线性代数四线性方程组

第4章线性方程组一、线性方程组的基本概念★二、线性方程组解的情况判定定理三、线性方程组解的结构四、线性方程组的向量形式元线性方程组：未知量，未知量的系数，常数项●线性方程组的分类（据常数项）线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组●一、线性方程组的基本概念●线性方程组可用矩阵形式表示1、非齐次线性方程组：方程的个数未知量的个数（）2、齐次线性方程组：系数矩阵未知量矩阵常数矩阵●

增广矩阵即●关于线性方程组的三个基本问题：

①方程组在什么情况下有解？（有解的条件）②

如果有解，有多少个解？（解的个数）③如果有解，怎样求出它的全部解？（求解）二、线性方程组解的情况判定定理定理1

有解定理2有解时，①有惟一解未知量的个数②有无穷多解★★●

的解共有三种情况。★特别：若是阶方阵，则有惟一解则可能无解，也可能有无穷多解.◆若例

设，则当（P56第8题）（07年）解A.B.C.D.（）时，方程组无解。

D由题知故线性方程组

，当（）.时无解

补A.B.C.D.D（2010年）时无解

时有无穷多解

时有无穷多解

解时有惟一解

。时有无穷多解

。当当选D.若方程组

有解，则其中（）.

补AA.B.C.D.（2011年）解由题知，已知线性方程组

有惟一解，则（）.

补A.B.C.D.且D解这是一个特殊的非齐次线性方程组由题知，即解之得定理3齐次线性方程组

总有解。零解：非零解：其它的解有非零解只有零解★

特别：若是阶方阵，则有非零解只有零解未知量的个数特殊的齐次线性方程组（）●

有非零解有无穷多解这两种说法等价。●

只有零解有唯一解这两种说法等价。例

设为的非零矩阵，方程组：（P55第2题）（03年）A.B.C.D.只有零解的充分必要条件是（）.的列向量组线性无关的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性相关解只有零解由定理知的列秩故的列向量组线性无关。而共有列A补设是矩阵，是矩阵，则下列结论A.B.C.D.正确的是（）.必有非零解A只有零解必有非零解只有零解解由题知为4阶矩阵，为3阶矩阵。必有非零解。例

若线性方程组有无穷多解，★★（P55第3题）（08年）A.B.C.D.则（）.1或41或-4-1或4-1或-4解C这是一个特殊的齐次线性方程组由题知，即解之得若齐次线性方程组

有非零解，则（）.

★

补A.B.C.D.且C解这是一个特殊的齐次线性方程组由题知，或（不用计算！）排除A,B,D选C.三、线性方程组解的结构在方程组有无穷多解的情况下，●

解的结构：解与解之间的关系问题。（如何求无穷多解）1、齐次线性方程组解的结构★

a.齐次线性方程组解的性质①

若是的解，则也是的解。②

若是的解，则也是（为任意实数）●由此知，若有一个非零解，则它一定有无穷多个解。的解。（P47）★

b.基础解系设是的一组解①

如果：线性无关；②

的任一个解均可用线性表示。则称

是的一个基础解系。的解基础解系.......●的基础解系是的解向量组的一个极大线性无关组。●的基础解系不惟一。●基础解系中的解都是非零解。●有基础解系有无穷多解★

c.齐次线性方程组解的结构定理若，则一定有基础解系；且基础解系中含有个解向量；且的通解为：

（为任意实数）（一般解）（全部解）●

有非零解有无穷多解有基础解系三种说法等价。例

设都是齐次★（P55第5题）A.B.C.D.A线性方程组的解，则（）.解是的解方程组有基础解系。又，都是的解，且线性无关基础解系中至少含有2个解向量。即排除B,C,D选A.例

三阶矩阵的秩，★（P55第4题）是方程组（06年）的三个解向量，则常数（）.DA.B.C.D.解有基础解系。（或且是解）且（即基础解系中含有2个解向量）而都是的解故线性相关即解之得例

设是齐次线性方程组的一个★（P55第6题）A.B.C.D.基础解系（是矩阵），若也为的一个基础解系，则（）.且可逆。且线性无关，或D解由题知也线性无关.即解得且补设是矩阵，是齐次线性方程组的基础解系，则（）.CA.B.C.D.解由题知的基础解系含一个解向量即（为）故2、非齐次线性方程组解的结构

a.非齐次线性方程组解的性质

①

若是的解，是的解，则是的解。②

若是的解，则是对应的

齐次方程组的解。（P51）③

补若是的两个解，则也是的解。★b.非齐次线性方程组解的结构定理若，则它有无穷多解，且全部解可表为：（其中：为的任一个解（特解），

为任意实数）为的基础解系，的全部解★例

已知★★（P56第10题）是线性方程组D的两个解，则该方程组的全部解为（）.A.B.C.D.解先排除A（不符合解的结构）由题知，方程组有无穷多解再按照解的结构，排除B,C,选D.（选项中为任意常数）例

已知四元非齐次线性方程组中，（P54例3）是它的3个解向量，其中：求的全部解。解对应的齐次方程组的基础解系含1个解向量由题知，方程组有无穷多解。（）由解的性质知，为的基础解系所求的全部解为：▽例

设是非齐次线性方程组对应的（P55第7题）A.B.C.D.齐次线性方程组，则（）.C只有零解时，有惟一解有非零解时，有无穷多组解是的通解，是的特解时，是的通解。有非零解时，也有非零解解设A.只有零解有惟一解B.有非零解有无穷多解四、线性方程组的向量形式①

有解可由的列向量组线性表示，且表示的系数即为方程组的解。无解不能由的列向量组线性表示②

有非零解的列向量组线性相关只有零解的列向量组线性无关且系数即为方程组的解。例

设，其中为★★（P56第9题）四维向量。又已知线性无关，且则线性方程组的通解为（）.（选项中为任意常数）BA.B.C.D.解由题知为的三个解从而，有无穷多解。再按照解的结构验证！补设均为三维向量，线性无关。则线性方程组的通解为（

）.（选项中为任意常数）AA.B.C.D.解观察选项的特点为的解。又由知，为的解。下面按照解的结构验证！例

是三阶矩阵，（P54第1题）