3 firdf窗口法级数文案

DF窗口法（傅里叶级数法设所要求的DF的频率响应是d)DF窗口法（傅里叶级数法设所要求的DF的频率响应是d)，它可能是低通、通、带通和带阻DF，且是频域的周期为2π函数，所它可以扩展成傅氏级数式中是傅立叶系数，也是一个单位取样响应序列由傅立叶级数理论可得1 (ej)ejnh(n)dd1DigitalSignalProcessing,ZhangHd(ej)hd(n)e5.3.1基本原因此，所要求的DF系统函数便可求得显然5.3.1基本原因此，所要求的DF系统函数便可求得显然是非因果的，且的持续时间+∞，物理上不可实现但我们可以采用逼的方法首先把先截短为有限项然后把截短后的右移，使之变成因果性的序列2DigitalSignalProcessing,ZhangjHd Hd(z)hd(n)z即（1）截为2M+1项，hd(即（1）截为2M+1项，hd(n)z（2）为了H（z）具的形式，令H(z)z得于H(z)乘13DigitalSignalProcessing,Zhang H(z)zMH(z)h(n)z(nM)h(nM)z n MH(z) h(n)z n（3）令h(n)hd(n-Mn=0122M，频率响（3）令h(n)hd(n-Mn=0122M，频率响显然是物理可实现的其冲激响应 的持续时间也是有限的(N- 4DigitalSignalProcessing,ZhangH(ej)h(n)eH(z)h(n)z窗口法：性能分|H(ejω)||H(ejω)|的逼dωω近。|H窗口法：性能分|H(ejω)||H(ejω)|的逼dωω近。|Hh(n)截短必然产生误差，即dd定义逼近误差为均方误差ω)可以展开为Hd式中DigitalSignalProcessing,5Zhanga02hd anhd(n)hdbnj[hd(n)hd H(ej)h(n)ejn0acos(n)b 2 |H(ej)H(ej)|22 ω因为)|h(n短而产生的，假定d|n|>MAnω因为)|h(n短而产生的，假定d|n|>MAnBn=0所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得由于上式中每一项都是正的，所以，只有A0a0AnanBnbnn12M最小6DigitalSignalProcessing,ZhangaA 2 a A2b B2 a b nMH(ej)0Acos(n) B 说明ωωωjj时，要j=min，的截短后的单位取样响说明ωωωjj时，要j=min，的截短后的单位取样响的系数必须等于所要求的幅频响ω|H)|展成傅里叶级数的系h(n)dd②有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼h2其逼近误差为dn|M截短的长M大，逼近误差ε2愈小（因h(n愈小）dDigitalSignalProcessing,7Zhang吉伯斯（Gibbs）现将hd(n截相当吉伯斯（Gibbs）现将hd(n截相当于将hd(n)与一窗函数wR(n)相乘，其8DigitalSignalProcessing,Zhang1(n)hd(n)wRw(n) |n| h(n)hd |n| 根据时域相乘映射为频域卷积，得其中根据时域相乘映射为频域卷积，得其中其中N9DigitalSignalProcessing,Zhang sin(2M sinw(ej)w(n)ejn 2 sin sin H(ej)1H(ej)w(ej 1 H(ej)w[ej()]d(7.33)2 j)|是理想低通滤则上式变为12j(j)|是理想低通滤则上式变为12j(H(ej)jH)w1dR1[ej()cwRDigitalSignalProcessing,Zhang|Hd )- - 0 [ej()w式中积分等于θ的面[ej()w式中积分等于θ的面积–ωcωc区间内Rw]-0θ|H1(ej)|的大小产生波动DigitalSignalProcessing,Zhangw]0时-0θωωcw]-0θDigitalSw]0时-0θωωcw]-0θDigitalSignalProcessing,ZhangH121 j(0w H1j(-0θω=ωc-2π/N时：—正肩j(-0θω=ωc-2π/N时：—正肩w[ej()ωc-2/N-0θDigitalSignalProcessing,Zhang-0θωcω=ωc+2π/N时：—负-0θωcω=ωc+2π/N时：—负肩w[ej()-0θDigitalSignalProcessing,ZhangH11H12w0πw-0.0895H1cNDigitalSignalPH11H12w0πw-0.0895H1cNDigitalSignalProcessing,Zhangw 可见可见口频谱的主瓣宽度。对于矩形窗wR(ej)此宽肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的旁瓣越多，波动越快。相对值越大，波动越害，肩峰越强。肩峰与波动与所选窗函数有关DigitalSignalProcessing,Zhang吉伯斯（Gibbs）现对截短的结果，并吉伯斯（Gibbs）现对截短的结果，并且矩形窗函数的频谱有较大的旁瓣，正是这些旁瓣在与Hd(e卷积时产长度N的改变只能改w坐标的比例及窗函的绝对大小，但不能改变肩峰和波动的相对大（因为不能改变窗函数主瓣和旁瓣的相对比例，而波动是由旁瓣引起的），即增加，只能使通、阻DigitalSignalProcessing,ZhangN=1100-01-01frequencyinpiunitsfrequencyinpiunitsN=N=1100-01-0frequencyinpiunits1N=1100-01-01frequencyinpiunitsfrequencyinpiunitsN=N=1100-01-0frequencyinpiunits1frequencyinpiunitsDigitalSignalProcessing,ZhangAmplitudesponsntgrtAmplitudeAmplitudesponsntgrtAmplitude思考为了减小吉伯斯思考为了减小吉伯斯现象，我们应该采取么样的窗函数标准是什么DigitalSignalProcessing,Zhang常用窗函设计DF时，窗函数不常用窗函设计DF时，窗函数不仅可以影响渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小此，选择窗函数应使其频谱①主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡②旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩波动减小，即能量尽可能集中于主瓣DigitalSignalProcessing,Zhang指标3dB带宽B，单位最大旁瓣峰值阻带的最小衰减DigitalSignalProcessing,ZhangN1、矩形1、矩形它的频率响应函数为sinNjN2W()2Zhang2DigitalSignalProcessing,w(n) 0nN 以及它的振幅响应以及它的振幅响应如下矩形窗函示DigitalSignalProcessing,ZhangRectangularWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi1RectangularWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi11frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang最大旁瓣峰值为-13dB阻带的最小衰减21dB，这的阻最大旁瓣峰值为-13dB阻带的最小衰减21dB，这的阻带衰与窗长N无关根据最小阻带衰减，可以精确地计算出过渡带宽wspN它大约是主瓣带宽的一半。近似过渡带宽4π/NDigitalSignalProcessing,Zhang2、升余弦汉宁窗、汉明窗、布莱克曼2、升余弦汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗都是升余弦窗的特例，和列的组合4π/(N-1)的余弦其为常数。升余弦窗的频率特性比矩A、B、形窗有很大改DigitalSignalProcessing,Zhang2n 4nw(n)AB )C N N2、升余弦为常2、升余弦为常中，w=hanning(n)(hanning)窗。A=当时，为汉明（hamming)窗Matlab中，wA0.42，B=0.5，C=0.08时，为布莱克曼(blackman)窗。Matlab中，w=blackman(n)DigitalSignalProcessing,Zhang2n 4nw(n)AB )C N N（1）汉宁（Hanning）窗—升余弦w(n)sin2（1）汉宁（Hanning）窗—升余弦w(n)sin2n0.50.5cosn0,1,2,...,NN1N1=6.2π/N，近似过渡带精确过渡带A=-最小阻带衰44dBDigitalSignalProcessing,ZhangW()0.5u()0.25 u2 N1 N1 HanningWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAccumulatedAmplitudeResponseAmplitude000frequencyinHanningWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAccumulatedAmplitudeResponseAmplitude000frequencyinpi11frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang(2).汉明（Hamming）窗—改进的升余弦(2).汉明（Hamming）窗—改进的升余弦N1=6.6π/N，近似过渡带精确过渡带A=-最小阻带衰53dBDigitalSignalProcessing,ZhangW()0.54u()0.23u 0.23u2 N1 N1HammingWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi1frequencyHammingWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi1frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang(3).布莱克曼（Blackman）窗—二阶升余弦(3).布莱克曼（Blackman）窗—二阶升余弦n0,1,2,...,NN1N=11π/N，近似过渡带精确过渡带A=-最小阻带衰74dBDigitalSignalProcessing,ZhangW()0.42u()0.25 u2 N N 0.04u4u4N N BlackmanWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAmplitudeAccumulatedAmplitudeResponse000frequencyBlackmanWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAmplitudeAccumulatedAmplitudeResponse000frequencyinpi1frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang升余弦窗总结比较以升余弦窗总结比较以上窗函数，可以看到，矩形窗函汉宁Hanning窗的主瓣稍宽，但有着较的旁瓣和较大的衰减速度，因而被认为DigitalSignalProcessing,Zhang窗小矩形窗:精确过渡带宽1.8π/N近似过渡带宽4π/N，窗小矩形窗:精确过渡带宽1.8π/N近似过渡带宽4π/N，A=-13dB,最小阻带衰减21dB。Hanning:精确过渡带宽近似过渡带宽，A=-最小阻带衰44dBHamming:精确过渡带宽近似过渡带宽，A=-最小阻带衰53dBBlackman:精确过渡带宽11π/N近似过渡带宽12π/NA=-最小阻带衰减74dBDigitalSignalProcessing,Zhang窗口法：设计步性能要求Hd(e窗口法：设计步性能要求Hd(e(1Hd(ej)展成傅立叶级数，得到(2把自然截短到所需的长度冲激响应，这时窗函数以n=M对称（当然窗函数也可直接加在hd(n)上，这时窗函数以原点为对称利用h(n)，既可用硬件构成滤波器的系统函数（z），也可直接用计算机软件实现滤。DigitalSignalProcessing,Zhang例5.1一个理想低通数字滤波器的频率响应如图所示，为|例5.1一个理想低通数字滤波器的频率响应如图所示，为|Hd)|周期的偶对称-π-0ωcωDigitalSignalProcessing,ZhangH(ej)1, wc解1)由于Hd(ej)是一个偶对称解1)由于Hd(ej)是一个偶对称的实周期函数，式中DigitalSignalProcessing,Zhangh(n) (ejw)ejnd c1ejn 2 2 ejnwc ejnwcsinnwc Hd(ej)hd(n)ehd(n)移位，得：(4)然后乘以窗函wR(n)，得到最后h(n)对于wc=0.25π，由上式得DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)h(nM)sin[(nM)0.25 (nMh(n)h(nM)sin(nMd(nM当N=11时，M=5，求h(0)=当N=11时，M=5，求h(0)=h(10)=-0.045，h(1)=h(9)=0，h(2)==0.075，h(3)=h(7)=h(4h(60.2251，h(50.25当时，乘以汉明窗n0,1,2,...,NDigitalSignalProcessing,Zhangw(n)0.54 2ncosN1 00---50505100-0505DigitalSignalProcessing,Zhang00---50505100-0505DigitalSignalProcessing,Zhango当N增加时，通频带接o当N增加时，通频带接近于0.25pi,阻带内波纹减小,但在通矩形矩形N增着N的继续增加，这些波纹并不能消o使用汉明窗后，通带内的振荡基本消DigitalSignalProcessing,Zhang窗口法小结（1）对于能用解析式表窗口法小结（1）对于能用解析式表达，容易实现的滤波器Hd(ej)，付氏级数是设计FIRDF较为方便的一个方法，但如果hd(n不（2）用付氏级数法设计DF，一个重要问题是决定所用窗口及截短的长度NDigitalSignalProcessing,Zhangh(n) 1 H(ej)ejn 2 1）窗口的选择1）窗口的选择原则b,DigitalSignalProcessing,Zhang2）窗口长度N的选择原则2）窗口长度N的选择原则 过渡带这DigitalSignalProcessing,Zhang相应的窗函数过渡带Nceil 小结（3）截止频率wc不小结（3）截止频率wc不再标志某个增益点，而是对应于0.5增益点。（4）截止频率wc的确定：对于非理想滤波器，其截止频率wc不采用通带边缘频率wp或阻带DigitalSignalProcessing,Zhang 过渡带宽度wwswp wp 所要求的通带增设计中所用的截止频所所要求的通带增设计中所用的截止频所要求的阻带边缘频频过渡带宽DigitalSignalProcessing,Zhang例根据下列指标设计低通滤通带边缘频率阻带边缘例根据下列指标设计低通滤通带边缘频率阻带边缘频阻带衰40dB,取样频fs=10kHz解：过渡3kHz2kHz1kHz，转换为21ffff 截止频率 c2DigitalSignalProcessing,Zhangf 数字截止频率cfssin脉冲响应h(n)f 数字截止频率cfssin脉冲响应h(n)c140dB，可以选窗函数：因为阻带衰Hanning窗，并且窗口长度为Nceil6.21DigitalSignalProcessing,w(n)0.50.5cos2n n0,1,2,,NN N=33一般长度选择为奇数，因此，选则此滤波器的脉冲响应为计N=33一般长度选择为奇数，因此，选则此滤波器的脉冲响应为计算得h(n)1--------------- -DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)h(n)w(n)sin[(n16)0.5] (nw(n)0.50.5cos2n32 w(n)00w(n)00h(n)0---------0-----DigitalSignalProcessing,Zhang可以得H(z)、可以得H(z)、和差分方程中差分方程为y(n)=-0.0002x(n-1)+0.0021x(n-3)-0.0064x(n-+0.0142x(n-7)-0.0272x(n-9)+0.0495x(n-11)0.0972x(n-13)+0.3153x(n-15)+0.5x(n-16)0.3153x(n-17)-0.0972x(n-19)+0.0495x(n-21)0.0272x(n-23)+0.0142x(n-25)-0.0064x(n-27)DigitalSignalProcessing,Zhang005Magnituh(n)de0012345DigitalSignalProcessing,Zhang005Magnituh(n)de0012345DigitalSignalProcessing,ZhangPole-210------0Real12DigitalSignalProcessing,ZhangImaginaryPole-210------0Real12DigitalSignalProcessing,ZhangImaginary设计高通、带通等类型的设计高通、带通等类型的FIR滤波解决方法：在[-频带围内看，直接应用窗函数法，只是积区间发生了变化DigitalSignalProcessing,Zhang数字高通滤波|H )dc30令其数字高通滤波|H )dc30令其时域右M位后的幅频特性为e-jMω，表示时域右（频域MDigitalSignalProcessing,Zhangej H(ej) 0||c则求DigitalSignalProcessing,Zhang则求DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)sin[(nM)]sin[(nM)c (nMsin[(nM)]sin[(nM)c]h(n)h(n)(nM) (nM) h(n) cej(nM)d ej(nM) 2 2 ej(nM)cej(nM)ej(nM)ej(nM)cj2(nM [cos(nM)jsin(nM)cos(nMj2(nM jsin(nM)cos(nM)jsin(nM)cos(nMjsin(nM)c从这个结果可以看出：一个高通滤波器相当于用从这个结果可以看出：一个高通滤波器相当于用一个通滤波器（即ωc=π）减去一个低通滤波器Hhp(z)Hap(z)Hlp(z)传输函数脉冲响应DigitalSignalProcessing,Zhang数字带通滤波j|Hd )0令其幅数字带通滤波j|Hd )0令其幅频特性为（频域为e-jMω，表示时域右M则DigitalSignalProcessing,Zhangh(n) lej(nM)d 2 2ej ||H(ej) 求从这个结果可以看出：一个带通滤波器相当于两个低通求从这个结果可以看出：一个带通滤波器相当于两个低通滤波器减，其中一个截止频率为ωh，另一个为ωlHbp(z)Hlph(z)Hlplhbp(n)hlph(n)hlpl传输函数脉冲函数DigitalSignalProcessing,Zhanghd(n)sin[(nM)h]sin[(nM)l(nM或者一个带通滤波器相当于一个低通滤波器和一个高通滤波器相乘，即先经过一个LPDF，再经过一个HPDF。Hbp(z或者一个带通滤波器相当于一个低通滤波器和一个高通滤波器相乘，即先经过一个LPDF，再经过一个HPDF。Hbp(z)Hlp(z)Hhphbp(n)hlp(n)hhp传输函数脉冲函数（频域相乘，时域卷积DigitalSignalProcessing,ZhangHlp数字带阻滤波|Hd)0令其幅数字带阻滤波|Hd)0令其幅频特性为e-jMω，表示时域右（频域M则DigitalSignalProcessing,Zhangh(n) hej(nM)d ej(nM)d ej(nM) 2 2 2ej || || ||H(ej) 求从这个结果可以看出：一个带阻滤波器相当于一个低通滤波求从这个结果可以看出：一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上个高通滤波器，低通滤波器的截止频率ωl，高通ωhHbp(z)Hlp(z)Hhphbp(n)hlp(n)hhp传输函数脉冲函数+DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)sin[(nM)l]sin[(nM)]sin[(nM)h (nM例为取样频率为的系统设计一个带通滤例为取样频率为的系统设计一个带通滤波器，中心频率为通带边缘在3.5kHz和4.5kHz，过渡带宽50dB500Hz，阻带解:过渡带宽：500Hz，转换为数字频截止频率ff fh0.5/23.50.250.5/24.50.25DigitalSignalProcessing,Zhang2f 0.5f 数字截止频脉冲响应50dB，可以选窗函数：因为数字截止频脉冲响应50dB，可以选窗函数：因为阻带衰即窗DigitalSignalProcessing,Zhangw(n)0.540.46cos2n n0,1,2,,NN h(n)sin[(nM)wh]sin[(nM)wl (nM wl2 l0.3045wh2h 并且窗口长度为Nceil并且窗口长度为Nceil 1，则此滤波器的脉冲响应为h(n)sin[(n73)0.4318]sin[(n73)0.3045](nDigitalSignalProcessing,Zhang计算得---------h(n)- -0.00030.0008-0.0001计算得---------h(n)- -0.00030.0008-0.0001 ----0.0011- ……….0.00580.01780.00030.00830.0005-0.0023-0.00080.0003- -------------- ------- DigitalSignalProcessing,Zhang00Magnitude0023.5468DigitalSignalProcessing,Zhang00Magnitude0023.5468DigitalSignalProcessing,Zhang1 0-----10-1-1DigitalSignalProcessing,ZhangImaginary1 0-----10-1-1DigitalSignalProcessing,ZhangImaginary窗口法设计函实FIRb=fir1(n,wn,options)，单FIRbfir2(n,f,m,options)，多FIR滤波两者可窗口法设计函实FIRb=fir1(n,wn,options)，单FIRbfir2(n,f,m,options)，多FIR滤波两者可设计低通、高通、带通、带阻和通用多滤波具有以下多种形式bb=====参bnFIR波器的系1对应着奈氏频率截止频wn0对于高通滤波器high’；带阻滤波器DigitalSignalProcessing,Zhang对于带通或带阻滤波器，wn包含通频带边带频对于带通或带阻滤波器，wn包含通频带边带频率的一个二元素向量[wn1,wn2]。window’表示所采用的窗函数类型。window的长度必须n+1（n为滤波器的阶数），若window却省，则使用汉明窗注意因为奇数阶的II型滤波器（h(n)为偶对称，长度N为偶数在高频段的频率响应为零，所fir1函数在高通和带阻情况不设计型滤波器，因此，如n为奇数时，fir11I波器=也可设计加窗FIR滤波器，但它针对任意形状的分段（piece-f01频率点组成，其1示奈氏频率，第一个点必须0，最后一个点必须1，频率点必须是递增的。m对应于