6.4.1二项分布（课件）-高二数学（北师大版2019选择性）

6.4.1二项分布温故知新温故知新1、离散型随机变量的分布列

X············2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．1.两点分布列X01P1－PP2.二项展开式的通项第k+1项为在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.如检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阴性或阳性等.温故知新离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，方差的性质：则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.温故知新

实例分析

在上面的问题中，将一次射击看成做了一次试验，思考并回答下列问题：(1)一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？(2)如果将每次试验的两种结果分别称为“成功"(命中目标)和“失败"(没有命中目标)，那么每次试验成功的概率是多少？它们相同吗？(3)各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中，独立性具体应用在哪里？

思考交流下面有补充：独立重复实验概念说明，有需求的可以使用1.什么是独立重复试验?在同样的条件下，重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验。2.独立重复试验的基本特征是：(1)每次试验是在

下进行的；(2)各次试验中的事件是

的；(3)每次试验都只有

，即事件要么发生，要么不发生；(4)每次试验，某事件发生的概率是

的。同样条件相互独立两种结果相同共同特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，事件A发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。像这样的，在相同的条件下，重复的做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么就称它们为n次独立重复试验.基本概念一探究

投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？

连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用表示第i次掷得针尖向上的事件，用表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则由于事件彼此互斥，由概率加法公式得所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是思考？

上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？仔细观察上述等式，可以发现如果在1次试验中，事件A发生的概率为p,

则在n次试验中，A恰好发生k次的概率为：n次独立重复试验的概率公式及结构特点：（其中k=0，1，2，···，n）实验总次数事件A发生的概率事件A发生的次数抽象概括：二项分布：

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。X01…k…np……

一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).问题对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?如果把p看成b

，1-p看成a

，则就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率正好是二项式定理展开式的第k＋1项，故有追问

二项分布和两点分布有什么联系？两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.二项分布的分布列如下表当n=1时，可以得到两点分布的分布列如右表：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).概念辨析问题5

对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?如果把p看成b

，1-p看成a

，则就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率正好是二项式定理展开式的第k＋1项，故有追问

二项分布和两点分布有什么联系？两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.概念辨析二项分布的分布列如下表当n=1时，可以得到两点分布的分布列如右表：典例解析例1

将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5).(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为(1)恰好出现5次正面朝上的概率为

√×√巩固提升√

答案：A

答案：D例1某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都没报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；⑷3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警.

⑴3台都没报警的概率为P(X=0)=0.001；(2)恰有1台报警的概率为P(X=l)=0.027；(3)恰有2台报警的概率为P(X=2)=O.243；(4)3台都报警的概率为F(X=3)=0.729；(5)至少有2台报警的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.243+0.729=0.972；(6)至少有1台报警的概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=l—0.001=0.999.随机变量X服从二项分布的三个前提条件：(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.问题

如何判断一个随机变量X是否服从二项分布？变式

甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.解2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为同理，若采用5局3胜制，则X~B(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为

变式

甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?思考

为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?采用3局2胜制赛满3局时,若前2局获胜,那第3局的胜负并不影响甲获胜;同样,采用5局3胜制赛满5局,若前3局获胜,那后2局的胜负并不影响甲获胜,若前4局胜3局,那第5局的胜负也不影响甲获胜.方法归纳一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).

变式:某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列.

解：的所有取值为：1、2、3、4、5表示前四次都没射中43215故所求分布列为:探究：二项分布的均值与方差问题：假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布外，我们还关心它的均值和方差等数字特征.因此,一个服从二项分布的随机变量，其方差和均值也是我们关心的.我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.

根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

探究：二项分布的均值与方差从简单开始,先考察n较小的情况.服从二项分布的随机变量X,我们猜想：E(X)＝np.

(1)当n＝1时,X服从两点分布,X分布列为

则有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝pD(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p)(2)当n＝2时,X分布列为

P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2pD(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,二项分布的期望若X~B(n,p)若X服从二项分布，则E(X)=nP。二项分布的随机变量的均值证明1．已知X～B(n，p)，EX＝8，DX＝1.6，则n＝__________，p＝________．解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以EX＝np＝8，DX＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.答案：10

0.8巩固练习解：2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.

思考：有人这样认为，抛掷一枚均匀的硬币100次，恰好50次正面朝上的概率很大.你同意他的想法吗？1.全班每人抛掷一枚均匀的硬币100次(或利用科学计算器产生随机数进行模拟)，记录正面朝上的次数.计算恰好得到了50次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例.2.每人再做一次试验，计算恰好得到了50次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例.有人给出了一个抛掷均匀硬币的模拟试验①，试验相当于100个人，每人都抛掷100次均匀硬币，记录各自掷出正面朝上的次数如下：

人们也许存在着这样的误解，认为“抛掷100次均匀的硬币，出现50次正面朝上”是必然的，或者说它的概率应该很大，但通过做试验和计算表明这个概率只有8%左右.由此可见,学习概率的知识有时能够帮助我们澄清一些误解.例3某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30kW,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001).分析我们将每台机床是否能正常工作看成一次试验,那么一共有5次试验，并且它们彼此是独立的;在每次试验中，把正常工作看作“成功”,不正常工作看作“失败”,那么每次试验“成功”的概率都是0.2.如果令X为5台机床中正常工作的台数，那么X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布.而题目中“车间不能正常工作”是指总功率超过30kW,即X≥4.

例3某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30kW,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001).不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分变式.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?1．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ值的是(

)A．4

B．4.5

C．4.75

D．53．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且Eξ＝3，则P(ξ＝1)的值是(

)A．2×0.44

B．2×0.45

C．3×0.44

D．3×0.64BAC4．已知X的概率分布如下，E(X)＝7.5，则a＝________.X4a910P0.30.1b0.275．若随机变量X的分布列是P(x＝k)＝·0.1k·0.94－k，k＝0,1，2,3,4.则EX＝________.0.45：