福建2021高三数学诊断练习（二模）含答案

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福建2021高三数学诊断练习（二模）含答案

学校：准考证号：姓名：

（在此卷上答题无效）

高三诊断性练习

数学

本试卷共5页.满分150分。

注意事项：

I.答题前，考生务必在试题卷、答题卜规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真.核对答

题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用

檄皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卜•并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设发数4,为满足4工0,且B•即=2瓦|,则十可以是

A.-l-iB.2+2iC.-1+V3iD.4i

2.设集合/={1,2.4},5={x€Z|x2-4.v4-/n＜0}.若/Ifl8={1,2},则/U8=

A,{1,2.3}B.{1,2,4}C.{0.1,2,3}D.{1,2,3,4}

3.现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这两台3D打印设备在正常

工作状态卜.打印出的零件内径尺寸Z（单位:pm）服从正态分布N（1OO,32）.根据要求，正式打印前需要

对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了5个零件，零件内径尺寸（单位:小）如茎叶图所示,根

据以上信息，可以判断

A.甲、乙两台设备都需要进一步调试______________甲||乙______________

B.甲、乙两台设价都不需要进一步调试989079-

C.甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试2101015

D.乙需要进一步调试，甲不漏要进一步调试

4.甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、

乙到同一社区的不同安排方案共有

A.6种B.18种C.36种D.72种

5.甲、乙、内三位同学参加学习脱贫干•部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定

宇等英雄的先进事迹知识竞赛.该竞赛共有卜道判断题，•:位同学的答题情况如卜.：

号

12345678910

选

甲7XX7XXX

乙7XXXXX

丙XX7X

考试成绩公布后，：个人都答对了7道题，由此可知，130题的正确答案衣次是

A.7、7、X、X、、、（4、X、、、X

B.7、7、X、X、＜、X、«X、＜、X

C.4、7、x、x、＜、＜、＜、7、7、x

D.＜、x、x、x、7、Q、（＜、＜、x

M数学试题第1页（共5页）

6.音乐是用声音来表达人的思想感情的种艺术.声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三

角函数来刻画.在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦.某二和弦可表示

为/(x)=sin2.v+sin3x,则函数y=/(x)的图象大致为

A.3B.7C.e3D.e7

8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜

3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比

赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第

5场由乙和A进行比赛.假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙每

场获胜的概率均为0.5：丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5：各场比赛的结果互不影响.那么，

恰好经过4场比赛分出胜负的概率为

A.0.24B.0.25C.0.38D.0.5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知tan(a+〃)=tana+lan/7，其中awg/wZ)且〃工等(meZ),则下列结论一定正确的是

A.sin(a+夕)=0B.cos(a+夕)=1

C.sin2—+sin2-=1D.sin:tz+cos2/7=1

22

10.函数/(x)的定义域为/.若三〃>0使得Vxw/均有且函数/(x+1)是偶函数，则/(x)可

以是

A./(x)=|lny^-1B./(x)=sin^y.r^+cos(27tr)

C./(x)=———-D./(h)=[°"，沁

32,+24八/1"Q

11.已知正方体的棱长为2,」“为441的中点，平面a过点。且与CW垂直，则

A.CMLBDB.80〃平面a

Q

C.平面〃平面aD.平面a截正方体所得的截面面积为；

12.已知抛物线£1：./=4x的焦点为产，准线/交x轴于点C,直线6过C且交E于不同的48两点,

8在线段/C上，点尸为/在/上的射影.下列命题正确的是

A.若ABtBF,则|"|=|PC|B.若P,民产三点共线，则“日=4

C.若|4?|=忸。|,则“尸|=2忸尸|D.对于任意直线机，都有“尸|+忸曰＞2仁广|

M数学试题第2页(共5页)

三、填空题：本题共4小题，每小题S分，共20分。

13.曲线V=（x+1）In（1+X）在x=0处的切线方程为.

14.已知△48C的外心为O,2而=而+祀，|而|=|福=1，则而•而=.

15.已知双曲线C:夕=以原点。为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于48两点，P

是恻。与C的一个公共点,若俨⑷=4i\PB\，则C的离心率为.

16.球面几何是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用,如图,ABC

是球面上不在同一大圆（大网是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大

网的劣弧分别为茄、后己由这：条劣弧组成的图形称为球面△居（?.已知地球半径为/?,北极为

点N,忆0是地球表面上的两点.若R0在赤道上，且经度分别为东经40。和东经80。，则球而△NP。

的面积为:若称=%。=00=乎/?,则球面2i00的面枳为.（本小题第一空2分，

第二空3分）

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在①6sin/l+acos8=0，②后cos2C+3cosc=0.③sin8+sinC=2sin]这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求△力8c的面积：若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题：是否存在其内角48,C的对边分别为aAc,且cos4=],。=4,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

数列｛q｝的演〃项和为2，且邑“-1=5.+24（〃€1＜）.

（1）若数列｛/+1｝不是等比数列，求为；

（2）若q=1,在对和叫“（AC）中插入〃个数构成一个新数列也｝：%,1吗,3.5吗,7,9,11,4,…，

插入的所有数依次构成首项为I,公差为2的等差数列，求｛4｝的前50项和乙,.

M数学试题第3页（共5页）

19.（12分）

如图，四棱锥P-48CQ的底面力8CQ为矩形,E是边,40上的点

PA=AB=AE=IDE,ZLPBA=ZPBC=60°.

（1）求证：平面。8E_L平面/8CO；

⑵求直线PC和平面PBD所成角的正弦值.

20.（12分）

抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数届减少.一•般地，病人体内白细胞浓度低于4000个/mn?

时需要使用升血药物进行“升他”治疗，以刺激书•髓造血，增加血液中白细胞数段.为了解病人的最终用药

剂量数y（1剂员=25席）和首次用药时的白细胞浓度x（单位：百个/mn?）的关系，某校研究性学习小

组从医院甲随机抽取/首次用药时白细胞浓度均分布在。〜4000个/mm，的47个病例，其首次用药时的白

细胞浓度为茗（单位：百个/mmD,最终用药剂量数为乂（i=1,2,…,47）,得到数据（孙必）（?=1,2,…,47）,

数据散点图如图所示.他们观察发现，这些点大致分布在一条2形折线（由线段6和人组成）附近，其中

4所在直线是由I、II区的点得到的回归直线，方程为3=R+&,其中右=上11------——，a=y-bii

西-刁

/-I

4所在直线是由II、川区的点得到的网归直线，方程为y=0.02工+14.64.

以卜是他们在统计中得到的部分数据:

1706S=480：

咚f1M=4721,XV=•

i»l/-I，=I

303030

II区：Zw，=4713,=5134,^x,=266,Z%=252.

（1）根据上述数据求G］的值:（结果保留两位小数）

（2）根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度（单位：个/mm，）为多少时最终用药剂量最少？（结

果保留整数）

（3）事实上，使用该升血药的大盘数据表明，当白细胞浓度在0-4000个/mm，时，首次用药时白细

胞浓度越高，最终用药剂量越少,请从统计学的角度分析（2）的结论与实际情况产生差异的原因.（至少

写出两点）

公**胆4721-16x10x30八）“9434-30x14.5x24,9434-30x14.2x24.4

参考数据：-------------«-0.745,----------------1.889,-------------------：—=7.214.

1706-16X1026840-30x14.5:6840-30x14.22

30+0.745x10=37.45,24+1.889x14.5«51.39,24.4+1.214x14.2«41.64.

M数学试题第4页（共5页）

21.（12分）

已知函数/（切=（》+3）「+2x.

（1）证明：/（x）恰有两个极值点：

⑵若/（x）Wo?+3,求。的取值范围.

22.（12分）

已知椭圆力：＞0）的左、右顶点分别为48,。为坐标原点，宜线/:x=l与C的两个

交点和0.8构成一个面积为卡的菱形.

（1）求C的方程：

（2）圆E过0,8,交I于点M,N,直线4W,/N分别交C干另一点尸,。，点S,「满足而=g/，

犷=；匝，求。到有线ST和直线PQ的距离之和的最大他

M数学试题第5页（共5页）

高三诊断性练习

数学参考答案及评分细则

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数

的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算一每小题5分，满分40分。

I.C2.D3.D4.B5.A6.A7.C8.C

二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分。全部选对的得5

分,有选错的得。分，部分选对的得2分。

9.AD10.BD11.ABD12.BCD

三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分,

13.y=x14.—15.16.-nR2；nRz

229

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤一

17.取、题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识,

考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考

查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性.满分10分.

解法一：选①6sin.4+acos5=0,

在△/8C中，由正弦定理得sin8sin4+sin/cos8=0,....................................2分

因为0</<兀，所以sin力工0,

所以sin8+cosB=0,......................................................................................................4分

显然cos6工0,所以tan8=-1,.....................................................................................5分

因为0<8<3,所以8=辿..............................................6分

4

因为cos/=之〈立，

52

又因为y=cosx在（0,兀）单调递减，所以/1>色，............................8分

4

所以/+8>江，与△力8c内角和为兀矛盾.

所以，不存在符合题意的△/8C................................................................................10分

解法.：选①bsin/+acos5=0,

在△48。中，由正弦定理得sin8sin/+sin/cos8=0.....................................2分

因为0</<江，所以sin/HO,

所以sinB+cos8=0,......................................................................................................4分

所以0sin（8+=）=O.....................................................................................................5分

4

数学参考答案及评分细则第1页（共15页）

18.本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运尊求

解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化内与转化思想、分类与整合思想、函数

与方程思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性.满分12

分.

解法一：(1)由57-1=5#+2册,

得S0+i-S“=2%+L则4+[=2a“+l,.............................2分

所以％+1+1=2(。”+1)................................................3分

①当q+1=0时，｛%+1｝不是等比数列，符合题意；........................4分

2rt-l

②当q+1工0时，&+1=2(册“4-1)=2(a„_2+1)=•••=2(al+1)#0»

所以色包土1=2,所以｛%+1｝是首项为4+1,公比为2的等比数列，与已知矛盾.

册+1

................................................................5分

综上，«|+1=0,从而a“+l=0,BPan=-1..............................6分

(2)因为q=1,则勺+1=2,由(I)知匚+1｝是首项为q+1,公比为2的等比数列，

°“+1=2"，所以勺=2"-1............................................7分

设插入的所有数构成数列｛5｝,则％=2〃-1,............................8分

因为1+2+3+…+8=36,36+9=45<50,

1+2+3+…+8+9=45,45+10=55>50,

所以，%也，…也°中包含｛%｝的包9项及6｝的前41项,....................9分

所以4=(q+02+…+劭)+(。+。2+…+C#)...........................10分

=(2-l)+(22-I)+-+(29-D+41X1+^^X2

2

2(1-2)c.tzr>«*%IO■•.txn«c,c4/V

19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,直线与平面所成

角等族础知识：考荏空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考荏化归与转

化思想，数形结合思想，函数与方程思想等：考花直观想象，逻辑推理，数学运算等

核心素养;体现基础性和综合性.满分12分.

解法一：(I)如图，过点£作E尸〃/8,交8c于点产，

连结/户交8f于点O,连结PO,PF.......................................................................I分

因为底面/SCO为矩形，且=P

所以四边形力8年为正方形.

所以/尸18£,AB=BF..................................2分/'：\

乂因为/PBA=NPBC,PB=PB,/、i\

所以APBZWAPBF,所以=/-'A---\/

I"为"为AF的'I'点,所以PO_L................4分-'V¥

因为Pon8£=o,PO,BEu平•而PBE,

所以4FL平面PBE,......................................................5分

因为/尸u平面458,所以平为*JL平面/BCD...............................................6分

教学参考答案及评分细则第4页(共15页)

(2)设。£=1,则。8=/8=/£=2.

因为NPa1=60'，所以出为等边三角形，所以4=2.

在正方形力8/芭中，AF=BE=24l，AO=BO=4l，

在中，PO2=PA2-OA2=2,所以尸O=VI.

所以「O:+062="^,所以NPO8=90,所以PO_L5£.

因为平面P8E1平面彳8CO,且平面P8ED平面"CO=8£,POu平面尸8E,

所以PO1平面/8CO....................................................................................................7分

以。为原点，分别以焉，BC'，而为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空

间直角坐标系..........................................................8分

则6(10),尸(0,0,JI),C(l,2,0),£>(-1,2.0),

所以而=(一]]>/?),5?=(1,-2,72),PC=(1,2-VI)............................................9分

设平面BPD的法向量为〃=(x,y,z),

则@=0,即卜+二£=0.

[DP-/r=0,[x-2y+V2z=0./\\

取"3净，..................I。分；

设直线PC与平面所成角为6,则4―7

所以,直线PC与平面皿所成角的正弦值为察.......................12分

20.本小题主要考查回归分析等基础知识;考依数学建模能力,运算求解能力,逻辑推理

能力，创新能力以及理解和表达能力等：考查统计与概率思想，函数与方程思想等;

考查数学抽象,数学建模，数据分析和数学运算等核心索养：体现综合性，应用性和

创新性.满分12分.

3Q1630J01630

解：(1)因为=9434.2户£.、广+£炉=6840,

l»l/»17»"1/«|4«17

3(2部卜”餐停苕》244,....................2分

X('L可(M-刃「亍9434-30*14,2x24.4

£x,y1s

所以'三一1.214,4分

y(v,-x)2yx/-/ix26840-30x14.2,

/aI/•1

所以占=歹-加=24.4+1.214x14.2,41.64，

a=41.64^=-1.21-.......................................................5分

⑵由(1)知。=41.64$=-1,21,所以4的方程为y=T.21x+41.64.

^=-1.21.v+41.64,

联立7分

7=0.02x4-14.64,

解得x=21.95,8分

所以首次用药时的白细胞浓度为2195个/皿？时,最终用药剂敢最少.........9分

(3)本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可.如：①一次取

样未必能客观反映总体：②样本容依过小也可能影响估计的准确性；③忽略异常点的

影响也可能导致估计失欢：④模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计

失真；⑤样本不具代表性，也会对估计产生影响.等等....................12分

21.本小题主要考查导致,函数的唯调性、极值，不等式等基础知识：号作逻辑推理能力，

直观想象能力，运算求解能力和创新能力等：考件函数与方程思想，化典V转化思想,

数形结合思想，分类打整介思想等：考代逻辑推理，宜观想象，数学运算等核心素养；

体现综合性和创新性.满分12分.

解法一：

(I)依题意/(x)的定义域为R，/<x)=-(x+2)c,+2,/M(x)=(x+l)e\•…1分

当xw(-Lxo)时，/"(力>0,所以/心)在(-1,2)单调递增，

当时，/"(x)<0,所以/1x)在(-00,-1)的调递减.................2分

又因为/'(-l)=2-c<0,/,(0)=0,/*(-2)=2>0,

所以r(x)在(7,-1)恰有1个零点小,在(-1,e)恰有1个零点0,............4分

且当xw(-oo.xj时./'(x)>0.当'«凡,0)时，/*(x)<0,当xw(0,+oo)时,/'(x)>0,

数学参考答案及评分细则第7页(共15页)

所以〃x)在(-CO,%)单调递增,在(%,0)单调递减,在(0,用)单调递增，

所以/(X)恰有一个极大值点与和一个极小值点0，

即/(力恰有两个极值点：................................................5分

(2)由/(x)4a/+3得，(x+3)c1<ax2—2x+3»即(ad-2x+3)e*Nx+3,

设g(x)=(axJ2x+3)e，-x-3.

①当时，因为.//NO,

2

丹f以g(x)=aPc'+(3-2x)e<-x-3>^-x2ex+(3-2x)cJ-x-3.................6分

设"”=(312—2工+3卜'一'一3,则〃'(X)=(；/一工+1卜'-1,A"(x)=^x2e'>0,

所以於(x)在(yo,xo)单调递增.又因为〃(0)=0,

所以当X€(0,+8)时，〃(工)>0,所以力(工)在(0,也)单调递增，

当X£(7C,0)时，/(x)<0,所以"x)在(YO,Q)单调递减,

所以人(、)2仅0)=0,所以g(x)20,即/(x)4以?+3,符合题意：............8分

②当0<a<；时，则8(力=(a-+2(a-l)x+l)c'-1,

g"(x)=(ax:+2(2a-l)x+2a-1Je".........................................10分

设0(x)=aP+2(2a-\)x+2a-1»

A=4(2a-l)*-4«(2tj—l)=4(2a—l)(a—1)>0>

所以p(x)恰有两个零点X",,J1,=—<0.

Va

所以西<0<々，且当xe(O,&)时，e(x)<0.

所以当xw(O,xJ时，g"(x)<0,所以在(0,占)单调递减，g'(x)<g'(O)=O,

所以g(x)在(0①)单调递减，

所以当xw(O,x?)时，g(x)<g(O)=O,

即/(*)>以2+3，与/(x)«ar+3矛盾，不合题意：.......................11分

③当a40时，g(x)^(3-2x)eJC-x-3,

所以g(l)«e-4<0,即/⑴>a+3与<⑴4a+3矛盾,不符合题意：

综上，a的取值范围为：；,+«)..........................................12分

22.本小题主要考查帏圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面

向僦等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等：

考查数形结合思想，函数与方程思想，化归，转化思想等：考查直观想象，逻辑推理，

数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性.满分12分.

解法一：（1）因为直线，:x=l与C的两个交点和0,8构成的四边形是菱形，

所以/垂直平分所以5（2,0）,4=2.....................................................1分

设。（1,%）为直线/与C的一个交点，则菱形的面积为*2x123=2闻.....