河南省通许县丽星高级中学2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

河南省通许县丽星高级中学2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（）A． B．3 C． D．122．在中，，，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．123．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=()A．2 B．3 C．4 D．54．用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，若，则的所有可能值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．若将函数的图象向左平移个最小周期后，所得图象对应的函数为（）A． B．C． D．6．设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为()A．65 B．62 C．59 D．567．在中，已知其面积为，则=（）A． B． C． D．8．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-39．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（）A．6 B．7 C．8 D．910．如图，长方体中，，，，分别过，的两个平行截面将长方体分成三个部分，其体积分别记为，，，.若，则截面的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.12．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．13．已知向量，若向量与垂直，则等于_______．14．已知，则____．15．已知圆的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.16．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：518．(1)计算(2)已知,求的值19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量与的夹角；（2）设，且向量满足，求的最小值；（3）在（2）的条件下，随机选取一个向量，求的概率.20．对于定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.（1）若函数是“基函数，”生成的，求实数的值；（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.求函数的解析式.21．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

根据侧视图的宽为求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。【题目详解】侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，又侧视图的面积为：【题目点拨】理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。2、C【解题分析】

根据，，得到，，平方计算得到最小值.【题目详解】故答案为C【题目点拨】本题考查了向量的模，向量运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力.3、C【解题分析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.4、C【解题分析】

数列取倒数，利用累加法得到通项公式，再判断的所有可能值.【题目详解】两边取倒数：利用累加法：为递增数列.计算：，整数部分为0，整数部分为1，整数部分为2的所有可能值的个数为0,1,2答案选C【题目点拨】本题考查了累加法求数列和，综合性强，意在考查学生对于新知识的阅读理解能力，解决问题的能力，和计算能力.5、B【解题分析】

首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题．【题目详解】函数的最小正周期为,函数的图象向左平移个最小正周期即平移个单位后，所得图象对应的函数为,即.故选：B.【题目点拨】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.6、A【解题分析】

先求出，再利用等差数列的性质和求和公式可求.【题目详解】，所以，故选A.【题目点拨】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.7、C【解题分析】或（舍），故选C.8、D【解题分析】

因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.故答案为D9、B【解题分析】

利用等差数列的性质对已知条件进行化简，由此求得的值.【题目详解】依题意，解得.故选：B【题目点拨】本小题主要考查等差中项的性质，属于基础题.10、B【解题分析】

解：由题意知，截面是一个矩形，并且长方体的体积V=6×4×3=72，∵V1：V2：V3=1：4：1，∴V1=VAEA1-DFD1=×72=12，则12=×AE×A1A×AD，解得AE=2，在直角△AEA1中，EA1=故截面的面积是EF×EA1=4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解题分析】

根据程序框图依次计算出、、后即可得解.【题目详解】由程序框图可知，；，；，.所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了程序框图的应用，属于基础题.12、1【解题分析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为1．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．13、2【解题分析】

根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解．【题目详解】由题意，向量，因为向量与垂直，所以，解得．故答案为：2.【题目点拨】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解题分析】

由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.【题目详解】，，，故答案为.【题目点拨】本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15、或【解题分析】

由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【题目详解】设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，则圆心到直线y＝x的距离d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为或．【题目点拨】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．16、2【解题分析】

将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【题目详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【题目点拨】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为；（3）10【解题分析】

（1）根据频率之和为1，直接列式计算即可；（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率，再求和；众数指频率最大的一组的中间值；中位数两端的小长方形面积之和均为0.5；（3）根据题意分别求出，，，的人数，即可得出结果.【题目详解】（1）由频率分布直方图可得：,（2）平均分为众数为65分.中位数为（3）数学成绩在的人数为，在的人数为，在的人数为，在的人数为，在的人数为，所以数学成绩在之外的人数为100-5-20-40-25=10.【题目点拨】本题主要考查样本估计总体，由题中频率分布直方图，结合平均数、中位数等概念，即可求解，属于基础题型.18、(1)1+；（2）.【解题分析】

（1）利用对数的运算法则计算得解；（2）先化简已知得,再把它代入化简的式子即得解.【题目详解】（1）原式=1+；（2）由题得，所以.【题目点拨】本题主要考查对数的运算，考查诱导公式化简求值和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据向量的垂直，转化出方程组，求解方程组即可；（2）将向量赋予坐标，求得向量对应点的轨迹方程，将问题转化为圆外一点，到圆上一点的距离的最值问题，即可求解；（3）根据余弦定理，解得，以及的临界状态时，对应的圆心角的大小，利用几何概型的概率计算公式，即可求解.【题目详解】（1）因为故可得，解得①②由①-②可得，解得，将其代入①可得，即将其代入②可得解得，又向量夹角的范围为，故向量与的夹角为.（2）不妨设，由可得.不妨设的起始点为坐标原点，终点为C.因此，点C落在以)为圆心，1为半径的圆上（如图）.因为，即由圆的特点可知的最小值为，即：.（3）当时，因为，，满足勾股定理，故容易得.当时，假设此时点落在如图所示的F点处.如图所示.因为，由余弦定理容易得，故.所以，本题化为，在半圆上任取一点C，点C落在弧CF上的概率.由几何概型的概率计算可知：的概率即为圆心角的弧度除以，即.【题目点拨】本题考查向量垂直时数量积的表示，以及利用解析的手段解决向量问题的能力，还有几何概型的概率计算，涉及圆方程的求解，以及余弦定理.本题属于综合题，值得总结.20、(1).(2)【解题分析】

（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得的值.（2）设出的表达式，利用为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得，由此化简的表达式，构造函数，利用定义法证得在上的单调性，由此求得的最小值，也即的最小值，从而求得的最小值，结合题目所给条件，求出的值，即求得的解析式.【题目详解】解：（1）由已知得，即，得，所以.（2）设，则.由，得，整理得，即，即对任意恒成立，所以.所以.设，，令，则，任取，且则，因为，且所以，，，故即，所以在单调递增，所以，且当时取到“”.所以，又在区间的最小值为，所以，且，此时，所以【题目点拨】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化