工程力学课堂教学软件教师版虚位移原理

第二篇弹性静力学(二)

第3章虚位移原理在弹性杆件问题中的应用清华大学范钦珊

2024年1月11日

引言

基本概念

互等定理

应用于弹性体的虚位移原理

虚位移原理在弹性杆件上的应用

势能原理在弹性稳定分析中的应用

结论与讨论

引言

引言

分析应力、变形和位移的两种方法

能量原理分析应力、变形和位移的优势分析应力、变形和位移的两种方法

引言分析应力、变形和位移的两种方法

直接方法－利用平衡、变形协调和物性关系

应力分析方法；

求解超静定问题的方法。

引言分析应力、变形和位移的两种方法

引言

能量方法－利用能量原理（同时满足平衡、变形协调和物性关系)

虚位移原理

虚力原理

最小势能原理

最小余能原理

引言能量原理分析应力、变形和位移的优势能量原理分析应力、变形和位移的的优势

引言

一般能量守恒原理：可以确定加力点沿加力方向的位移ABCFP外力功＝系统的应变能能解决什么问题？不能解决什么问题？能量原理分析应力、变形和位移的

6个方面的优势

引言

可以确定任意点沿任意方向的位移；

可以确定位移函数；

既可以确定位移，又可以确定内力和应力；

既适用于线性问题，又适用于非线性问题；

可以用于直接求解超静定；

容易扩展到二维和三维问题。

基本概念

基本概念

功和余功；

应变能和余应变能；

杆件应变能和余应变能的计算；

功和余功

基本概念

基本概念功和余功讨论一般的力和位移关系：广义力与广义位移－

力－线位移；

力偶－角位移；

均匀分布载荷－？；

均匀分布压力－？；一般的力和位移关系－

基本概念功和余功功(work)－以位移作为积分变量dW=FPd

W=

dW=

FPd

dW

基本概念功和余功余功(complementarywork)

－以力作为积分变量dWc=

dFPdWc=

dFPFPWc=

dWc

应变能和余应变能

基本概念

基本概念

应变能和余应变能广义的应力－应变关系

＝(),

=()

－可以是正应力也可以是切应力

－可以是正应变也可以是切应变

基本概念

应变能和余应变能应变能(strainenergy)－以

为积分变量

=

d－应变比能V

＝

dV－应变能

基本概念

应变能和余应变能

余应变能(complementary

strainenergy)－以

为积分变量

c

=

d

－余应变比能Vc＝

c

dV

－余应变能

杆件应变能和余应变能的计算

基本概念

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算几个前提：

杆件变形后横截面保持平面；

静力学方程成立；

FNx=

AdAMz=-AydAMy=AzdAMx=AdA

细长杆忽略剪力影响。

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算对于线性问题由

=

dV

＝

dV以及

＝E

和＝G

得到

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算这一公式也可以由微段上内力作功累加得到dxdx+

dxFNxFNx

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算对于非线性问题以及非线性应力－应变关系得到V

和Vc的表达式。由

c

=

dVc＝

c

dV(参阅：工程力学教程(II)

第3章中的例题)

互等定理

互等定理功的互等定理

功的互等定理

位移互等定理

应用能量守恒原理和叠加原理可以得到两个互等定理

功的互等定理

互等定理FPmFPmFP－系统FS－系统

互等定理功的互等定理

功的互等定理(reciprocaltheoremofwork)FPmFPm

互等定理功的互等定理定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。FPm

PnS

P2S

P1S

互等定理FP－系统FS－系统

互等定理FP－系统FS－系统

S1P

S2P

SnP

S1P

S2P

SnP

互等定理FPm

互等定理

互等定理功的互等定理

互等定理功的互等定理特殊情形iFi

iij

jiji

jj

ijFjFi

ij=Fj

ji

位移互等定理

互等定理iFi

iij

jiji

jj

ijFj

互等定理位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=ji＝Fii1

iij

jiji

jj

ij1iFi

iij

jiji

jj

ijFj

互等定理位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=

ji

互等定理位移互等定理位移互等定理

一个力(广义的)与另一个力(广义的)若数值相等，则一个力(广义的)在另一个力(广义的)作用处引起的位移，数值上等于另一个力(广义的)在这一个力(广义的)作用处引起的位移。

应用于弹性体的虚位移原理

应用于弹性体的虚位移原理

原理表述

弹性体平衡必要性的简单证明

虚位移模式的多样性

虚位移原理的应用条件

原理表述

应用于弹性体的虚位移原理

应用于弹性体的虚位移原理原理表述弹性体平衡的必要条件

对于处于平衡状态的弹性体，令其自平衡位置起有一微小虚位移，则作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零。弹性体平衡

We＋Wi＝0

应用于弹性体的虚位移原理原理表述弹性体平衡的充分条件

对于处于某一位置的弹性体，令其自这一位置起有一微小虚位移，若作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零，则弹性体在这一位置保持平衡。弹性体平衡

We＋Wi＝0

应用于弹性体的虚位移原理原理表述虚位移原理

弹性体平衡的充分和必要条件是，作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零。弹性体平衡

We＋Wi＝0

弹性体平衡必要条件的简单证明

应用于弹性体的虚位移原理

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明以承受分布载荷的简单支承梁为例平衡时，有平衡位置虚位移

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明令梁自变形后的平衡位置起，有一虚位移

w平衡位置平衡位置虚位移

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明

微段dx上的外力qdx在虚位移

w上所作虚功为(qdx)wxdx

全部外力在虚位移

w上所作之总虚功为

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明00

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明

全部外力在虚位移

w上所作之总虚功为

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功平衡位置虚位移xdx

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功平衡位置虚位移

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功其中(d)

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明弹性体平衡

虚位移模式的多样性

应用于弹性体的虚位移原理

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关

可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为弹性体平衡

We＝V

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是某一(或某几个)真实位移的增量

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移

可以是某一(或某几个)真实位移的增量

可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关

可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为弹性体平衡

We＝V

虚位移原理的应用条件

应用于弹性体的虚位移原理

应用于弹性体的虚位移原理虚位移原理的应用条件

所有推证过程，只涉及小变形条件下的平衡方程，而与物性关系无关。

虚位移原理的应用条件仅为小变形。

虚位移原理既适用于线性物性关系也适用于非线性物性关系。

虚位移原理在弹性杆件上的应用

虚位移原理的应用

求解位移曲线的近似方程

由虚位移原理导出卡氏第一定理

求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用

先假设一含有一个或几个待定常数的位移函数，这一函数必须满足连续条件和约束条件。

然后，以真实位移的增量作为虚位移原理的表达式：

We＝V

分别计算物外力虚功

We和应变能增量

V

代入虚位移原理的表达式，得到待定常数从而求得位移函数。求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用例题已知：F、EI、l求：梁的位移曲线以及梁中点的挠度求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用例题1，假设位移函数2,计算应变能3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用2,计算应变能3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量虚位移：外力虚功：应变能增量：求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量虚位移：外力虚功：应变能增量：4，应用虚位移原理确定待定常数

We＝V

求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用4，应用虚位移原理确定待定常数

We＝V

5，确定位移曲线方程以及梁中点的挠度位移曲线方程求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用5，确定位移曲线方程以及梁中点的挠度位移曲线方程梁中点的挠度精确值误差1.4%

由虚位移原理导出卡氏第一定理

虚位移原理的应用

虚位移原理的应用由虚位移原理导出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

载荷系统：F1、F2、...、Fi、...、Fn

加力点位移：

1、

2

、...、i、...、n

虚位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/

虚位移原理的应用由虚位移原理导出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

虚位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/外力虚功：应变能增量：应变能000

虚位移原理的应用由虚位移原理导出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虚功：应变能增量：应变能应用虚位移原理

We＝V

000

虚位移原理的应用由虚位移原理导出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

系统的总应变能对于某个力作用点沿加力方向位移的一阶偏导数等于这个力。

虚位移原理的应用卡氏第一定理例题已知：图示结构中，A、B、C三处均为铰链，

AB杆和BC杆的拉压刚度均为EI。FP

、

l、EI

等均为已知。求：加力点B处的位移。

虚位移原理的应用卡氏第一定理例题

一般情形下，都是先由变形前的平衡位置求得杆的受力，再由受力计算变形或位移。

现在必须考察变形以后的平衡位置才能求得杆的受力，然后求得位移。问题的性质

虚位移原理的应用卡氏第一定理例题解决问题的思路

先将系统的应变能V

表示成位移

B函数:V

＝V

(

B)；

再应用卡氏第一定理建立力FP与位移

B的关系。

虚位移原理的应用卡氏第一定理例题1，建立位移

B与变形

l

之间的关系

虚位移原理的应用卡氏第一定理1，建立位移

B与变形

l

之间的关系2,建立应变能表达式V

＝V

(

B)例题

虚位移原理的应用卡氏第一定理1，建立位移

B与变形

l

之间的关系2,建立应变能表达式V

＝V

(

B)例题3,应用卡氏第一定理建立力FP与位移

B之间的关系

势能原理在弹性稳定分析中的应用

势能原理在弹性稳定分析中的应用

应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

铁摩辛柯方法

瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理弹性体的总势能V＝V

＋VPV

－弹性势能，即应变能；

VP－载荷的位置势能。

势能原理在弹性稳定分析中的应用应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

应用于弹性体的势能驻值定理：弹性体平衡构形的充要条件是系统的总势能取驻值。

V＝

V

＋

VP＝0

V

－弹性势能增量；

VP－载荷的位置势能增量。

势能原理在弹性稳定分析中的应用

应用于弹性体的最小势能原理：弹性体平衡构形稳定的充要条件是系统的总势能取最小值。应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

V＝

V

＋

VP

0

势能原理在弹性稳定分析中的应用

铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用F=FPcr时，令其从直线平衡构形转变到邻近的微弯屈曲构形这时系统总势能改变量为

V＝

V

＋

VP铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

V＝

V

＋

VP

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法例题(1)

对于一端固定、另一端自由的压杆，假定屈曲位移函数：

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法例题(2)

对于两端铰链的压杆，假定屈曲位移函数：

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法例题(3)

对于一端固定、另一端自由，承受轴向均布载荷的压杆，假定屈曲位移函数：则应变能的改变量为载荷位置势能的改变量为

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法例题(3)则应变能的改变量为载荷位置势能的改变量为

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法例题(3)则应变能的改变量为载荷位置势能的改变量为

V

＋

VP＝0

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法例题(3)近似解精确解

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法

瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

首先假设包含未知参数(例如an,n=1,2,...)的屈曲构形级数解，这一级数必须满足几何边界条件；

其次根据所假设的解，计算以未知参数(例如an,n=1,2,...)表示的系统总势能；根据势能驻值定理

V＝0，由

势能原理在弹性稳定分析中的应用瑞利－里兹法根据势能驻值定理

V＝0，由于其中都是任意的，于是得到据此即可确定未知参数a1,a2,...,an等等。

势能原理在弹性稳定分析中的应用瑞利－里兹法例题

两端铰支的变截面压杆，截面的惯性矩按下列公式变化：求：临界力。

势能原理在弹性稳定分析中的应用瑞利－里兹法例题

假设包含未知参数a1

的屈曲构形为：系统的总势能为

势能原理在弹性稳定分析中的应用瑞利－里兹法例题系统的总势能为由

势能原理在弹性稳定分析中的应用瑞利－里兹法

结论与讨论

结论与讨论

关于应变能的计算

关于互等定理

应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

关于虚位移模式的多样性

能否通过虚位移原理确定弹性杆件的内力和应力

怎样减小近似解的误差

关于泛函和变分的概念

结论与讨论

关于应变能的计算

结论与讨论关于应变能的计算计算应变能时能不能应用叠加原理

不能；

能；

有时能，有时不能；什么时候能，什么时候不能？

－请读者结合具体问题加以分析研究

结论与讨论关于应变能的计算计算应变能时能不能应用叠加原理

M

和F

引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？如果将

M

换为扭转力偶Mx

,Mx

和F引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？

关于互等定理

结论与讨论关于互等定理?=?

结论与讨论关于互等定理?=?

结论与讨论关于互等定理?=?

结论与讨论关于互等定理?

结论与讨论关于互等定理百分表

悬臂梁受力如图示。现用百分表测量梁在各处的挠度，请设计一实验方案。移动百分表；固定百分表？

结论与讨论关于互等定理均布载荷q－广义力广义位移－？

结论与讨论关于互等定理

能不能应用互等定理确定挠度曲线与梁的原轴线之间的面积？“互等

”必须有两个相应的系统，另一个系统是什么？

与所要求的面积相对应的量又是什么？

结论与讨论关于互等定理

实心圆柱体承受轴向拉伸，请分析有几种方法可以确定其体积改变量？

应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

结论与讨论应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

结论与讨论

都是讨论平衡(位形或构形)的充分和必要条件；

都是自平衡位置起令其有