微分方程模型1

2024/1/12微分方程模型DifferentialEquationmodel主讲人

窦霁虹2024/1/12微分方程模型：联系某些变量及其变化率或导数的关系式。西北大学数学系求解微分方程有三种方法：

1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系。2024/1/12建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程

利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的关系，来建立微分方程模型。（2）微元分析法

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。西北大学数学系2024/1/12（3）模拟近似法

在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。西北大学数学系2024/1/12人口增长问题-----精确解人口模型的应用-------参数估计生物种群模型-----定性分析2024/1/12人口增长问题2024/1/12游泳馆的人们报考美院的学生教室里的学生股市的股民2024/1/12

问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。

人口在不断的增长，其增长有无规律可循？

目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。建模准备

资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。2024/1/12180010人口（亿）

年193020196030197440198750199960200893来源：新华社2003年2月28日目前（2010年）全世界人口总数为68亿6720502024/1/12我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日口（亿）

年193020196030197440198750199960200893672050200813.28预计2020年中国人口总数将达到14.5亿。2024/1/12三建立模型1简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）一年后，人数增加到k年后，人口数为若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2024/1/122Malthus模型马尔萨斯(Malthus1766--1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的

人口指数增长模型。基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设净相对增长率为，时刻人口总数为。经时间后人口总数为2024/1/12Malthus模型求解2024/1/12otNN0分析数据表明，在1700—1961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。按模型计算，取问题：利用此模型能预测未来吗？2024/1/121）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus模型计算，到2692年人口总数将增至地表面积为平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1平方英尺（约为9.3平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。2024/1/12

如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus模型中的人口相对增长率为常数的假设。2024/1/123Logistic模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。r表示人口的自然增长率。令Nm为人口的最大容纳量，那么2024/1/12即阻滞因子Logisitic模型最早提出此模型的是丹麦生物数学家在1836年Pierre–FrancoisVerhulst(1804~1849)求解2024/1/12oNtNoN0NmNm/2tm人口增长最快点2024/1/12结论：在人口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。---Logisitic模型调整，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型

2024/1/12Malthus模型和Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模型2024/1/124宋健的人口模型把研究的社会人口当作一个整体，一个系统考虑。所有表征和影响人口的变化因素都是在整个社会人口的平均意义下确定的。把时间的流逝，婴儿的出生，人口的死亡，居民的迁移看成是人口状态变化的全部因素。基本假设2024/1/12t时刻该地区的人口总数变量和函数的定义人的最高寿命t时刻该地区一切年龄小于r的人口数t时刻年龄为

r

的人口数人口函数人口年龄密度分布函数2024/1/12变量和函数的定义t时刻年龄在r1

与r2之间的的人口数人口平均死亡率t时刻年龄为

r人的平均死亡率t时刻年龄在

[r,r+dr]内单位时间死亡的人数2024/1/12模型的建立t时刻年龄在的人数为过了时间后死亡的人数为另一部分活着的人年龄变为显然有2024/1/12模型的建立人口密度函数所满足的一阶拟线性偏微分方程t时刻年龄为r的人死亡的人数2024/1/12模型的求解人口密度函数所满足的一阶拟线性偏微分方程定解条件初始条件边界条件婴儿的出生率当只与r有关时解得2024/1/12的移入数表示年龄在中的人在时间人口的平均寿命问题进一步考虑移民问题t时刻移入系统年龄为

r

的人数寿命的期望值定义为平均寿命2024/1/12平均寿命用来表示年龄死亡人数01年龄死亡人数23……………年龄死亡人数的比例01年龄死亡人数的比例23……………假设在

t时刻出生了s

个婴儿，计算t时刻的人口寿命2024/1/12人口总数平均年龄人口指标平均寿命2024/1/12老龄化指数平均年龄越大老龄化指数越大；平均年龄相同的两个地区，平均寿命大的，表示健康水平高，预示着一个人能工作的时间在一生中占的比例大，于是老龄化指数就较小。依赖性指数为性别比例分别为男性和女性有劳动能力的年龄区间2024/1/12人口模型的推广应用放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题，种群问题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）思考请你预测中国15亿、16亿人口日。2024/1/12人口模型的应用2024/1/12

下面是美国近两个世纪的人口统计数据，试建立数学模型，预测2010年美国的人口数。年179018001810182018301840185018601870人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.6年18801890190019101920193019401950人口50.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7年19601970198019902000人口179.3204.0226.5251.4281.4

人口预测问题2024/1/12一建模分析目标：寻找人口数量随时间变化的规律。人口的变化规律有其内在的规律，如Malthus模型Logistic模型题中给的数据有什么作用呢？2024/1/12Malthus模型二建立模型其中N(t)表示

t时刻人口数。要进行预测确定参数N0,r,t02024/1/12参数估计零时刻的人数为N0以下用1790年至1900年的数据来估计参数的值。利用最小二乘法进行线性拟合2024/1/121）用1790年至1900年的数据拟合，利用MATLAB软件计算可得2）用全部数据（1790年至2000年）拟合，计算可得得到两个模型2024/1/12模型分析年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4计算人口N14.25.57.29.512.516.521.728.6计算人口N26.07.49.111.113.616.620.324.9年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7计算人口N137.649.565.185.6计算人口N230.537.345.755.968.483.7102.5125.52024/1/12年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4计算人口N1计算人口N2153.6188.0230.1281.7344.8422.1示意图不能预测2024/1/12年179018001810182018301840185018601870人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.6年18801890190019101920193019401950人口50.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7年19601970198019902000人口179.3204.0226.5251.4281.4找原因观察相对增长率的变化2024/1/12年17901800181018201830184018501860增长率%2.953.102.992.972.913.013.082.45年18701880189019001910192019301940增长率%2.442.422.051.911.661.461.021.04年195019601970198019902000增长率%1.581.491.161.051.091.16相对增长率并不是常数！与人口数有关。且随人口数量的增加而减少。2024/1/12假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。三建立新的预测模型Logisitic模型2024/1/12参数估计年17901800181018201830184018501860增长率%2.953.102.992.972.913.013.082.45年18701880189019001910192019301940增长率%2.442.422.051.911.661.461.021.04年195019601970198019902000增长率%1.581.491.161.051.091.16拟合结果：用1790年至1990年的数据拟合2024/1/12模型分析年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4计算人口N3.95.06.58.310.713.717.522.3年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7计算人口N28.335.845.056.269.785.5103.9124.5年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4计算人口N147.2171.3196.2221.2245.3274.52024/1/12四人口预测代入计算得即2010年的美国人口总数为306.0百万。将2000年的数据代入计算得美报告显示美国人口总数已达3.07亿2009年12月24日10:49新华网2024/1/12美报告显示美国人口总数已达3.07亿2009年12月24日10:49新华网2050年世界人口将突破94亿亚洲再增13亿人2010-07-3100:30:26

来源:国际在线(北京)

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国际在线7月31日报道

据印度《经济时报》和英国《每日电讯报》消息，根据美国人口普查局日前发布的最新数据，2025年世界人口将突破80亿，2050年将达到94亿。2024/1/122003年全国大学生数学建模竞赛赛题ASARS的传播2004年全国大学生数学建模竞赛赛题C饮酒驾车1996年全国大学生数学建模竞赛赛题A捕鱼策略2024/1/12我们关注2024/1/12八国集团峰会闭幕福田发表总结报告中国网时间：2008-07-10

第三十四届八大工业国(G8)高峰会议九日下午在日本北海道结束三天的会期后闭幕。日本首相福田康夫召开记者会发表主席总结报告，他对G8峰会达成协议，在二零五零年削减至少五成二氧化碳排放量的长期性目标作为全球的目标，表示肯定。2024/1/12发达国家定中期目标草案将为发达国家分别规定中期减排目标，同时与会国还将就新兴市场国家努力控制排放量达成共识。主要温室气体排放国会议预定9日召开。届时除八国集团外，中国、印度等新兴市场国家也将应邀出席。预定在会上采纳的16国首脑宣言草案规定，发达国家将以2030年为限，分别制定中期减排目标；同时新兴市场国家也应该努力控制温室气体的排放量。而对于2050年之前将全球温室气体排放量减半的长期目标，草案仅表示“将通过联合国展开磋商，争取在明年底达成共识，希望各国都能接受这一目标”。2024/1/12我们关心的问题1）从2009年开始每年控制温室气体排放量多少时才能达到2050年之前排放量减半的长期目标？2）发达国家将以2030年为限，怎样制定中期减排目标，使得到2050年前排放量减半。2024/1/12全球粮食危机显现严重影响经济复苏2009年07月13日16:33中国金融网【大中小】

【打印】据联合国粮农组织测算：2008年度世界粮食库存由2002年度的30%下降到14.7%，为30年来之最低；世界粮食储备仅为4.05亿吨，只够人类维持53天，而2007初世界粮储可供人类维持169天。据国际谷物理事会称，2009—2010年度全球粮食产量将低于需求水平，从而导致库存下滑。2008—2009年度全球粮食产量数据下调了200万吨，为17.82亿吨。2009—2010年度全球粮食产量预计为17.2亿吨，比上一年度再次下滑。2009—2010年度全球小麦产量预计减少5.1%，为6.52亿吨，而玉米产量可能减少1.7%，为7.71亿吨。粮食储备的大量减少已成为全世界人民无法忽视的问题。2024/1/12在过去十年的大部分时间里，全球粮食消费量一直高于产量。据预测到2030年粮食需求将会提高30%至40%，全球新一轮粮食危机的到来似乎已无法避免。全球粮食危机显现严重影响经济复苏2009年