江苏省盐城市滨海县蔡桥初级中学等三校2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

江苏省盐城市滨海县蔡桥初级中学等三校2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，实数、满足关系式，若对于任意给定的，当在上变化时，的最小值为，则（）A． B． C． D．2．已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（）A． B．C． D．3．已知a,,若关于x的不等式的解集为,则()A． B． C． D．4．在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为（）A． B． C． D．5．在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于（）A．256 B．510 C．512 D．10246．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元7．在中，为的三等分点，则()A． B． C． D．8．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为()A．①随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法9．为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（）A．向右平移3个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向左平移个单位长度10．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，，则角_____.12．设，向量，，若，则__________．13．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.14．已知向量，，若与共线，则实数________．15．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)16．一个社会调查机构就某地居民收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内的应抽出___人.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油所行路程的情况，现从中随机地抽出10辆，在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如下：(1)完成上面的频率分布表；(2)根据上表，在坐标系中画出频率分布直方图.18．已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.19．在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I）求和频率分布直方图中的的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率．21．在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边的长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

先计算出，然后利用基本不等式可得出的值.【题目详解】，由基本不等式得，当且仅当时，由于，即当时，等号成立，因此，，故选：A.【题目点拨】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.2、A【解题分析】

根据垂直关系求出直线斜率为，再由点斜式写出直线。【题目详解】由直线与直线垂直，可知直线斜率为，再由点斜式可知直线为：即.故选A.【题目点拨】本题考查两直线垂直，属于基础题。3、D【解题分析】

由不等式的解集为R，得的图象要开口向上，且判别式，即可得到本题答案.【题目详解】由不等式的解集为R，得函数的图象要满足开口向上，且与x轴至多有一个交点，即判别式.故选：D【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.4、B【解题分析】

设直线的倾斜角为，，，可得，解得．【题目详解】设直线的倾斜角为，，．，解得．故选：B．【题目点拨】本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5、C【解题分析】

因为，所以，则因为数列的各项均为正数，所以所以，故选C6、B【解题分析】∵，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的为9.4∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，

∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，

故选B．7、B【解题分析】试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若，则，即有，为边的三等分点，则,故选B．8、B【解题分析】①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显①用分层抽样法，而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②用随机抽样法故选B9、B【解题分析】

先化简得，根据函数图像的变换即得解.【题目详解】因为，所以函数图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象.故选：B【题目点拨】本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解题分析】

本题首先要明确平面直角坐标系中每一象限所对应的角的范围，然后即可判断出在哪一象限中．【题目详解】第一象限所对应的角为；第二象限所对应的角为；第三象限所对应的角为；第四象限所对应的角为；因为，所以位于第三象限，故选C．【题目点拨】本题考查如何判断角所在象限，能否明确每一象限所对应的角的范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解题分析】

本题首先可以通过解三角形面积公式得出的值，再根据三角形内角的取值范围得出角的值。【题目详解】由解三角形面积公式可得：即因为，所以或【题目点拨】在解三角形过程中，要注意求出来的角的值可能有多种情况。12、【解题分析】从题设可得，即，应填答案．13、【解题分析】

以为原点建立平面直角坐标系，利用计算出两点的坐标，设出点坐标，由此计算出的表达式，，进而求得最值.【题目详解】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.【题目点拨】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.14、【解题分析】

根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出x的值．【题目详解】向量（3，﹣1），（x，2），若与共线，则3×2﹣（﹣1）•x＝0，解得x＝﹣1．故答案为﹣1．【题目点拨】本题考查了平面向量的共线定理与坐标表示的应用问题，是基础题．15、①②④【解题分析】用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．16、25【解题分析】由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人．故答案为25.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）通过所给数据算出频数和频率值，并填入表格中；（2）计算每组数中的频率除以组距的值，再画出直方图.【题目详解】(1)频率分布表如下：分组频数频率[12.45,12.95)20.2[12.95,13.45)30.3[13.45,13.95)40.4[13.95,14.45)10.1合计101.0(2)频率分布直方图如图所示：【题目点拨】本题考查频率分布表和频率分布直方图的简单应用，考查基本的数据处理能力.18、（1）（2）当时，；当时，；当时，【解题分析】

(1)利用，时单独讨论.求解.

(2)对时单独讨论，当时，对从到的和应用错位相减法求和.【题目详解】当时，，得.当时，即.所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.所以(2)设，则..当时，当时，当时，设………………由﹣得所以所以综上所述：当时，当时，当时，【题目点拨】本题考查应用求通项公式和应用错位相减法求前项和，考查计算能力，属于难题.19、(1)证明见解析；(2)【解题分析】

(1)取中点,连接,可得四边形为平行四边形.再证明平面得到,进而得到即可.(2)利用等体积法,求出三棱锥的体积,进而求得到平面的距离,再得出直线与平面所成角的正弦值即可.【题目详解】(1)取中点,连接,则.又,故.故四边形为平行四边形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因为底面,故.又,,.故.设到平面的距离为,则,解得.故直线与平面所成角的正弦值为【题目点拨】本题主要考查了线线垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离以及线面角的求解,需要根据题意利用线面线线垂直的判定与性质证明,同时也需要在等体积法时求解对应的面的面积等.属于中档题.20、（I），；（II）.【解题分析】试题分析：(I)根据频率直方图的相关概率易求，依据样本估计总体的思想可得该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II）记“至少有一名学生是等级”事件为，求事件对立事件的的概率，可得.试题解析：（I）由题意可知，样本容量因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为（II）由茎叶图知，等级的学生共有3人，等级学生共有人，记等级的学生为，等级学生为，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：共28个基本事件记“至少有一名学生是等级”事件为，则事件的可能结果为共10种因此考点：1、频率分布直