
22(12分).已知椭圆C的离心率为半,点A,B,尸分别为椭
圆的右顶点、上顶点和右焦点,且5^4"=】—
(1)求椭圆。的方程;
(2)已知直线/:y=Ax+〃z被圆。:f+,2=4所截得的弦长为
2g,若直线/与椭圆。交于M,N两点,求AMON面积的最大值.
试卷第6页,总6页
参考答案
1.D
【解析】由题得c=5,则储=/—16=9,即a=3,所以双曲线的渐近线方
程为y=±±x,即4x±3y=0,故选D
2.C
【解析】设P(x,y),则x=4—3〃,y=丸+3〃=/1=叱吆■—二
26
因止匕虫+^^=1=*+2),一3=0,选C.
26
3.B
【解析】.一横坐标为6的点到焦点的距离是10,・•・该点到准线的距离
为10,
p
X=一一
抛物线的准线方程为2,
P
6+-=10=>p=8
2
故选B.
4.D
【解析】把椭圆如2+V=1方程转化为:
分两种情况:①时椭圆的离心率正
m2
则:个_=3解得:m二,进一步得长轴长为4
144
m
②Li时
m
答案第1页,总13页
椭圆的离心率内,则:长轴长为2
故选:D
点睛:在椭圆和双曲线中,焦点位置不确定时,勿忘分类讨论.
5.D
【解析】设等轴双曲线方程为尤272=4,因为过点M(2,l),所以
X=2?—1=3.1iNf;|-|N瑞卜2道,忆入1=2屈
22
从而|叫|+|NF21+2|N制|'鸟|=12=|1巴|2-21^11^1=12
=>24—2加用"周=12n|N"|NF2=6nS=;NF、|9|=3,选D.
6.A
【解析】令v=l,代入V=4x,,即A(L1),由抛物线的光学性
44
质可知,直线AB经过焦点F(1,O),所以直线A3的斜率为2=
1-13
4
故选A
【答案】A
【解析】椭圆f+2y2=2,即为:+丁=1,贝"椭圆的。=四,6=1,则由
OP为斗鸟的中线,即有而=g(西+%),则|所+所|=2|叫,可设
尸(%>),则]+y2=i,即有叫="2+与=++1―/「^],当
%=0时,取得最小值1,则|两+盟]的最小值为2,故选A.
8.C
【解析】设P(x,y),则由ZAPF=|得
(x+c,y)・(x-a,y)=0n(%+c)(x-Q)+y2=0,因为
答案第2页,总13页
=+二=1,所以x=a或x--~7^—e(-a,a\n2e2+e-l>0
a'b'c~
•;0<e<1g<e<1,选C.
点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立
一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉。得到a,c的
关系式,而建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线
的几何性质、点的坐标的范围等.
9.D
【解析】由题意知县Lf,所以⑶、⑶:i=d业1-1=或上!,
2aya)\a)42
因为2=行+1〉],所以2>i,所以〃>a,所以圆0与黄金双曲线C
\a)2a
的左右两支各有2个交点,即圆0与黄金双曲线C由4个交点,故选
D.
10.A
2_m
2丫—X22
【解析】方程mx+ny=0即n,表示抛物线,方程mx+ny=l(mnw0)表
示椭圆或双曲线,当m和n同号时,抛物线开口向左,方程
mx2+ny2=i(mnx0)表示椭圆,无符合条件的选项,当m和n异号时,抛物
2m
y=x22
线n开口向右,方程mx+ny=1表示双曲线,故选A.
11.B
【解析】设NH,%),因为|叫=2|两,所以由抛物线定义
得XI-1=2工2,3=2%>>1y>i=4X],y;=4X2/.X,=4X2,
答案第3页,总13页
如图,设椭圆的长半轴长为'I,双曲线的半实轴长为,2,则根据椭圆
及双曲线的定义:
|PF1|+|PF2|=2aJPF1|-|PF2|=2a2
APF=a+aPF=aa
|lli2l2li-2
n
下同=2(:,公产2=-
设之
则,在小「^2中根据余弦定理可得到
222"
4c=(a1+a2)+(ai-a2)-2(31+-a2)cos-
2o2.2
••・化简得:aj3a2=4C
13
—+—=4
22
该式可变成:6162
132
.+.4>^12j3
s
2e2eeo
e】212exe23
故选A
点睛:本题综合性较强,难度较大,运用基本知识点结合本题椭圆和
双曲线的定义给出a2与Pl、PF?的数量关系,然后再利用余弦定理求
出与c的数量关系,最后利用基本不等式求得范围。
答案第4页,总13页
13•【解析】如图所示,不妨设点”位于第一象限,设抛物线的准线
与X轴交于点F',作MB_LI与点B,NA_LI与点A,由抛物线的解析式可得准
AN+FF'
BM=-----------=3
线方程为x=-2,则AN=2,FF,=4,在直角梯形ANFF,中,中位线2,
由抛物线的定义有:MF=MB=3,结合题意,有MN=MF=3,故
FN|=|FM|+|NM|=3+3=6
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物
线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转
化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那
么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦
问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样
就可以使问题简单化.
14.2,
,p、P
F(o,一)y=-一
【解析】由抛物线可知焦点2,准线2,由于^ABF为等边三角形,
v'p2+4P1-4+4
B(--------,—)「p=J3(-----------),p=2J3
设AB与y轴交于M,FM=P,22,FM=j3MB,即2,填
2辰
【点睛】
对于圆锥曲线要先定位,再定量,本题的抛物线焦点是在y轴正半径。
答案第5页,总13页
所以求出抛物线的焦点坐标与准线方程,再把准线方程与双曲线组方
程组算出B点坐,再由等边三角形,可解的P,
22
xy
—十——=1
15.205
22
xy
——--=1
【解析】由题意,双曲线22的渐近线方程为y=±x
...以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,•••(2,2)
x?y244
C:—+—=l(a>b>0)
在椭圆a2b2上,a2b2
Jia2-b23
e=—,----=-
2222
2a24a=4b/.a=20,b=5
22
xy_
---+———1
..椭圆方程为:2。5
22
xy_
---+———1
故答案为:205
16.—
3
【解析】
试题分析:连接AF,,「OD〃AB,。为FE的中点,「.D为BF,的中点,
又/.|Af^|=|AB|./.|AFj=2|A^|.i^|AF2|=n,|AFj=2n,
e_c_旧用_旧n_V3
|F闾=Gn,e--
a|AF,|+|AF2|
答案第6页,总13页
【方法点晴】本题考查的是椭圆的几何性质(离心率问题),属于中
档题.本题的切入点就在原点。上,利用平行关系,推出D点也是中点,
从而思路豁然开朗.解析几何的中心思想就是数形结合,善于抓图像
的性质,是解好解析几何题的关键所在,特别是小题.离心率问题是
重点题型,主要思路就是想方设法去建立a、c的等或者不等的关系即
可.
(Y,O)UQ2)
17.32
【解析】试题分析:(1)命题p中式子要表示双曲线,只需
(2+乃邰+1)>0,对于命题q:直线与抛线有两上不同的公共点,即设
,左
<
直线丫=京+2左+1与抛物线方程组方程组,只需也=16-16可2止+1)>0,
解出两个不等式(组)中k的范围,再求出交集。
上>
试题解析:命题百真,则(2+块3无+1)>0,解得无<-2或3,
命题,为真,由题意,设直线,的方程为了7=氏。+2),即了=奴+2无+1,
y=H+1
联立方程组[j=4x,整理得城-"+4(2北+1)=0,
答案第7页,总13页
要使得直线与抛物线有两个公共点,需满足也=16-16H2北+1)>0,
k<-2或上>——
-1<k且出H0
若「八1是真命题,则
所以上的取值范围为32
—+—=1
18.(1)169
【解析】试题分析:(1)由已知,先确定a,。的值,进而求出b?,可
得椭圆的标准方程
(2)由已知可得双曲线焦点在x轴上且c=6,将点A(6,-5)代入双曲线方
程,可求出a=16,b=20,即得双曲线的标准方程
试题解析:
(1)由椭圆的离心率为4,短轴一个端点到右焦点的距离为4,得
22
x_+y__1
a=4,c=J7,b=3,即169
(2)试题分析:由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为
^1x2-y2=A,代入点(4,向)得;l=l,所以双曲线方程为2?-丁=1
考点:双曲线方程及性质
19.(1)工-汇=1(2)
答案第8页,总13页
【解析】试题分析:(1)由椭圆过点(G,0)得a,再由离心率求c,
最后根据勾股数求b;(2)先根据点斜式写出直线/方程,再与双曲线
联立方程组,消y得关于x的一元二次方程,结合韦达定理,利用弦
长公式求40的长
22
试题解析:(1)因为双曲线c:[-5=1的离心率为G,点(G,
ab~
22
0)是双曲线的一^个顶点,所以a==3,力=C,即——=1(2)经
36
过双曲线右焦点石作倾斜角为30°的直线/:y=#(x-3)与双曲线
联立方程组消y得5%2+6%-27=0,「.%=5,%2=-3,由弦长公式解得
|4回=,71上一到=今叵
点睛:有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦
长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;
涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦
问题往往利用点差法
20.(1)C:x2=4y;(2)存在点用(-6,9),“(6,9).
【解析】【试题分析】(1)运用抛物线的定义建立方程5+1=2求出
p=2;(2)借助题设条件建立方程(%+.)(与+/)+16=0,再
运用根与系数的关系得至U方程焉+4京。+12=(),通过对判别式的研究发
现有解,即所设的点存在:
解:(1)由抛物线的定义可得~|+1=2=>〃=2,故抛物线方程为V=4y;
答案第9页,总13页
(2)假设存在满足题设条件的点M(x0,%),则设直线A比丁=依+1代入
3=4y可得%2-4心-4=0,设4(%,乂),3(孙%),则为+/=4左,七%=-4。因
为MA=^-x0,yi-y0'),MB=(x2-x(),y2-y0'),则由AM_LA/B可得:
(%-%0)(工2-%)+(凶-%)(%-%)=。,即
(%1-%0)(%2-%0)1+5(%+%)(々+/)=0,也即(%+/)(毛+/)+16=0,所
以x;+45+12=0,由于判另4式八=16炉—48=16(4—3)>0,此时
x0=-2,x0=-6,则存在点”(-2,1),加(-6,9),即存在点M(%%)满足题
设。
v-22
21.(1)y+^-=l;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
⑴由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程;
(2)设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理分类讨论即
可证得题中的结论.
试题解析:
22
(1)由题意可得:a2=4,b2=3,则椭圆。的方程为三+汇=1
43
(2)设"%,%)*(9,%),直线EF方程为y=Ax+。,
x2y2.
{TT-,得:(3+4-产+8助X+4〃-12=0
y=kx+b
4b2-12
由韦达定理:…「心,
中2=3+4公
答案第io页,总13页
3333
%一万
kxi+b--kx2+b--
由题意可知——2.+——^=2,即------2.+-----------2.=2
%1―1%2-]%]一]/一]
:卜+人一|丘2+匕-5卜-1)=2(々-1乂王-1)
艮口(2左一2)X[X,+[b—左+])(X]+x,)+1—2b=0
4/—128kb)
(2k-2)+(一+/+1—2。=0
3+4/3+4pJ
(2Z—2)(4/72-12)+1b—々+g)(—8Z:b)+(l—2b)(3+4左2)=0
—8b2-24k+27-4kb-6b+4k2=0
8b2+24k-27+4kb+6b-4k2=0
8左2+(4左+6)Z?—(4左2—24左+27)=0
8左24(4左+6)上一(2次-9)(2左一3)=0
[4Z?—(2女一9)][2b+(2k—3)]=0
b=—~—^b=-k+—
242
当〃=4_2时,直线EF方程y=Ax+K_2=Z(x+L]-2恒过定点(一J,-2
242412J4124
当〃=一女+』时,直线EF方程丁="一女+3=女(工一1)+3恒过定点[1,32]与
222V2j2
A点重合,
不合题意舍去,
综上所述,直线E77恒过定点.
点睛:⑴解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消
去M或D建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设
答案第11页,总13页
条件建立有关参变量的等量关系.
⑵涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0
或不存在等特殊情形.
2/y
22.(1)—+/=1(2)当f=3,即人=±在时,面积取到最大
42
值1.
【解析】试题分析:利用离心率可以得出a,c的关系,化为的关系,
再利用AABE的面积列出a,b,c的方程,借助4=〃十^解出“力,写出椭
圆方程,联立方程组,化为关于x的一元二次方程,利用设而
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