动态系统的描述

第二章动态系统的描述2-1SISO线性连续系统的动态模型时域模型：微分方程权函数和卷积阶跃响应状态方程频域模型：传递函数G(S)频率特性G(jω)连续系统的离散化编辑课件第二章动态系统的描述2-2线性离散系统的动态模型线性差分方程权序列与卷积和状态方程2-3随机动态系统的数学模型随机噪声的数学模型随机型差分方程预报误差模型编辑课件2-1线性连续系统的动态模型时域模型：微分方程线性系统输入u(t)，输出y(t)，u(t)的n阶导数与y(t)的n阶导数分别用u(n)(t)与y(n)(t)表示，用微分方程描述n阶线性定常系统的动态特性：线性连续系统u(t)y(t)(2-1-1)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型时域模型：权函数和卷积系统输入为单位脉冲δ(t)，输出g(t)为脉冲响应：系统在任意输入u(t)作用下，有：(2-1-2)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型时域模型：权函数和卷积考虑到т<0时，u(т)=0，g(т)=0，那么：或者等价的有：称为u(t)与g(t)的卷积，g(t)为权函数〔加权函数〕。g(t)可求出任意u(t)作用下的y(t)(2-1-3)(2-1-3)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型时域模型：阶跃响应函数输入为单位阶跃函数：输出为单位阶跃响应函数：假设令t-т=λ，那么有：(2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型单位阶跃相应函数k(t)与g(t)之间的关系：k(t)可求出任意u(t)作用下的y(t)：编辑课件2-1线性连续系统的动态模型时域模型：状态方程把高阶微分方程改写成一阶微分方程组可以得到状态方程：其中x(t)为k维列向量，A为k×k维矩阵，B为k维列向量，C为k维行向量，d为标量。与(2-1-1)式输入输出关系等价的状态方程(2-1-7)式不是唯一的(2-1-7)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型频域模型：传递函数G(s)由微分方程(2-1-1)式的拉氏变换可以得到：由状态方程(2-1-7)式的拉氏变换可以得到：编辑课件2-1线性连续系统的动态模型频域模型：频率特性G(jω)令G(s)中的s=jω，得到：幅频特性：相频特性：对数幅频特性、对数相频特性：Bode图幅相频率特性：Nyquist图(2-1-12)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型连续系统的离散化：从解微分方程的角度近似认为在一个采样周期中u(t)保持不变；求解x(t)和y(t)而得到离散化后的方程，即经过采样后系统的状态方程：离散化前方程〔k=t0，k+1=t〕：(2-1-26)编辑课件2-1线性连续系统的动态模型连续系统的离散化：从解微分方程的角度因为在一个采样周期T中u(t)将保持不变：编辑课件2-1线性连续系统的动态模型连续系统的离散化：从拉氏变换到Z变换的角度对象G0(s)离散后的Z传递函数G0(z)是：其中零阶保持器的传递函数为：从以上两个角度得到的结果完全等价编辑课件2-2线性离散系统的动态模型SISO系统的线性定常差分方程其中k即kT，aj,bj是常系数，移位算子q-1y(k)=y(k-1)线性离散系统u(k)y(k)(2-2-1)(2-2-2)编辑课件2-2线性离散系统的动态模型与Z传递函数的关系对于SISO系统，可以找出差分方程与Z传递函数之间的关系。零初始条件下对(2-2-1)式进行Z变换：其中z=e-Ts，按Z传递函数定义，有：编辑课件2-2线性离散系统的动态模型MIMO系统的差分方程式(2-2-1)的SISO系统差分方程表达方法可以推广到MIMO系统。设系统具有m个输入和r个输出，可以定义：线性多输入多输出离散系统u1(k)u2(k)um(k)…y1(k)y2(k)yr(k)…编辑课件2-2线性离散系统的动态模型MIMO系统的差分方程系统可以用向量的差分方程来表示方程中Aj，Bj分别是r×r和r×m维常系数矩阵用向后一步平移算子来表示：其中I、A1等为r×r维矩阵，B0、B1等为r×m维矩阵编辑课件2-2线性离散系统的动态模型SISO系统的权序列与卷积和权序列定义：系统对于单位脉冲序列δ(k)的响应SISO系统的权序列为{h(i),i=0,1,2,…}系统的输入输出关系可以表示为离散卷积和:在i<0时，u(i)=0，h(i)=0：编辑课件2-2线性离散系统的动态模型权序列与Z传递函数的关系权序列与差分方程的关系比较等式两边相同幂次z-i的系数，可得：编辑课件2-2线性离散系统的动态模型MIMO系统的权序列考虑m输入r输出的多变量系统，权序列表达式变成权矩阵序列{H(i)}，其中第i个权矩阵为：矩阵中元素hkl(k)表示第l个输入和第k个输出之间的权系数。相应的卷积和为：编辑课件2-2线性离散系统的动态模型SISO系统的状态方程SISO线性定常系统有：其中x(k)为n维列向量，Φ为n×n维矩阵，Г为n维列向量，G为n维行向量，d为标量q-1GΦГdu(k)x(k+1)x(k)y(k)(2-2-12)编辑课件2-2线性离散系统的动态模型SISO系统的状态方程假定系统(2-2-12)完全能控能观，那么：那么该系统的权序列与差分方程是唯一确定的反之，对应某一差分方程或权序列，状态变量选择不同，获得状态方程参数不同但特定的标准型是唯一的。一般形式的状态方程通过等秩变换，可以得到标准型编辑课件2-3随机动态系统的数学模型确定系统：无噪声干扰随机系统：有噪声干扰噪声：随机因素或难以确定描述的因素加性噪声：非加性噪声：混合信号有用信号随机噪声非加性函数编辑课件2-3随机动态系统的数学模型随机噪声过程的数学模型考虑加性噪声、对复杂噪声的抽象的统计描述随机过程x(t)过程的实现固定时刻为随机变量编辑课件2-3随机动态系统的数学模型随机噪声过程的数学模型给定时刻的分布规律不同时刻的相互关系高维分布函数：不同时刻的统计特性编辑课件2-3随机动态系统的数学模型平稳随机过程严平稳随机过程：概率特性不随时间改变宽平稳随机过程：数字特征不随时间改变均值：均方值：方差：协方差：自相关函数：编辑课件2-3随机动态系统的数学模型平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度确定性过程其中x(t)与X(w)为傅立叶变换对平均功率功率谱密度编辑课件2-3随机动态系统的数学模型平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度随机过程自相关函数Rxx(т)与平均功率谱密度Sx(w)是傅立叶变换对平均功率平均功率谱密度编辑课件2-3随机动态系统的数学模型典型的随机过程白噪声过程w(t)或w(k)：理想化的平稳随机过程有色噪声过程：经过线性环节滤波的白噪声均值为零能量均匀彼此无关彼此相关编辑课件2-3随机动态系统的数学模型随机型差分方程确定型差分方程随机型差分方程白噪声有色噪声通常b0=0编辑课件2-3随机动态系统的数学模型随机型差分方程受控自回归滑动平均模型〔CARMA〕受控自回归模型〔CAR〕AutoRegressionControlledMovingAverage编辑课件2-3随机动态系统的数学模型随机型差分方程自回归滑动平均模型〔ARMA〕自回归模型〔AR〕滑动平均模型〔MA〕编辑课件2-3随机动态系统的数学模型预报误差模型〔PEM:PredictiveErrorModel〕描述动态随机模型的