专题3.3 一元一次方程的应用（压轴题专项讲练）（沪科版）（解析版）

专题3.3一元一次方程的应用【典例1】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．（1）要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？（2）为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【思路点拨】（1）先设出应额外给1班x个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【解题过程】（1）解：设应额外给1班x个手环，则额外给2班18-x个手环，∵要使1班、2班的手环数一样多，∴50+x=48+18-x解得：x=8，所以应额外给1班8个手环；（2）解：①设购进y个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，对于甲批发商处进货价为：20y×0.9元，对于乙批发商处进货价为：40×20+y-40∵去两个批发商处的进货价一样多，∴20y×0.9=40×20+y-40解得：y=80，所以购进80个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多；②设第二次每个发光头饰的售价为z元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，第一次进购60个，所以第一次进价为：60×20×0.9=1080元，∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个，∴第二次进购了200个，第二次进价为：40×20+200-40∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%∴1150+200z-解得：z=22，所以第二次每个发光头饰的售价为22元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%1．（2023上·湖南衡阳·七年级校考开学考试）甲、乙同时从A地出发，背向而行，分别前往B、C两地。已知甲、乙两人每小时共行驶96千米．甲、乙的速度比是9:7，两人恰好分别同时到达B、C两地，乙立即用原速度返回，当乙行了40分钟后，甲在B地得到通知，要求立即返回并且要与乙同时到达A地。甲返回时把原速度提高了20%，这样两人同时到达A地，问：B、C【思路点拨】根据速度比先求出甲、乙的速度，设甲到B地、乙到C地所用时间为x小时，即有B、C之间的距离是96x千米，A、C之间的距离是42x千米，B、A之间的距离是54x千米，根据返回时，同时到达A地，可得42x-42×2【解题过程】解：∵甲、乙的速度比是9:7，甲、乙两人每小时共行驶96千米，∴甲的速度：96×99+7=54设甲到B地、乙到C地所用时间为x小时，∴B、C之间的距离是96x千米，A、C之间的距离是42x千米，B、A之间的距离是54x千米，∵返回时，同时到达A地，∴根据题意有：42x-42×2解得x=4，∴B、C之间的距离是96×4=384（千米），答：B、C之间的距离是384千米．2．（2022上·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后马上返回，返回时甲车速度提高14，乙车速度减少16，它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米．那么A、【思路点拨】根据题意分析可知，根据路程比等于速度比表示出第一次时甲走了3232+48x=2【解题过程】解：设A、B之间的距离是x千米，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米/时，∴第一次时甲走了3232+48x=25x甲到B地的时间为：x32，乙到A地的时间为返回时甲车速度为32×1+14=40千米/时，乙车速度为则第二次相遇点距离A地25甲返回时到相遇点行驶了x-2∴甲返回时到相遇点用的时间为35则第二次相遇共用时为x32+3∴乙返回时到第二次相遇的时间为：x32+35x-7440∴35x-74+(x32+35x-7440解得：x=240答：A、B之间的距离是240千米．3．（2023上·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案：老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明．【思路点拨】（1）计算出汽车将8人都送到考场所用的时间，然后再与42分钟进行比较即可；（2）算出按老师方案将8人送到考场需要的时间和按学生方案将8人送到考场需要的时间，然后与42分钟进行比较即可．【解题过程】（1）解：1560∵45>42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）解：老师方案：设汽车将第一批送到考场再返回与第二批学生相遇所用时间为x小时，根据题意得：5x+60x=15×2，解得：x=6则将所有学生都送到考场所用的总时间为：6===405∵40∴这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．学生方案：∵两批学生步行速度相等，∴设第一批学生行驶的路程为mkm，第二批学生行驶的路程为m15-m+15-m-m=30-3m根据题意得：m5解得：m=2，则将所有学生都送到考场所用的总时间为：25∴他们也能在截止进考场的时刻前到达考场．4．（2022上·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习）一科技小组进行机器人行走性能测试，已知MN是周长为360米的圆形跑道的直径，机器人A从M点出发，机器人B从N点出发，机器人A运动速度为每分钟a米，机器人B运动速度为每分钟b米，设行走的时间为t分钟．（1）若a=15①若A顺时针转动，B逆时针转动，如图1，当t为多少分钟时，A与B第一次相遇；②若同时顺时针运动，如图2，当机器人B第一次回到点N时，A与B相遇了次；（2）若a>b，同时顺时针运动．①当t=10分钟时，A与B第一次相遇．那么t为何值时，A、B两个机器人在圆形跑道上首次相距60米？②若a=4b，试判断A与B第二次相遇位置，并说明理由．【思路点拨】（1）①根据t分钟A、B路程和等于圆形跑道一半，列等式15t+5t=360×12，求出t的值即可得A与②机器人B第一次回到点N时，B运动时间为360÷5=72分钟，设第一次相遇时间为t1，则(15-5)t1=180，得t1=18分钟，设第二次相遇时间为t2，则(15-5)t2=360，得t2=36分钟，设第三次相遇时间为t3，则(15-5)t3=360，得（2）①根据10分钟A、B路程差等于圆形跑道一半列式，即10a-10b=360×12，可得A、B速度关系式a-b=18，根据题意可知当A、B在圆形跑道上首次相距60米时，应为A、B在相遇前且(a-b)t=180-60，将a-b=18代入上式可得t=203，即当t=203时，②当A、B第一次相遇时，(a-b)t=180，根据a=4b，可得t=60b，第一次相遇时A运动距离为：4b×60b=240米，此时A、B同时同向运动，再次相遇时A比B多走360米，设相遇时间为t1，则(4b-b)t则第二次相遇时A运动距离为4bt1=8bt=480米，可知第二次相遇时A运动总距离为480+240=720米，即第二次相遇时A【解题过程】（1）解：①由题意可得，15t+5t=360×解得t=9故当t=9分钟时，A与B第一次相遇②机器人B第一次回到点N时，B运动时间为360÷5=72分钟；设第一次相遇时间为t1，则(15-5)t1设第二次相遇时间为t2，则(15-5)t2设第三次相遇时间为t3，则(15-5)t3∵18+36<72<18+36+36∴当机器人B第一次回到点N时，A与B相遇了2次,故答案为2；（2）解：①当t=10分钟时，A与B第一次相遇，则10a-10b=360×12，得B两个机器人在圆形跑道上首次相距60米时，应为A、B在相遇前，且(a-b)t=180-60将a-b=18代入上式可得t=∴当t=203时，A、B两个机器人在圆形跑道上首次相距②A与B第二次相遇位置为M点，证明如下：当A、B第一次相遇时，(a-b)t=180∵a=4b，则3bt=180，t=∴第一次相遇时A运动距离为：4b×60此时A、B同时同向运动，再次相遇时A比B多走360米，设相遇时间为t则(4b-b)t1=360，得∵bt=60，b∴∴第二次相遇时A运动距离为：4bt则第二次相遇时A运动累计总距离为：480+240=720米∵圆形跑道周长为360米，∴第二次相遇时A正好回到M点即A与B第二次相遇位置为M点．5．（2022上·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）甲、乙两地相距2000米，小明从甲地出发，10分钟后到达乙地，休息4分钟后从乙地原路原速返回．在小明从甲地出发的同时，小红从乙地以80mmin的速度步行至甲地，到甲地停止，设小红步行的时间为x分钟．（1）①0≤x≤10时，小明距离甲地的路程为米；小红距离甲地的路程为米；②14≤x≤24时，小明距离甲地的路程为米；（用含x的代数式表示）（2）小红从乙地到甲地步行过程中，当x为何值，他们相距40米？【思路点拨】（1）①根据路程及时间得到小明的速度，再根据路程等于速度乘以时间即可得到答案；②根据路程等于速度乘以时间即可得到答案；（2）根据（1）路程、速度、时间关系，分类四类讨论相距距离列方程即可得到答案．【解题过程】（1）解：①∵甲、乙两地相距2000米，小明从甲地出发，10分钟后到达乙地，∴小明的速度为：2000÷10=200m/min当0≤x≤10时，小明距离甲地的路程为：200x米；小红距离甲地的路程为：(2000-80x)米；②由①得，当14≤x≤24时，小明距离甲地的路程为2000-200(x-14)=2000-200x+2800=4800-200x（米），即(4800-200x)米；（2）解：①0≤x≤10时，I当小明靠近甲地时，即第一次相距40米，由题意可得，200x+80x+40=2000，解得：x=7；II当小红靠近甲地时，即第二次相距40米，由题意可得，200x+80x-40=2000，解得：x=517当14≤x≤24时，I当小红靠近甲地时，即第三次相距40米，由题意可得，80x-200(x-14)=40，解得x=23；II当小明靠近甲地时，即第四次相距40米，由题意可得，200(x-14)-80x=40，解得x=71综上所述：小红从乙地到甲地步行过程中，当x=7或x=517或x=23或x=716．（2022上·浙江台州·七年级统考期末）小王和小李每天从A地到B地上班，小王坐公交车以40km/h的速度匀速行驶，小李开汽车以50km/h（1）若他们同时从A地出发，15分钟后，两人相距______km；（2）假设途中设有9个站点P1，P2，…，P9①若两车同时从A地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求A，B两地的距离．②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从A地前往B地，8分钟后小李开汽车也从A地前往B地，求小李追上小王的时刻．【思路点拨】（1）先求出小王和小李在15分钟内的路程，然后求得两个间的距离；（2）①先设A、B两地相距x千米，然后分别用含有x的式子表示两人从A地到B地的时间，再结合“汽车比公交车早10.5分钟到达”列出方程求解，即可得到A、B两地间的距离；②先由①得到每两个站点间的距离，然后计算得到公交车在每两个站点间的时间，进而初步判断8分钟后公交车的位置，然后设时间为m分钟，再分段进行讨论即可．【解题过程】（1）解：15分钟＝0.25小时，∴小王的路程为40×0.25＝10（km），小李的路程为50×0.25＝12.5（km），∴两人间的距离为12.5﹣10＝2.5（km），故答案为：2.5．（2）解：①设两地距离为x千米，则小李的从A地到B地的时间为x50小时，小王的时间为x40∵汽车比公交车早10.5分钟到达，∴x40解得：x＝20，∴A、B两地相距20千米．②由①得，A、B两地相距20千米，∵每两个站点间的距离相等，∴每两个站点间的距离为20÷10＝2（千米），∴小王经过两个站点间的时间为2÷40＝0.05小时＝3分钟，∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，∴8分钟时，公交车在P2与P3之间，设小李经过m分钟追上小王，当小李在P2与P3之间追上小王，即m≤2时，m60×50=解得：m＝28（舍）；当小李在P3与P4之间追上小王，即2.5＜m≤5.5时，m60解得：m＝26（舍）；当小李在P4与P5之间追上小王，即6＜m≤9时，m60解得：m＝24（舍）；当小李在P5与P6之间追上小王，即9.5＜m≤12.5时，m60解得：m＝22（舍）；当小李在P6与P7之间追上小王，即13＜m≤16时，m60解得：m＝20（舍）；当小李在P7与P8之间追上小王，即16.5＜m≤19.5时，m60解得：m＝18；∴经过18分钟，小李追上小王，此时的时刻为4：48．7．（2023上·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．（1）该车间有男生、女生各多少人？（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【思路点拨】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是(2x-10)人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，(44-y)名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量×2=螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．【解题过程】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是(2x-10)人，则x+(2x-10)=44．解得x=18则2x-10=26．答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）设应分配y名工人生产螺丝，(44-y)名工人生产螺母，由题意得：120(44-y)=50y×2解得：y=24，44-y=20答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．8．（2022上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）用A型机器和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．（1）求每箱装多少个产品．（2）现需生产m箱产品，若用a台A型机器和b台B型机器同时生产，需要几天完成．（用含有a、（3）若每台A型机器一天的成本费用是110元，每台B型机器一天的成本费用是100元，可以运作的A型机器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______．【思路点拨】（1）设每台A型机器一天生产x个产品，则每台B型机器一天生产(x-1)个产品，根据题意可列方程为5x-48=7(x-1)-1（2）结合（1）可知每台A型机器一天生产20个产品，故每台B型机器一天生产19个产品，根据题意列出代数式即可；（3）分别求出当运行A型机器数量为18台、19台和20台时，还需要的B型机器数量，然后结合题意求出运行总成本并比较即可获得答案．【解题过程】（1）解：设每台A型机器一天生产x个产品，则每台B型机器一天生产(x-1)个产品，由题意，可得5x-48解得x=20，所以5x-48答：每箱装12个产品；（2）由（1）可知，每台A型机器一天生产20个产品，故每台B型机器一天生产19个产品，根据题意，现需生产m箱产品，若用a台A型机器和b台B型机器同时生产，则需要的天数为m÷20a+19b（3）①当使用A型机器18台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产，可有38×12-20×1819=5119，结合题意，可知还需要运行则总成本为110×18+100×6=2580元；②当使用A型机器19台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产，可有38×12-20×1919=4，即还需要运行B型机器则总成本为110×19+100×4=2490元；③当使用A型机器20台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产，可有38×12-20×2019=21819，结合题意，可知还需要运行则总成本为110×20+100×3=2500元．因为2490元所以，要在一天内完成38箱产品的生产，总成本的最小值为2490元．故答案为：2490元．9．（2022上·山西朔州·七年级校考阶段练习）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作．（1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？【思路点拨】（1）设甲、乙两队合作x天，甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要45天，列出方程130（2）把在工期内的情况进行比较即可.【解题过程】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成．130解得x=6．答：甲、乙合作6天才能把该工程完成．（2）当甲队独做时：3.5×30=105万元乙队单独完成超时，所以乙队不能独做．当甲、乙两队全程合作时：设甲、乙合作y天完成全工程．130解得：y=18

18×(3.5+2)=99万元．105万元>99万元．答：由甲、乙合作18天完成更省钱．10．（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多．（1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；（2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？（3）在年末时，该水果店购进水果篮650个和坚果礼盒600盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为40%，求m【思路点拨】（1）设买水果篮售价x元，坚果礼盒售价x-200元，根据等量关系：售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可列出方程，解方程即可；（2）设计划每个水果篮应打a折出售，列出方程，即可得出答案；（3）根据方案，得出实际水果篮售价540-5m元，坚果礼盒售价400-4m元，再根据该水果店获得的利润率为40%，列出方程即可得出答案．【解题过程】（1）解：设买水果篮售价x元，坚果礼盒售价x-200元，依题意得：x-300=2x-200-250解得：x=600．∴x-200=400．答：每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元．（2）设计划每个水果篮应打a折出售，依题意得：200×600×解得：a=5，答：计划每个水果篮应打5折出售．（3）∵600×0.9=540，∴实际水果篮售价540-5m元，坚果礼盒售价400-4m元，∴650-50540-5m∴m=15．答：m的值为15．11．（2022上·重庆·七年级重庆一中校考期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了A、B两种商品，A商品每件进价40元，B商品每件进价10元，两种商品共购进了500件，所用资金为11000元．（1）求12月A、B两种商品各购进了多少件？（2）12月初，该网店在出售A、B两种商品时，A商品在进价的基础上加价30%出售，并以此价格售出了14，B商品以一定价格售出了15．为了促销，余下的A、B两种商品．网店推出买一件A商品送一件B商品的优惠活动，但是单独购买B商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的A、B两种商品全部售完，且剩余的A商品都参加了促销活动，最终网店通过销售A、B两种商品共获利15%，求（3）2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A、B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案．甲厂家优惠方案：购买总金额优惠未超过2000元不打折超过2000元，未超过5000元全部打九折超过5000元全部打八折乙厂家优惠方案：购买A商品的总件数购买B商品的总件数优惠未超过50件未超过200件打九折超过50件，未超过130件的部分超过200件，未超过400件的部分打八折超过130件的部分超过400件的部分打七折1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A、B两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A商品实际付款4320元，第二次全部购进B商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A商品每件进价34元，购买B商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A、B两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？【思路点拨】（1）设A种商品购进了x件、则B种商品购进了（500-x）件，根据费用之和为11000元，列出一元一次方程求解即可；（2）设12月份每件B商品的售价是y元，根据销售额-成本=利润，得一元一次方程求解即可；（3）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可.【解题过程】（1）解：设A种商品购进了x件、则B种商品购进了（500-x）件，由题意，得40x+10(500-x)=11000，解得x=200，500-x=300，答：A种商品购进了200件，B种商品购进了300件.（2）解：设12月份每件B商品的售价是y元，由题意，得：40(1+300解得y=15，答：12月份每件B商品的售价是15元.（3）解：在甲厂家购进A、B两种商品共需付：4320+3690=8010（元）由4320÷0.9=4800（元），4320÷0.8=5400（元）所以在甲厂家购进A商品数量为480040=120（件），或540040由3690÷0.9=4100（元），所以在甲厂家购进B商品数量为410010=410从乙厂家购买120件A商品需付款：50×34×0.9+(120-50)×34×0.8=3434（元），购买135件A商品需付款：50×34×0.9+80×34×0.8+5×34×0.7=3825（元），购买410件B商品需付款：200×12×0.9+200×12×0.8+(410-200-200)×12×0.7=4164（元），故从乙厂家购买120件A商品、410件B商品需付款：3434+4164=7598（元）从乙厂家购买135件A商品、410件B商品需付款：3825+4164=7989（元）故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省8010-7598=412（元）或8010-7989=21（元）答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元.12．（2022上·江苏无锡·七年级校联考期末）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：甲超市乙超市消费金额（元）优惠活动消费金额（元）优惠活动0～100（包含100）无优惠0～200（包含200）无优惠100～350（包含350）一律享受九折优惠大于200超过200元的部分享受八折优惠大于350一律享受八折优惠（1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？（2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？（3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？【思路点拨】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可；（2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可；（3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可；【解题过程】（1）解：甲超市购物所付的费用为：240×0.9=216（元），乙超市购物所付的费用为：200+0.8×(240-200)=232（元），∵216<232，∴在甲超市更划算；（2）解：甲超市购买的商品原价：252÷0.9=280（元），设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得：200+0.8(x-200)=252，解得：x=265，∵280＞265，∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；（3）解：∵100×0.9=90，∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元，∵350×0.9=315，350×0.8=280，∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元，设第二次购买商品的原价为m元，①当100<m≤350时，由题意得：m=288÷0.9=320（元），320+80×0.8=320∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元；②当m>350时，由题意得：m=288÷0.8=360（元），(360+80)×0.8=352（元），∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元；综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元．13．（2022上·四川成都·七年级统考期末）成都中考“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购100个足球，x个排球（x＞50）．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．（1）请用含x的代数式分别表示出购买A、B公司体育用品的费用；（2）当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，求此时x的值；（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个．在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表：足球排球篮球1人用1个1人用1个2人共用1个若学校要满足600名学生同时训练，计划拨出10500元经费采购这批足球与排球，这批经费够吗？若够，应在哪家公司采购？若不够，请说明理由．【思路点拨】（1）根据题意列出代数式即可；（2）列方程求解即可；（3）设购买足球m个，可知购买排球（350-m）个，分两种情况列不等式，解不等式即可．【解题过程】解：（1）购买A公司体育用品的费用为：0.8（50×100+40x）=32x+4000；购买B公司体育用品的费用为：50×100+40×（x-1002）=40x+3000答：购买A公司体育用品的费用为32x+4000；购买B公司体育用品的费用为40x+3000；（2）根据题意，32x+4000=40x+3000，解得，x=125,答：当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，此时x为125；（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个，要满足600名学生同时训练，则需要购买足球和排球数量为：600-50-50-100×2=300，设购买足球m个，购买排球（300-m）个，购买A公司体育用品的费用为：0.8[50m+40（300-m）]=10500，解得，m=112.5,购买足球112个，购买排球188个，总费用为10496元；购买B公司体育用品，50m+40(300-m-m2解得，m=150,购买足球150个，购买排球150个，总费用为10500元；答：经费够用，可在A公司购买，费用更少．14．（2022上·福建·七年级统考阶段练习）某购物网站上的一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表：销售量单价不超过120件的部分3.5元/件超过120件但不超过300件的部分3.2元/件超过300件的部分3.0元/件（1）“双十一”期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴（即累计总金额每满300减50元），若购买75件，花费______元；若购买120件，花费______元；若购买240件，花费______元．（2）“双十一”期间，王老师购买这种小礼品共花了342元，列方程求王老师购买这种小礼品的件数．（3）“双十二”即将来临，但“双十二”期间不能使用购物津贴，王老师和李老师各自单独在该网站购买这种小礼品，他们一共购买了400件，其中王老师的购买数量大于李老师的购买数量，他们一共花费1331元，请问王老师和李老师各购买这种小礼品多少件？【思路点拨】（1）根据销售量与单价进行计算即可．（2）设购买了这种小礼品a件．构建方程即可解决问题．（3）设李老师购买x件，则王老师购买（400-x）件．分两种情形分别构建方程解决问题即可．【解题过程】解：（1）若购买75件，花费75×3.5=262.5(元)，购买120件，120×3.5=420(元)，花费：420-50=370(元)，购买240件，240-120×3.2+420=804(元)花费：804-50-50=704(元)，故答案为：262.5，370，704；（2）设王老师购买了这种小礼品a件．∵342+50=392<420，∴a<120，∴3.5a=342+50，解得：a=112，答：王老师购买了这种小礼品112件；（3）设李老师购买x件，则王老师购买（400-x）件．①当x＜120时，由题意得：3.5x+120×3.5+3.2(400-x-120)=1331，或3.5x+120×3.5+180×3.2+3(400-x-120-180)=1331，解得x=50（舍弃）或x=70，∴李老师购买70件，则王老师购买330件．②当x＞120时，由题意：840+3.2×160≠1331，不符合题意．答：李老师购买80件，则王老师购买320件．15．（2023上·四川成都·七年级统考期末）一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”．例如：1276，∵1+7=8，2+6=8，∴1+7=2+6=8，∴1276是“乐群数”．又如：3254，∵3＋5＝8，2+4=6≠8，∴3254不是“乐群数”．（1）请判断：1473______“乐群数”，6523______“乐群数”（填“是”或“不是”）；（2）已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”；（3）是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据定义可判断1473不是“乐群数”，6523是“乐群数”；（2）设这个“乐群数”的千位数字为x，根据对调后得到的新数比原数大3762列方程可解得这个“乐群数”为2563；（3）设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且a<b，可得M=990a+99b+88，由M被7除余3，知10a+b+1能被7整除，再根据a<b，即可得到答案．【解题过程】（1）∵1+7=8，4+3=7≠8，∴1473不是“乐群数”，∵6+2=5+3=8，∴6523是“乐群数”，故答案为：不是，是；（2）设这个“乐群数”的千位数字为x，则百位数字为x+3，十位数字位x-8，个位数字位8-(x+3)=5-x，根据题意得：1000x+100(x+3)+10(8-x)+5-x+3762=1000(8-x)+100(5-x)+10x+x+3，解得x=2，∴这个“乐群数”为2563；（3）存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”，理由如下：设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且a<b，∴M的十位数字是8-a，个位数字是8-b，∴M=1000a+100b+10(8-a)+8-b=990a+99b+88，∵M被7除余3，∴M-3能被7整除，∵M-3=990a+99b+85，∴M-37==1410a+b∴10a+b+1能被7整除，∵a<b，∴当a=1，b=3；a=2，b=7；a=3，b=4时，满足题意，∴M为1375或2761或3454．16．（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人.（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处?（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90<m<100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?【思路点拨】（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍得出方程，求出x的值；（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，由此可得方程：220+y【解题过程】解：（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，列方程得：220+x=3（解得：x=17（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，由此可得方程：220+∴4∴y∵90<m<100，y<m,m，y均为整数当m=91时：y=当m=92时：y当m=93时：y=当m=94时：y=当m=95时：y=当m=96时：y当m=97时：y=当m=98时：y=当m=99时：y=综上所述：当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人答：（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人.17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）“九州同庆，盛世华诞”，某中学举办“迎国庆”校园艺术节，初二学年为参加集体歌舞表演的每名同学定制一套演出服装（一件上衣和一条裤子为一套，男女生同款）经过估算刚好需要某种布料228米，已知每6米长的这种布料可做上衣5件，每4米长的这种布料可做裤子3条．（1）用来生产上衣和裤子的布料各是多少米？（2）若参加演出男生比参加演出女生的55%少3（3）某服装厂的甲、乙两个小组共同承担加工这批服装的任务，乙组人数比甲组人数的2倍少2人．若甲、乙两组工人原计划平均每人加工的服装套数相同，实际上到完工时甲组工人加工的服装总套数比原计划人均加工服装套数的5倍少4套，乙组工人加工的服装总套数比原计划人均加工服装套数的6倍少5套，求甲、乙两组各有多少工人？【思路点拨】（1）根据题意，可知上衣和裤子的布料之和等于228，然后即可列出相应的方程，从而可以求得用来生产上衣和裤子的布料各多少米；（2）根据参加检阅的男生比参加演出女生的55%少3人和（1）中的结果，可以求得参加检阅的男生有多（3）根据题意，可以先计算出原计划平均每人加工的服装的数量，再根据甲、乙两个小组承担加工这批服装，乙组人数比甲组人数的2倍少2人，即可得到甲、乙两组各有多少工人．【解题过程】（1）解：设用来生产上衣的布料x米，则用来生产裤子的布料为228-x米，由题意可得，x6解得x=108，∴228-x=120，答：用来生产上衣和裤子的布料分别为108米、120米；（2）解：108÷6设参加检阅的女生有y人，y+55解得y=60，90-60=30，答：参加检阅的男生有30人；（3）解：设原计划平均每人加工的服装数量为a套，5a-4+6a-5=90，解得a=9，设甲组有工人b人，则乙组有工人2b-2人，92b-2解得b=4，∴2b-2=6，答：甲组有4人，乙组有6人．18．（2022上·江苏无锡·七年级统考期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．气量分档用气量（立方米）价格（元/立方米）调整前调整后第一档年用气量≤300年用气量≤4002.73第二档300＜年用气量≤600400＜年用气量≤10003.28第三档年用气量＞600年用气量＞10003.82人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为元，调整后气费为元；（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？【思路点拨】（1）已知用气量1000立方米，根据调整前与调整后每一档的对应价格列算式计算即可；（2）先设小红家年用气量为x立方米，再对用气量进行分类讨论，根据题目条件，分别表示出每一段中对应的调整前后的用气费用，再根据已知调整后比调整前气费节省109元，列出方程进行解答，分析x是否在所讨论的范围内判断答案即可．【解题过程】（1）调整前：(300+60)×2.73+(600+120-360)×3.28+(1000-600-120)×3.82=3233.2元，调整后：(400+80)×2.73+(1000-480)×3.28=3016元；故答案为：3233.3，3016；（2）设小红家年用气量为x立方米，当300<x≤400时，调整前：300×2.73+(x-300)×3.28=3.28