初中数学八年级下册《17.1.1勾股定理》教学课件

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升勾股定理勾股定理与面积的关系

如图是2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM—2002)的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位.1知识点勾股定理问题1

图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？知1－导归纳知1－导

可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积.即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A'，

B'，

C'的面积，看看能得出什么结论.（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.）知1－导问题2归纳知1－导

命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如图(1)，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2;另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色).把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形(图(3)).因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)组成，所以它们的面积相等.因此，a2

+b2=c2.知1－讲总结知1－讲勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的

平方；数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，

BC＝a，则a2＋b2＝c2.要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关

系，已知其中任意两边可以求出第三边；(3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边．分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

对边分别是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；

(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－讲导引：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－讲解：总结知1－讲

利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；三化简．1设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边

长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；

(2)已知a=5，b=12，求c；

(3)已知c=25，b=15，求a.知1－练2(2016·株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为

边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直

角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足

S1＋S2＝S3的图形个数是(

)A．1B．2C．3D．4知1－练3若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，

斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正

确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．c2＝a2＋b2知1－练错解：第三边的长为错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，故将题意理

解为两直角边长分别为3和4，于是斜边长为5.但这一理解

的前提是3，4为直角边长，而题中并未加以任何说明，因

而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边．所以需要

分情况求解．正确解法：(1)当两直角边长分别为3和4时，

第三边的长为

(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，

第三边的长为例2已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．知1－讲总结知1－讲

运用勾股定理求第三边的长时，一般要经过“一分二代三化简”这三步曲；若由题目中的条件找不到斜边，则需要运用分类讨论思想求解．1(1)已知一直角三角形的两边长分别为8，15，

则第三边长为____________；

(2)已知一直角三角形的两边长分别为2和4，则第

三边长的平方为__________．知1－练2(2015·黔西南)一直角三角形的两边长分别为

3和4，则第三边长为(

)A．5B.C.D．5或知1－练2知识点勾股定理与面积的关系知2－导

在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．归纳知2－导

观察图形，容易得到大正方形的边长为

a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．知2－讲例3观察如图所示的图形，回答问题：

(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形

P的面积

为9，正方形Q的面积为

15，则正方形M的面积

为________；

(2)如图②，分别以直角

三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，

则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；

(用图中字母表示)(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和

4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你

利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．知2－讲(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得

DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角

形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形

的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝

直角三角形的面积．导引：知2－讲(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆

形的面积为S3，三角形的面积为S△，

则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝

×3×4＝6.解：总结知2－讲

与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．1如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分

别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.知2－练知2－练2如图，字母B所代表的正方形的面积是(

)A．12B．13C．144D．194

知2－练3如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面

积分别为3和4，则b的面积为(

)A．3B．4C．5D．71．运用勾股定理时应注意以下几点：(1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理.(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌乱用勾股定理.(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条是斜边