专题5.4 一次函数的应用-最大利润问题（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题5.4一次函数的应用——最大利润问题【典例1】天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m10<m<20元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40【思路点拨】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为x-20元，然后根据“用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；（2）设购进A种商品a件，购进B种商品40-a件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；（3）设销售A、B两种商品总获利y元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可．【解题过程】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为x-20元．依题意得2000x=1200经检验x=50是原方程的解且符合题意当x=50时，x-20=30．答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元；（2）设购进A种商品a件，购进B种商品40-a件，依题意得50a+30(40-a)⩽1560解得403∵a为整数∴a=14,15,16,17,18．∴该商店有5种进货方案；（3）设销售A、B两种商品总获利y元，则y=80-50-m①当m=15时，15-m=0，y与a的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；②当10<m<15时，15-m>0，y随a的增大而增大，∴当a=18时，获利最大，即在（2）的条件下，购进A种商品18件，购进B种商品22件，获利最大；③当15<m<20时，15-m<0，y随a的增大而减小，∴当a=14时，获利最大，∴在（2）的条件下，购进A种商品14件，购进B种商品26件，获利最大．1．（2022秋·安徽合肥·八年级校联考期中）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(单位：元)如下表：空调机电冰箱甲连锁店200170乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y(元)．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润都不变，并且让利后每台空调机的利润比甲连锁店销售每台电冰箱的利润至少高出10元，问该集团应该如何设计调配方案，能使总利润达到最大．【思路点拨】（1）根据题意首先设调配给甲连锁店电冰箱（70-x）台，调配给乙连锁店空调机（40-x）台，电冰箱60-（70-x）=（x-10）台，列出不等式组求解即可；（2）由（1）可得几种不同的分配方案；依题意得出y与a的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．【解题过程】解：（1）由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱

（70-x）调配给乙连锁店空调机（40-x）台，电冰箱为则y=200x+170（即y=20x+16800．∵x≥070-x≥0∴10≤x≤40．∴y=20x+16800（（2）由题意得：y=（即y=（∵200-a≥170+10，∴a≤20．当0＜a＜20时，20-a＞0，函数y随x的增大而增大，故当x=40时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a=20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同.2．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．（1）求这两种摆件的销售单价．（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【思路点拨】（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x-30）元，由题意：该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．列出分式方程，解方程即可；（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90-m）个，由题意：规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．列出一元一次不等式，解得m≤30，设销售利润为w元，再求出w=10m+2700，然后由一次函数的性质即可得出结论．【解题过程】（1）解：设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x-30）元，根据题意得：3600x解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，∴x-30=120-30=90，答：“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；（2）（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90-m）个，由题意得：m≤12（90-m解得：m≤30，设销售利润为w元，由题意得：w=（120-80）m+（90-60）×（90-m）=10m+2700，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m=30时，w的值最大=10×30+2700=3000，此时，90-m=60，答：购进“冰墩墩”摆件30个，则购进“雪容融”摆件60个，才能获得最大利润，最大利润是3000元．3．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【思路点拨】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额＋100精装练习本销售额=1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本500-x个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；②先求出x的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．【解题过程】（1）解：设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据题意得：150m+100n=1450200m+50n=1100解得：m=3n=10答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元．（2）解：①购买普通练习本x个，则购买精装练习本500-x个，根据题意得：W=3-2②∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，∴x≥3500-x解得：375≤x<500，∵W=-2x+1500中k=-2<0，∴W随x的增大而减小，∴当x=375时，W取最大值，500-375=125（个），W最大答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．4．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．【思路点拨】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．【解题过程】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．根据题意，得60a+40b=1520,解方程组，得a=12,答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进200-x千克乙种水果，根据题意，得12x+20200-x解这个不等式，得x≥80．设获得的利润为w元，根据题意，得w=17-12∵-5<0，∴w随x的增大而减小．∴当x=80时，w的最大值为-35m+1600．根据题意，得-35m+1600≥800．解这个不等式，得m≤160∴正整数m的最大值为22．5．（2023春·全国·八年级假期作业）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？【思路点拨】（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗500-a棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗500-a棵，总费用为W，即可得出W关于a的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．【解题过程】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：50x+20y=500030x+10y=2800解这个方程组得：x=60答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗500-a棵，由题意得，60a+100(500-a)≤42000500-a≥解得，200≤a≤400．∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗500-a棵，总费用为W，∴W=60∵-40<0，∴W值随a值的增大而减小，∵200≤a≤400，∴当a=400时，W取最小值，最小值为50000-40×400=34000元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．6．（2023春·湖北黄石·八年级统考期末）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a0<a<20元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a-b=4，若最大利润为4950元，请直接写出a【思路点拨】（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．【解题过程】（1）解：由题意得：y=（220-160）x+（160-120）×（100-x）=20x+4000，（2）由题意得：x≥60160x+120×(100-x)≤15000∴60≤x≤75，∵y=20x+4000中，20＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=75时，y最大=20×75+4000=5500（元）．（3）∵a-b=4，∴b=a-4，由题意得：y=（220-160-a）x+（160-120+b）（100-x）=（60-a）x+（40+b）×100-（40+b）x=（24-2a）x+100a+3600．∵60≤x≤75，0＜a＜20，∴当0＜a＜12时，24-2a＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=75时，y最大=（24-2a）×75+100a+3600=4950，∴a=9，符合题意．当a=12时，y=100×12+3600=4800≠4950，不合题意．当12＜a＜20时，24-2a＜0，y随x的增大而减小．∴当x=60时，y最大=（24-2a）×60+100a+3600=4950，∴a=4.5，不合题意，舍去．综上，a=9．7．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后，因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医院．求药店捐赠口罩至少有多少个？【思路点拨】（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，根据题意给出的等量关系即可求出答案．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：4a+4.5b=6400，所以a=1600-98b≤1000【解题过程】解：（1）设第一次购进口罩的数量为x个，则第二次购进(x-200)个根据题意得:1.25×得x=1000经检验1000是原方程的解并符合题意∴1000-200=800个答:第一次购进100个，第二次购进800个（2）由（1）知两次购进口罩800个由题意得4a+5b=6400a=1600-得b≥533设捐赠口罩y个则y=1800-a-b=1800-1600+=∵k=∴y随b的增大而增大又∵b为8的倍数∴当b=536时，y取最小值y=答：药庄捐赠口罩267个8．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）武汉某文化公司向市场投放A型和B型商品共200件进行试销．A型商品成本价140元/件，B型商品成本价120元/件，要求两种商品的总成本价不超过26400元，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为170元/件，全部售出且获得的利润不低于10800元．设该公司投放A型商品x件，销售这批商品的利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式．并求出x的取值范围；（2）要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？（3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐慈善资金aa>0元，当该公司售完这200件商品并捐献资金后获得的最大收益为10960元时．求a【思路点拨】（1）根据题意即可得出y与x之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过26400元，全部售出且获得的利润不低于10800元，列不等式组可得x的范围；（2）根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意得y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000，再根据一次函数的性质解答即可．【解题过程】（1）根据题意得，y=（200-140）x+（170-120）×（200-x），即y=10x+10000，∵两种商品的总成本价不超过26400元，全部售出且获得的利润不低于10800元，∴140x+120(200-x)≤2640010x+10000≥10800解得80≤x≤120，答：y与x之间的函数解析式为y=10x+10000，x的取值范围是80≤x≤120；（2）由（1）可知：y=10x+10000（80≤x≤120），∵10＞0，∴y随x的增大而增大，当x=120时，y=10×120+10000=11200，答：该公司应该向市场投放120件A型商品，最大利润为11200元；（3）根据题意可知一共捐出ax元，∴y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000，当10-a＜0时，y=（10-a）x+10000的最大值小于10000，不符合最大收益为10960元，∴这种情况不存在；当10-a＞0时，x=120，y取最大值，∴120（10-a）+10000=10960，∴a=2，答：a的值为2．9．（2023春·全国·八年级专题练习）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．脐橙品种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨脐橙获利（元）120016001000（1）设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；（2）如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．【思路点拨】（1）根据题意列式：6x+5y+420-x-y=100，整理后即可得到（2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，x≥4，-2x+20≥4，解不等式组即可；（3）设利润为W元，则W=-4800x+1600004≤x≤8【解题过程】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，∴装运C种水果的车辆数为20-x-y，∴6x+5y+420-x-y整理得y=-2x+20．（2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，-2x+20，x，由题意得-2x+20≥4，解得x≤8，∵x≥4，∴4≤x≤8．∵x为整数，∴x的值为4，5，6，7，8，∴安排方案共有5种．（3）设利润为W元，∴W=6x×1200+5=-4800x+160000，因为-4800<0，且x的值为4，5，6，7，8，∴W的值随x的增大而减小，∴当x=4时，销售利润最大．当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大．最大利润W=-4800×4+160000=140800（元）．10．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．（1）求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；（2）该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？（3）为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？【思路点拨】（1）设每台A型音箱的进价为x元，每台B型音箱的进价为x+10元，由题意得：6000x（2）设最大利润是w元，购进a台A型音箱，则购进100-a台B型音箱，由题意得：w=35-30a+48-40100-a=-3a+800，由A型音箱台数不小于B型音箱台数的3（3）设购进b台B型音箱，则购进5b台A型音箱，购进三种音箱共n台，则购进的C型音箱n-6b台，由题意得：30×5b+40b+20n-6b=20000，解得n=1000-72b，由n>6b，可得1000-72b>6b，解得b<105519，由b为正整数且为【解题过程】（1）解：设每台A型音箱的进价为x元，每台B型音箱的进价为x+10元，由题意得：6000x解得x=30，经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，∴x+10=40，答：每台A型音箱的进价为30元，则每台B型音箱的进价为40元；（2）解：设最大利润是w元，购进a台A型音箱，则购进100-a台B型音箱，由题意得：w=35-30∵A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，∴a≥3100-a，解得a≥75∵k=-3<0，∴w随x的增大而减小，∴当a=75时，w取最大值，最大值为575；答：购进75台A型音箱，购进25台B型音箱所获利润最大，最大利润是575元；（3）解：设购进b台B型音箱，则购进5b台A型音箱，购进三种音箱共n台，则购进的C型音箱n-6b台，由题意得：30×5b+40b+20n-6b解得n=1000-7∵n>6b，∴1000-72b>6b∵b为正整数且为2的倍数，∴b≤104，∵-7∴n随b的增大而减小，当b=104时，n最小，n=1000-7答：该电商至少可以购进三种型号音箱共636台．11．（2023春·八年级课时练习）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清明前生产A、B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元．（1）每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？（2）该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？（3）将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件B首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【思路点拨】（1）设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件B首饰盒的生产成本是y元，根据“生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元”列二元一次方程组，求解即可；（2）设该厂生产B首饰盒m件，根据用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍列一元一次不等式组，求解即可；（3）设该厂总获利w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定获利最大时的生产方案．【解题过程】（1）解：设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件B首饰盒的生产成本是y元，根据题意，得10x+20y=310020x+10y=3800解得x=150y=80答：每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．（2）设该厂生产B首饰盒m件，根据题意，得100-m≥2m150解得30≤m≤100∴m取正整数：30，31，32，33，∴共有4种生产方案．（3）设该厂总获利w元，根据题意，得w=100100-m∵-60<0，∴w随着m的增大而减小，∴当m=30时，w取最大值，最大利润=-60×30+10000=8200元，100-30=70（件），∴生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．12．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价丘乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．（1）求出a，b的值；（2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【思路点拨】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；②根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【解题过程】（1）根据题意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值为35，b的值为40；（2）①由题意得：y=(45-35)x+(52-40)(300-x)=-2x+3600，∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，∴x≤150，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴x≥1解得：x≥100，则x的取值范围为：100≤x≤150，∴y与x的函数关系式为y=-2x+3600，x的取值范围为：100≤x≤150；②由题意得：y=45-35+n∵0<n<10，∴当0<n<2即n-2<0时，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值100n-2∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当2<n<10时，即n-2>0时，y随x的增大而增大，∴当x=150时，y有最大值150n-2乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当n=2时，无论购多少套，只要满足100≤x≤150，利润都是3600．13．（2023春·八年级课时练习）我校八年级组织“义卖活动”，某班计划从批发店购进甲、乙两种盲盒，已知甲盲盒每件进价比乙盲盒少5元，若购进甲盲盒30件，乙盲盒20件，则费用为600元．方案评价表方案等级评价标准评分合格方案仅满足购进费用不超额1分良好方案盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用不超额3分优秀方案盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少4分（1）求甲、乙两种盲盒的每件进价分别是多少元？（2）该班计划购进盲盒总费用不超过2200元，且甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元．①若准备购进甲、乙两种盲盒共200件，且全部售出，则甲盲盒为多少件时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？②因批发店库存有限（如下表），商家推荐进价为12元的丙盲盒可供选择．经讨论，该班决定购进三种盲盒，其中库存的甲盲盒全部购进，并将丙盲盒的每件售价定为22元．请你结合方案评价表给出一种乙、丙盲盒购进数量方案．盲盒类型甲乙丙批发店的库存量（件）1007892进货量（件）100______________________【思路点拨】（1）设甲盲盒的每件进价是x元，则乙盲盒的每件进价是（x+5）元，根据题意可得30x（2）①设购进甲盲盒m件（m≤200），则购进乙盲盒（200-m）件，售出所得利润为w元，根据购进盲盒总费用不超过2200元，列不等式并求解可得160≤m≤200，则盲盒售出后总利润w=-2m+2000，由一次函数的性质即可获得答案；②设购进乙盲盒a件(a≤78)，购进丙盲盒b件(b≤92)【解题过程】（1）解：设甲盲盒的每件进价是x元，则乙盲盒的每件进价是（x+5）元，根据题意，可得30x解得x=10元，则x所以，甲盲盒的每件进价是10元，乙盲盒的每件进价是15元；（2）解：①设购进甲盲盒m件（m≤200），则购进乙盲盒（200-m）件，售出所得利润为w根据题意，购进盲盒总费用不超过2200元，可得10m解得m≥160∴160≤m∵甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元，∴w=(18-10)m+(25-15)(200-∵k=-2<0∴w随m的增大而减小，∴当m=160时，有w答：当甲盲盒为160件时，所获得总利润最大，最大利润,1680元；②设购进乙盲盒a件(a≤78)，购进丙盲盒b件根据题意，购进盲盒总费用不超过2200元，∴10×100+15a∴5a设全部售出所获得利润为w'则w'∴w'∴当b=92时，w'可取最大值，此时，5a∴a≤6.4∵a为正整数，∴a=6∴购进乙盲盒6件，购进丙盲盒92件时，盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少．故答案为：6，92．14．（2023春·河北保定·八年级校考期中）目前全球都在针对新冠疫情作积极防控，大型公共场所经常用到消毒产品消毒．某工厂计划生产A、B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料1千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．（1）甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，若生产一箱B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低？(成本=材料费+加工费)【思路点拨】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据“购买价格=甲材料单价×数量+乙材料单价×数量”列出关于x、（2）设生产A产品a箱，生产B产品(80-a)箱，根据“购买材料钱=生产A产品的箱数×A产品所需材料钱+生产B产品的箱数×B产品所需材料钱”结合购买资金不能超过8800元且生产B产品不少于38箱，得出关于a的一元一次不等式组，解不等式即可得出结论；（3）设生产成本为W元，根据数量关系寻找出W关于a的函数关系式，由一次函数的性质即可得出结论．【解题过程】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意得：x+y=603x+2y=140解得x=20y=40答：甲种材料每千克20元，乙种材料每千克40元；（2）设生产A产品a箱，生产B产品(80-a)箱，依题意得

3×20a+40a+2×20×80-a解得40≤a≤42，∵a的值为非负整数∴a=40、41、42；答：共有如下三种方案：方案1.A产品40箱，B产品40箱，方案2.A产品41箱，B产品39箱，方案3.A产品42箱，B产品38箱；（3）生产A产品42箱，B产品38箱，成本最低．理由如下：设生产成本为W元，则W与a的关系式为：W=(20×3+40×1+40)a+(20×2+40×2+50)(80-a)=-30a+13600，即W是a的一次函数，∵k=-30<0∴W随a增大而减少，∴当a=42时，总成本最低；所以选择方案3：生产A产品42箱，B产品38箱，成本最低，为12340元．15．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的32（1）求甲、乙两种品牌篮球的单价．（2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？（3）在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠a元30<a<50，甲种篮球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？【思路点拨】（1）设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为x+40元，根据用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球的数量的32（2）根据总费用不超过17200元及乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍列不等式组求解即可得到答案；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种篮球的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【解题过程】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为x+40元，由题意可得，4800x解得：x=160，经检验x=160是原方程的解，则x+40=160+40=200，答：甲、乙两种品牌篮球的单价分别为：160元，200元；（2）解：设购买甲品牌篮球m个，则购买乙品牌篮球90-m个，由题意可得，90-m≥2m160m+20090-m≤17200解得：20≤m≤30，且m为整数，∴该校共有11种购买方案；（3）解：设总利润为W，则W=160m+200-a①当40<a<50时，a-40>0，W随m的增大而增大，所以，当m=20时，W有最小值，W最小即此时应购进甲品牌篮球20个，购进乙品牌篮球70个；②当a=40时，a-40=0，W=18000-90a，（2）中所有方案获利都一样；W最小③当30<a<40时，a-40<0，W随m的增大而减小，所以，当m=30时，W有最小值，W最小即此时应购进甲品牌篮球30个，购进乙品牌篮球60个．16．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为40000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式：②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【思路点拨】（1）设每台A型加湿器和B型加湿器的销售利润分别为a元，b元，然后根据题意列出二元一次方程组解答即可；（2）①据题意得即可确定y关于x的函数关系式，利用A型利润与B型利润即可求出总利润y与x的关系，并确定x的范围即可；②根据一次函数的增减性，解答即可；（3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况①0<m<50，②m=50，③50<m<100时，m-50>0结合函数的性质，进行求解即可．【解题过程】（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意得：{解得{答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①设购进A型电脑x台，每台A型电脑的销售利润为100元，A型电脑销售利润为100x元,每台B型电脑的销售利润为150元，B型电脑销售利润为150(100-x)元y=100x+150(100-x)，即这100台电脑的销售总利润为:y=-50x+15000；100-x≤2x，解得x≥3313．且y=-50x+15000，(x≥331②∵y=-50x+15000中，k=-50<0，∴y随x的增大而减小．∵x为正整数，x≥33∴当x=34时，y取得最大值，此时100-x=66．答：商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大；（3）根据题意得y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000，其中3313≤x≤70①当0<m<50时，k=m-50<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取得最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；②当m=50时，k=m-50=0，∴y=15000，即商店购进A型电脑数量满足331③当50<m<100时，k=m-50>0，∴y随x的增大而增大．∴当x=70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．17．（2022春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中咏诵的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲，乙两种水稻，若种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻和20亩乙种水稻，共需投入23万元．（1）种植甲，乙两种水稻，每亩各需投入多少万元？（2）经测算，种植甲种水稻每亩可获利a（a>0且a为常数）万元，种植乙种水稻每亩可获利0.8万元，村里投入50万元用来种植这两种水稻，若要求甲种水稻的种植面积不能少于乙种水稻种植面积的65倍，且不能多于乙种水稻种植面积的165倍．设种植乙种水稻m亩，该村种植两种水稻共获利W万元，请求出W关于m的函数表达式，并求出最大获利（用含【思路点拨】（1）设种植甲种水稻每亩需投入x万元，种植乙种水稻每亩需投入y万元,根据等量关系：种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻和20亩乙种水稻，共需投入23万元．列方程组，解方程组即可；（2）根据乙种m亩，求出甲种100-45m亩，根据不等关系列出不等式组100-45m≤165【解题过程】（1）解：设种植甲种水稻每亩需投入x万元，种植乙种水稻每亩需投入y万元，根据题意，得：20x+30y=2230x+20y=23解得x=0.5y=0.4，答种植甲种水稻每亩需投入0.5万元，种植乙种水稻每亩需投入0.4万元；（2）解：设种植乙种水稻m亩，∴乙种水稻投入0.4m，∴甲种水稻投入(50-0.4m)万元，∴甲种水稻种植50-0.4m÷0.5=根据题意得65即100-4解不等式①得m≥25，解不等式②得m≤50，∴25≤m≤50，W=a⋅100-45m当0.8-45a＜0，即a∴m=25时，W最大=100a+0.8-当0.8-45a=0，W当0.8-45a＞0，即a∴当m=50时，W最大=100a+0.8-综合最大利润为（80a+20）万元．18．（2022春·重庆·八年级重庆市第十一中学校校考期中）清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小吃——青团也深受大家欢迎，知味观推出一款鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青团每个售价是芒果青团的54倍，4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个，且鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为5:7，鲜花牛奶青团销售额为250000（1）求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价？（2）5月份正值知味观店庆，决定再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的32，且不多于鲜花牛奶青团的2倍，其中，鲜花牛奶青团每个让利a元销售，芒果青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的7【思路点拨】（1）由鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为5:7可设鲜花牛奶青团有5x个，芒果青团销售7x个，根据鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个列方程可求出鲜花牛奶青团和芒果青团销售量，再根据鲜花牛奶青团销售额为250000元可得出结论；（2）设生产芒果青团m个，则生产鲜花牛奶青团（12000-m）个，根据“芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的32；不多于鲜花牛奶青团的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，由让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的78，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，设总销售额w元，根据总销售额=销售单价×销售数量，即可得出w关于【解题过程】（1）∵鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为5:7，∴设鲜花牛奶青团有5x个，芒果青团销售7x个，根据题意得，5x+7x=60000解得，x=5000∴5x=25000,7所以，鲜花牛奶青团有25000个，芒果青团销售35000个，设芒果青团的单价为y元/个，则鲜花牛奶青团的单价为54y元25000×5解得，y=8∴54∴鲜花牛奶青团和芒果青团的售价分别为10元和8元；（2）设生产芒果青团m个，则生产鲜花牛奶青团（12000-m）个，依题意，得：m≥3解得：7200≤m≤8000．∵让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的78∴10-a≥78×8∴a≤3．设总销售额w元，则w=（10-a）（1200-m）+8m=（a-2）m+1200（10-a）．当0＜a＜2时，a-2＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=7200时，w取得最大值；当a=2时，a-2=0，w为定值；当2＜a≤3时，a-2＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m=8000时，w取得最大值．答：当0＜a＜2时，生产芒果青团7200个、鲜花牛奶青团4800个，使总销售额最大；当a=2时，生产芒果青团不少于7200个、不超过8000个，总销售额不变；当2<a≤3时，生产芒果青团8000个、鲜花牛奶青团4000个，使总销售额最大．19．（2023春·湖南长沙·八年级期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱不多于40台，请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k(0<k<100)元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【思路点拨】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为(x+400)元，根据商城用“80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=(2100-2000)x+(1750-1600)(100-x)=-50x+15000，由题意：购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱不多于40台，列出不等式组，解得3313≤x≤40，再由x为正整数，的x=34，35，36，37，38，39，40（3）当电冰箱出厂价下调k(0<k<100)元时，则利润y=(k-50)x+15000，分三种情况讨论：当k-50>0；当k=50时；当【解题过程】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为(x+400)元，根据题意得：80000x+400解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，且符合题意，x+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x台，这1