人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数（B卷·能力提升练）（解析版）

班级姓名学号分数第二十二章二次函数（B卷·能力提升练）（时间：60分钟，满分：100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022•荆门）抛物线，，为常数）的对称轴为，过点和点，，且．有下列结论：①；②对任意实数都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据抛物线，，为常数）的对称轴为，过点且，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【解答】解：抛物线，，为常数）的对称轴为，过点，且，抛物线开口向下，则，故①正确；抛物线开口向下，对称轴为，函数的最大值为，对任意实数都有：，即，故②错误；对称轴为，．当时的函数值大于0，即，，故③正确；对称轴为，点的对称点为，抛物线开口向下，若，则，故④错误；故选：．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．2．（3分）（2022•兰州）已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是A． B． C． D．【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．【解答】解：，抛物线开口向上，对称轴为直线，时，随增大而增大，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3．（3分）（2022•广州）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【分析】根据图象得出，的符号即可判断、，利用二次函数的性质即可判断、．【解答】解：图象开口向上，，故不正确；图象与轴交于负半轴，，故不正确；抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故正确，不正确；故选：．【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．4．（3分）（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为A． B． C． D．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即．故选：．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．5．（3分）（2022•郴州）关于二次函数，下列说法正确的是A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是5 D．当时，随的增大而增大【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：中，的系数为1，，函数图象开口向上，错误；函数图象的顶点坐标是，错误；函数图象开口向上，有最小值为5，错误；函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，正确．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．6．（3分）（2022•潍坊）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为A． B． C． D．4【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，方程有两个相等的实数根，△，．故选：．【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．7．（3分）（2022•铜仁市）如图，若抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若．则的值为A． B． C． D．【分析】设，，，，，由可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而求解．【解答】解：设，，，，，二次函数的图象过点，，，，，，，即，令，根据根与系数的关系知，，故，故选：．【点评】本题考查了二次函数与关于的方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．8．（3分）（2022•哈尔滨）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：，抛物线顶点坐标为，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．9．（3分）（2022•包头）已知实数，满足，则代数式的最小值等于A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5．【解答】解：，，，代数式的最小值等于5，故选：．【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．10．（3分）（2022•荆门）抛物线上有两点，，，，若，则下列结论正确的是A． B． C．或 D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：抛物线上有两点，，，，且，，或或或，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）11．（3分）（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是10．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，的长就是抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令求出相应的的值，即可得到的长．【解答】解：，当时，，解得，，，故答案为：10．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确的长就是抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的值．12．（3分）（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间的函数关系是，当飞行时间为2时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：，，当时，有最大值，最大值为20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．（3分）（2022•盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是．【分析】由题意可知，根据的范围即可确定的范围．【解答】解：，二次函数的图象开口象上，顶点为，对称轴是直线，到轴的距离小于2，，而，当，，当时，，的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．14．（3分）（2022•长春）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为．【分析】函数配方后得，当时，，可得，因为，所以时，函数值的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解：，图象开口向下，顶点坐标为，根据题意，当时，函数值的最小值为1，当时，，，，时，函数值的最小值为1，．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．15．（3分）（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量（个与销售价格（元个）的关系如图所示，当时，其图象是线段，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润总销售额总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润单价商品利润销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当时，设，把，代入可得：，解得，每天的销售量（个与销售价格（元个）的函数解析式为，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为元，，，当时，有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润单价商品利润销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．16．（3分）（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把代入抛物线解析式得出，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，为原点，由题意可得：米，坐标为，通过以上条件可设顶点式，把点坐标代入抛物线解析式得，，解得：，所以抛物线解析式为，当时，，水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．17．（3分）（2022•福建）已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．若，则的值为8．【分析】先判断出了抛物线与轴的两交点坐标，进而求出，，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线，令，则，，针对于抛物线，令，则，，抛物线，抛物线的顶点坐标为，抛物线，抛物线的顶点坐标为，抛物线与抛物线的开口大小一样，与轴相交于同一点，顶点到轴的距离相等，，，抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，，，，，，，，，，，，，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与轴交点的求法，表示出点，，，的坐标是解本题的关键．18．（3分）（2022•凉山州）已知实数、满足，则代数式的最小值是6．【分析】根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：，，原式，，又，，，当时，原式的值随着的增大而增大，当时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．19．（3分）（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是4．【分析】根据所建坐标系，水平距离就是时离他最远的距离．【解答】解：当时，，，，解得：，，故他距篮筐中心的水平距离是．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．三．解答题（共6小题，满分43分）20．（6分）（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价（元件）354045每天销售数量（件908070（1）直接写出与的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设每天的销售数量（件与销售单价（元件）之间的关系式为，用待定系数法可得；（2）根据题意得，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利元，，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【解答】解：（1）设每天的销售数量（件与销售单价（元件）之间的关系式为，把，代入得：，解得，；（2）根据题意得：，解得，，规定销售单价不低于成本且不高于54元，，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利元，，，对称轴是直线，而，时，取最大值，最大值是（元，答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【点评】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．21．（6分）（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，求解即可；（2）设每个售价定为元，每周所获利润为元，则可列出关于的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意可得，，解得．经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，．第二批每个挂件的进价为40元．（2）设每个售价定为元，每周所获利润为元，根据题意可知，，，当时，随的增大而减小，，，当时，取最大，此时．当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．22．（7分）（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量（个与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．【解答】解：（1）设一次函数的关系式为，由题图可知，函数图象过点和点．把这两点的坐标代入一次函数，得，解得，一次函数的关系式为；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，由题意得，，解得：，，当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则，整理得：；，当时，有最大值，最大值为800；当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．23．（7分）（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：，（2）设李大爷每天所获利润是元，由总利润每千克利润销量得，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．【解答】解：（1）根据题意得：，答：这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式为；（2）设李大爷每天所获利润是元，由题意得：，，为正整数，且，时，取最大值，最大值为（元，答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．24．（7分）（2022•贵港）如图，已知抛物线经过和，两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．（1）求该抛物线的表达式；（2）若轴交于点，求的最大值；（3）若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点，点的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点的坐标，然后证明，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时