兴安市重点中学2024届高一数学第二学期期末预测试题含解析

兴安市重点中学2024届高一数学第二学期期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a8=12，S8A．-2 B．2 C．-1 D．12．函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（）A． B．2 C．或 D．或23．函数的图象是（）A． B． C． D．4．设向量，且，则实数的值为（）A． B． C． D．5．已知数列是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，且成等差数列，则（）A． B．6 C．7 D．96．圆上的一点到直线的最大距离为（）A． B． C． D．7．已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A． B． C． D．8．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．9．直线的斜率是（）A． B． C． D．10．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，是边上一点，且满足，若，则_________.12．已知，则______．13．数列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），则称为的一个“谷值”。若且存在“谷值”则实数的取值范围是__________．14．直线与直线的交点为，则________.15．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.16．展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.(1)求证:平面平面；(2)求证:平面.18．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，点E为AB的中点，点D、F在边BC、AC上，且，，EF交AD于点P.(Ⅰ)若∠BAC=，求与所成角的余弦值；(Ⅱ)求的值.19．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1组[50，60)50.05第2组[60，70)0.35第3组[70，80)30第4组[80，90)200.20第5组[90，100]100.10合计1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．20．已知方程，.（1）若是它的一个根，求的值；（2）若，求满足方程的所有虚数的和.21．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

直角利用待定系数法可得答案.【题目详解】因为S8=8a1+a82【题目点拨】本题主要考查等差数列的基本量的相关计算，难度不大.2、D【解题分析】

先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.【题目详解】因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.【题目点拨】对称轴和对称中心的判断：对称轴：，则图象关于对称；对称中心：，则图象关于成中心对称.3、D【解题分析】

求出分段函数的解析式，由此确定函数图象.【题目详解】由于，根据函数解析式可知，D选项符合.故选：D【题目点拨】本小题主要考查分段函数图象的判断，属于基础题.4、D【解题分析】

根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【题目详解】向量，（m+1，﹣m），当⊥时，•0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故选D．【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．5、C【解题分析】

设等比数列的公比为，且不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【题目详解】数列是公比不为l的等比数列，满足，即且成等差数列，得，即，解得，则．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6、D【解题分析】

先求出圆心到直线距离，再加上圆的半径，就是圆上一点到直线的最大距离．【题目详解】圆心（2,1）到直线的距离是，所以圆上一点到直线的最大距离为，故选D．【题目点拨】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式．7、A【解题分析】

利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【题目详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A【题目点拨】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．8、C【解题分析】

利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【题目详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【题目点拨】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.9、A【解题分析】

一般式直线方程的斜率为．【题目详解】直线的斜率为.故选A【题目点拨】此题考察一般直线方程的斜率，属于较易基础题目10、C【解题分析】

利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【题目详解】依题意，即，故选C.【题目点拨】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

记,则,则可求出,设,,得,,故结合余弦定理可得,解得的值,即可求,进而求的值.【题目详解】根据题意,不妨设,,则,因,所以,设,由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.12、【解题分析】

由题意得出，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【题目详解】由题意得出.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.13、【解题分析】

求出,,,当,递减,递增,分别讨论,,是否存在“谷值”,注意运用单调性即可.【题目详解】解：当时,有,,当,递减,递增,且.若时,有,则不存在“谷值”；若时,,则不存在“谷值”；若时,①,则不存在"谷值"；②,则不存在"谷值"；③,存在"谷值"且为.综上所述,的取值范围是故答案为：【题目点拨】本题考查新定义及运用,考查数列的单调性和运用,正确理解新定义是迅速解题的关键,是一道中档题.14、【解题分析】

（2,2）为直线和直线的交点，即点（2,2）在两条直线上，分别代入直线方程，即可求出a，b的值，进而得a+b的值。【题目详解】因为直线与直线的交点为，所以，，即，，故.【题目点拨】本题考查求直线方程中的参数，属于基础题。15、1【解题分析】

由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．【题目详解】解：且令解得，则即函数过定点，又点在直线上，，则，当且仅当时，等号成立，故答案为：1．【题目点拨】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．16、【解题分析】令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)证明见解析【解题分析】

（1）根据线面垂直的判断定理得到平面；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可得出结论成立.【题目详解】(1)在三棱柱中，底面，所以.又因为，所以平面；又平面，所以平面平面；(2)取的中点，连接，.因为，，分别是，，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.【题目点拨】本题主要考查证明面面垂直，以及证明线面平行，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面平行的判定定理即可，属于常考题型.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系,得到，，，，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果；(Ⅱ)先由A、P、D三点共线，得到，再由平面向量的基本定理，列出方程组，即可求出结果.【题目详解】(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系如图，则，，，，∴，∴(Ⅱ)∵A、P、D三点共线，可设同理，可设由平面向量基本定理可得，解得∴，.【题目点拨】本题主要考查平面向量的夹角运算，以及平面向量的应用，熟记向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.19、(1)35，0.30;(2).【解题分析】试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．试题解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20、（1）；（2）190.【解题分析】

（1）先设出的代数形式，把代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；（2）由方程由虚根的条件，求出的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．【题目详解】解：（1）设，是的一个根，，，，解得，，，（2）方程有虚根，，解得，，，2，，又虚根是成对出现的，所有的虚根之和为．【题目点拨】本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．21、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.【