数字电路第4章逻辑函数及化简

第四章逻辑函数及化简2.6逻辑代数的公式及运算规则P35Y=F(A,B,C,D,…..)变量（逻辑变量）原变量A反变量逻辑函数逻辑表达式Y=A•B=AB

一.逻辑代数中的基本公式P35A+B=B+A

AB=BA交换律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)ABC=(AB)C=A(BC)结合律:分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)与普通代数相似的定律分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)求证:分配律第2条逻辑代数及运算规则证明:ABCBC

A+BC

A+BA+C(A+B)(A+C)000001010011001011011100010001000111111111110010111100001111110，1律:互补律:有关变量和常量关系的定律重叠律:;否定律:（还原律）;反演律:(靡根定理);逻辑代数的特殊规律摩根定理A•B=A+B

A+B=A•B用真值表证明ABA•BA+B

111000011011

1110证明:7ABA+BA•B

100000011011

1000逻辑代数八个基本定律B：互补A：公因子A是AB的因子返回二、逻辑代数的常用公式A的反函数是因子与互补变量A相与的B、C是第三项添加项常用公式需记忆在任何一个逻辑等式（如F＝W）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。3.运算规则（1）代入规则返回利用代入规则可以扩大公式的应用范围。（2）反演规则运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或），必要时可加或减扩号。对任何一个逻辑表达式Y作反演变换，可得Y的反函数Y。这个规则叫做反演规则。

反演变换：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原变量→反变量反变量→原变量对任何一个逻辑表达式Y作对偶变换，可Y的对偶式Yˊ。（3）对偶规则运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。对偶变换：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。互为对偶式对偶定理：若等式Y=W成立，则等式Yˊ=Wˊ也成立。

4.1逻辑函数及表示方法1、真值表ABCY000001010011100101110111

00010111真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格ABCY000001010011100101110111

00010111例：举重比赛A、B、C三个裁判，判杠铃完全举起为成功，按一下按扭，只有当二个或二个以上裁判判明成功才表明成功，表决电路灯亮。设认为杠铃举起为“1”，不举起为“0”，表决电路灯亮为“1”，不灯亮为“0”。真值表AY一输入变量，二种组合

ABY001011101110二输入变量，四种组合ABCY00000010010001101000101111011111三输入变量，八种组合1001真值表（四输入变量）ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四输入变量，16种组合逻辑函数的表示方法2、逻辑表达式逻辑表达式是用来表达描述输入、输出关系3、逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ

&

≥1

&

A

B

B

C

ＡＢＢＣＹ4、波形图

波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣＹ0100011110

ABC1115.卡诺图

4.3逻辑函数公式化简法一、逻辑函数化间的意义用最少门和输入端来实现函数的功能二、化简标准经济、可靠、品种单一三、化简的方法1、代数法化简利用公式、定律、对逻辑函数化简2、卡诺图化简P811、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。四.逻辑函数的代数化简运用分配律运用分配律运用摩根定律2、吸收法运用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。３、配项法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。４、去消法利用公式:ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将多余项ＢＣ消掉。例1=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB=(A+A)B+ABC=B+BAC=B+AC利用A+AB=A+B利用C+C=1将化简为最简与或式。例2将Y化简为最简与或式。

Y=AB+(A+B)CD解：Y=AB+(A+B)CD=AB+(A+B)CD=AB+ABCD=AB+CD;利用摩根定理;将AB当成一个变量,利用公式A+AB=A+B；A=A4.4逻辑函数卡诺图化简一、最小项和卡诺图（1)定义：是一个与项（乘积项），它包含全部变量，并以原变量或反变量必须出现一次，而且仅出现一次。例：不是最小项P83(2).n个变量的函数最多有2n个最小例：Y＝f(A,B,C)为三变量，最多有23＝8项

(3).最小项的编号

把最小项中的原变量取1，反变量取0，所得的二进制的数值为最小项的编号。使最小项为1的变量取值ABCm0m1m2m3m4m5m6m701234567

0000

01010011100101110111编号对应的十进制数最小项三变量逻辑函数的最小项（4）最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。即∑mi=1（i=0～2n-1）

ABCABC②任意两个不同的最小项乘积必为0,即mi·mj=0(i≠j)。

逻辑函数的表示方法（5）最小项表达式

例将Y=AB+BC展开成最小项表达式。解：或：

将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图。(2).卡诺图的构成AB00011011

m0

m1

m2

m3AABBABAB1010

m0

m1

m2

m3

miABABABAB1010

0

1

2

3二变量K图ABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7000111100001

11

1001

2

34

5

6

7

12

13

14

15

8

9

10

11ABCDABC0100011110

0

1

2

3

456

7三变量K图四变量K图几何相邻：几何上邻接的小方格所代表的最小项只有一个变量是互为反变量3变量的卡诺图有23个小方块；相邻相邻相邻相邻不相邻几何相邻”：上下相邻，左右相邻，对角线上不相邻。四变量卡诺图（1）从真值表画卡诺图例：

已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。逻辑函数Y的真值表1.

用卡诺图表示逻辑函数ABCY00000011010101101001101011001111二、卡诺图化简卡诺图利用摩根定律－－去掉非分配律－－去掉括号互补律－－补上所缺变量（2）从最小项表达式画卡诺图用卡诺图表示逻辑函数将逻辑函数最小项表达式中每一项填入卡诺图为1，其余为0。卡诺图是一张真值表，规定：以行为变量的高位以列作为变量的低位YABC01000111100132457610000111卡诺图的性质:（1）任何两个（2i个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。BD

ＢＤBDＢＤBD

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0001111000011110ABCD

（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。B

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0001111000011110ABCDD

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0001111000011110ABCDB相邻最小项的数目必须为2n个才能合并为一项，并消去n个变量。包含的最小项数目越多，消去变量越多。

2.利用卡诺图化简卡诺图化简原则：（2)每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（1)卡诺圈尽可能圈大，先圈大的，后圈小的，（3)圈的个数尽量少。(6)将每一个圈对应的与项进行逻辑加，即得到与或表达式。(4)卡诺图中所有取值为“1”的方格均要被圈过，即不能漏下取值为“1”的最小项。(5)保证每个圈中至少有一个“为1的格是新的”只被圈过一次，否则该圈是多余的。

圈的面积尽可能大

不合适合适

圈的个数尽可能少

不合适

每个圈至少应包含一个新的最小项

错圈中没有新的【例1】用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C)=∑(1,2,3,6,7)的最简与或表达式。

ABC000111100101324576解:1.画出函数F的三变量卡诺图。2.把函数F表达中出现的最小项，在卡诺图对应小方格中填上1，其余方格填0(常不填)。3.合并最小项。圈卡诺圈

1

1

1

1

1ABC000111100101324576F(A,B,C)=∑(1,2,3,6,7)4.写与或表达式F(A,B,C)=∑(1,2,3,6,7)=AC+BACB【例2】用卡诺图化简函数解:根据最小项的编号规则,可知F=m3+m9+m11+m13。得卡诺图。

0001111000011110ABCD01324576891110121315141111F=(A,B,C,D)=(0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13，14,15)1101111111101011ACDBDF=A+CD+BD+BDBD0001111000011110CDAB0123456712131489111015例3【例4】用卡诺图化简函数

0001111000011110ABCD111111

ABC010001111000001111BCAB不管C只要AB例5：用卡诺图化简逻辑代数解:例6：用卡诺图化简逻辑代数

ABC0100011110111111【例7】用卡诺图化简函数

解:

从表达式中可知,F为四变量的逻辑函数，但有三项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量先补上。因为

0001111000011110ABCD01324576891110121315141111111

0001111000011110ABCD1111111化简得:ABC0100011110

11111

1

1

111

1

1

1

1

1

1

1000111100001

11

10ABCD例9:例8:Y=A10111110101101100001111000011110ABCDDACBC

=D+AC+BC例10:两点说明：①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。

1

1

1

1

1

1

1

1

0001111000011110ABCD

1

1

1

1

1

1

1

1

0001111000011110ABCD不是最简最简②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。

1

0001111000011110ABCD11111

1

0001111000011110ABCD11111函数可以随意取值（可为0，也可为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项，也叫做随意项或无关项。1、约束项的含义例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说明×

11110

0111×

11101

0110×

11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×

10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD2.6.4具有约束条件的逻辑函数的化简不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说明×

11110

0111×

11101

0110×

11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×

10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现

说明×

11110

0111×

11101

0110×

11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×

10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD

A，B，C，D取值为1010～1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于约束项。用符号“φ”、“×”或“d”表示。约束项之和构成的逻辑表达式叫做约束条件或随意条件，用一个值恒为0的条件等式表示。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现

说明×

11110

0111×

11101

0110×

11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×

10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD

0001111000011110ABCD01324576891