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参考答案

第一章集合与常用逻辑用语

1.C解析由已知集合、=(一2,2),8={—1,0,1,2,3},所以AI8={-1,0,1}.故选C.

2.D解析由5=„?3或％?2},T={x|x>0},得SIT={x[O<x京！]2或％3}.故选D.

3.C解析因为3={R(X+1)(X-2)<。’xeZj=|x|-l<x<2,xeZ},

所以3={0,1},所以AU8={0,1,2,3}.故选C.

4.{-1,2}解析由交集的运算法则可得AIB={-1,2}.

5.C解析由题意，A=(0,+co),B=(-l,l),所以AU8=(—1,+8).故选c.

6.(2,4)解析由题意-I<x—3<1,即2<x<4,则解集为(2,4).

7.解析由题意，AIZ={-2,-l,0』,2}.故其中的元素个数为5.故选c.

8.D解析由题意可得3={1,4,7,10},则AI8={1,4卜故选D.

(31(3、

9.D解析由题意可得A=(l,3),B=-,+oo,所以AIB=-,3.故选D.

10.B解析因为Q={xeRR…4卜所以40={x|为<4}=(—2,2)，所以

(4。)U尸=(一2,2)U[l,3]=(-2,3].故选B.

H.A解析由直线。和直线b相交，可知平面制.有公共点，所以平面a和平面少相交.反过来，如果平面a和

平面P相交，直线a和直线b不一定相交，可能与两平面的交线都平行.故选A.

12.A解析由题意“2>io“>i或。<一1,因此〃>1=>/>1，/

故选A.

13.A解析画出可行域(如图所示)，可知命题“中不等式组表示的平面区域△ABC在命

题p中不等式表示的圆盘内所以g(j故选A.

_22

14.D解析命题的否定，先否定量词，在否定结论.D的否定是m的否定是D,n...x的否定是.

故原命题的否定形式为mxeR，V〃eN*,使得〃.故选D.

第二章函数

1.log2(x-l)解析由题意/+i=9.故a=2,从而/(%)=1+2”，

-l

所以x=log2(yT)儆/(x)=log2(x-l).

2.[-3,1]解析由题意得3-2x-f…o,解得—3瓠X1,因此定义域为[一3,1].

3.2；解析设函数y=d-3x(xeR),得y=3(%+lX%T),

所以函数y在(H°，-1),(L+C0)上均是增函数，在(T,l)上是减函数，

当且仅当x=-1时，y极大值=2,当且仅当x=l时加卜值=_2-

从而可作出函数y=£-3x(xe2及y=-2x(xeR)的图像如图所示.

由图可知：

⑴若a=O,1rax=〃-1)=2；

(2)当〃...一1时，/(X)有最大值/(一1)=2；当a<-l时，-2%在时无最大值，

且-2a>(3-3x)mu，所以"一1，即。的取值范围是(—8,T).

4.解析(1)由”...3,所以当儿，1时，(x?—2ox+4a—2)—2|x—=J+2(a—1)(2—x)>0,

所以此时产(1)=2,一1|；

当x>l时，(尤2一2奴+4a-2)—2|x—l|=(x-2)(x-2a)①.要使①式小于等于O,即2WxW2a,

所以此时F(x)=-2以+4。-2.

由上所述使得等式F(%)=V-2G+4。-2成立的工的取值范围为[2,2a].

(2)(i)设函数/(%)=2,一1],g(x)=x2-2ax+4a-2,

则〃%=〃1)=°，g(%=g(。)=一,+4”-2,

所以由尸(%)的定义知机(a)=min{/(l),g⑷},当/(l)wg(a)时，解得3WaW2+收；

，小/、、|0,3领I。2+V2

当/(l)>g®时,解得a>2+，2.即加(。)={

—ci~+4a—2,a>2+>/2

(ii)当2时，F(x)=/(x)=2|x-l|,所以F(x)在x=O或x=2时取得最大值为

F(0)=F(2)=2;

当2翁氏6时，F(x)=g(%)=x2-2ax+4a-2=(x-a)--a2+4a-2,

所以尸（x）在两端点x=2或x=6时取得最大值./（2）=2,F（6）=34-8tz,

所以当3wa<4时，有尸（2）<尸（6）；

34—8。,3»〃<4

当时，有F（2）》F（6）,所以A/（a=《

2,a...4

5.2x+y+l=0解析解法一：先求函数/（%）在x>o上的解析式，再求切线方程.

设无>0,则一1<0,又/（r）=hu-3x=/a）,所以/q）=hu-3xa>0）,

/，（X）=_L_3,/（I）=—2,所以y=/（x）在点（1,一3）处的切线方程为了+3=-2（%-1）,即2x+y+l=0.

X

解法二：由函数性质来求切线方程.因为/㈤为偶函数，所以若/（X）在点卜。,/［。））处的切线方程为）'二h+氏则

川）在点（一玉,"（一X。））处的切线方程为）'=-&+瓦因此，先求出y=/（x）在点（一1,一3）处的切线方程.

又f（x）=，+3（x<0），得/（—1）=2,所以/⑺在点（一1,一3）处的切线方程为丁二2%一1,

所以/㈤在点（1,一3）处的切线方程为）'二一2工一1,即2x+y+l=0.

c11lie

6.C解析选项A错误：因为%>丁>0=—<一=-----<0；

xyxy

选项B错误：三角函数）'=5皿%在（0,48）上不是单调的，所以不一定有sinx>siny.举反例如,

当x=y+2n>y>0时，sinx-siny=0；

选项C正确：由指数函数/（/）=（；）是减函数，可得x>y>0=（；）<（；）一<0；

选项D错误：举一个反例如，X=e,y=满足％>y>o,但lnx+lny=o.

e

故选C.

7.解析（1）由题意log2（'+5卜0=log21,即工+5>1,整理得生土1>0,即x（4x+l）>0,

\XJxx

故不等式的解为1x|x>0或尤<-［］；

14.

（2）依题意log2（，+a）=log2［（a-4）x+2a-5］,所以1+a=（a—4）x+2a—5>0,①

整理得（a-4）f+（a—5）x-l=0,即（x+l）［（a-4）x-l］=0,②

当a=4时，方程②的解为％=—1,代入①式，成立；当4=3时，方程②的解为x=-l,代入①式，成立;

当且a，4时，方程②的解为％=—1或」;，

々一4

若x=—l为方程①的解，则,+。=。-1>0,即a>l,若》=1为方程①的解，则，+a=2a-4>0,即

Xa—4X

a>2.

a>1。，，14C

要使得方程①有且仅有一个解，则%2或"2,即“"2.

综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为1<〃力2或4=3或0=4.

11flXlog1、

〉—〃+

（3）当0<再<42时，—FaF,log22—十。

工2)工27

所以/（X）在（0,”）上单调递减.因此/（X）在g+1］上单调递减.故只需满足/（力―+1,

BPlogJ-+<7j-10g

2+。1,所以一+。,，2

12\-t

即a...---------=———,设1—t=r,贝ijre0,—,

tZ+12(+1)(l-r)(2-r)r2-3r+2-

1

；当小，时，2=又函数：在（）递减,

当r=0时,=00<gr-3r+2r+2_3,y=x+0,0

r2-3r+2

r

112

21Q二一---------------------------2

所以/■+=..=+4=:.故2J9)3.故〃的取值范围为。…彳

r22r+——3一一33

r2

评注第（3）问还可从二次函数的角度考查，由1+Q,,2|-!1-+6Z

整理得〃广+（a+l）f—1.・0对任意

1

t€一,1成立.因为Q>0,函数y=〃/+11+1）£—1的对称轴=-------<0,故函数在区间-,1上单调递

22a2

131322、

增.所以当『=一时，y有最小值一〃一一,由一”--...0,得a…一.故a的取值范围为一,+8.

24、2423|_3）

一2解析由题意得/一55’2、2_1_1

8.=f5~2

527To

q

由/2',可得4=3,则/(5a)=/(3)=/(_l)=_l+a=_2

「工2>5

1-cos2x,.cos2x

9.B解析由f(x)=sin2x+Z?sinx+c=-------------F/?sinx+c=----------+bsinx+c+-，

222

y=cos2x的最小正周期为兀，），=5出工的最小正周期为2兀.

当｝=。时，/（x）=_£2|^+c+g,此时/（力的最小正周期是兀;

当｝WO时，此时/（1）的最小正周期为2兀，所以人影响/（工）的最小正周期,

而。为常数项不影响/W的最小正周期.故选B.

10.D解析由/%+;=/X--知，当x>J■时，/㈤的周期为1,所以/⑹=/（1）.

II2）2

又当T缴1时,/(-x)=-/(x)，所以/(I)=-/(-1).于是/⑹=/(1)=-/(-I)=-[(-炉-1]=2.故选D.

11.解析由题意得了(_»/(—右)=>一24">—0=2'”"=>

故选C.

12.解析⑴/(x)的定义域为,+eZ>.

/(x)=4tanxcosxcosx-—一百=4sinxcosx---A/3-

I3/x.3J

4sinx-COSX+—sinx-V3=2sinxcosx+2A/3sin2x-73=

122

sin2》+6(1-8$2力-石=5出2X-石(：052%=25耳2%-；]所以/(6的最小正周期7=21=兀.

(2)令Z=2x-]，函数)'=2sinz的单调递增区间是一]+2E,]+2E(ZeZ).

由一二+2依鼓！]2x—工—+2^n>得一•—+knH!J.r—+kn>keZ.

2321212

7171

设4=B-<x—三+而领jx—+kn,keZ>>易知AIB--•—

4,41212124

71(71]71T7t7Cn/\7C7T71兀

又一77—一二=7<-，所以当xw时，/（x）在区间一上单调递增，在区间一，上

1214J6244J'）L124j412

单调递减.

13.B解析依题意，可得三=工.（24+1）,左GN,且变一2L”工，即T…二.

24、7361826

故2k+1”12,keN,即％,,”,keN.当攵=5时，7=生.又二—女=至＜2,

211184114436

,“、，兀兀），2K7if7i

因此"6在匕，最5,上不单调.当%=4时，7丁27r且7丁i区=记乜名】

7T兀57r兀5兀、'因此〃“）在看知

又-----=—走上单调，则①的最大值为9.故选B.

,

49361836.

14.4；2解析设logba=f,因为a>b>l,则r>l.由题知r+[=*,解得f=2,所以〃=从.由

t2

将带入，得b"=b",2b=b2,得｝=2,4=4.

fWW122

15.A解析由。=2§=4"b=V,得a>b,由c=25,=5,>如，则C>。因此c>a>h.故选A.

16.C解析对于选项A：由于。<c<l,所以函数)'=f在(0,+8)上单调递增.由a>b>l,得，>片

故A错误.

对于选项B：要比较由与时的大小，只需比较巴与色的大小.构造函数，因为a>h>l,所以呸>1，

b⑴•(切b

因此函数HP在R上单调递增.又O<C<1,所以(?)<£，即加.故B错误.

对于选项C：要比较abg/与Mog“C的大小关系，只需比较必与口畛的大小，即比较Mn8与alna的大小.构

b\nba\na

造辅助函数〃x)=xlnx,f'(x)=lnx+l.令/'(x)=0得x=1.函数在上单调递增，因此，

若a>h>l,得alna>Mn/?,故一1-<—L-.又lnc<0,所以龙邑>包邑，即处£>生上，

a\nahlnha\nah\nh\naInfo

得从og“c>alogbc.故选项C正确.

对于选项D：比较log/与log/的大小，只需比较巫与叵的大小，即比较Ina与In匕的大小.又

InaIn/?

得lna〉ln》〉0,所以」_<_L.又lnc<0,得巫>红，即log.c>log；,c.故选项D不正确.

InaInAInaInZ?

综上可得.故选C.

17.解析(1)由题意Iog21+5>0=log21,即，+5>l,整理得生l>0,即%(4%+l)>0.

kXJx尤

故不等式的解为木>°或“<—>；

(2)依题意log2(，+a)=log2[(a-4)x+2a-5],所以工+a=(a—4)x+2a—5>0,①

整理得(a-4)d+(a_5)x-l=0,即(x+l)[(a-4)x-l]=0,②

当a=4时，方程②的解为％=—1,代入①式，成立；当a=3时，方程②的解为x=—l,代入①式，成立；

当且时，方程②的解为x=—1或」;，若x=—1为方程①的解，则，+a=a—1>0,即。>1,

a-4x

若x=」一为方程①的解，则,+。=2。-4>0,即a>2.

<7-4X

a>1/a,,1y-

要使得方程①有且仅有一个解，贝".或<C，即2.

a„2\a>2

综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则〃的取值范围为2或4=3或a=4.

11

(3)当0<再<巧时,--FQ〉---FQ,log,—+a>logj—+a

")"J

所以在(o,+x>)上单调递减.因此“X)在[rj+1]上单调递减.故只需满足/(%)-/(f+1)”1,

BPlog2^+aj-log1（1

2+a„1所以-+a”2—-+a

t（f+1

121—，11—/rv

即"—77T=百'设j=「'则7（771）=（i-r）（2-r）=7^71-

1

=厂+乙,又函数y=x+：在(°，、反)递减，

当r=0时=0；当。<小，5时，2-3r+2

，r2-3r+2r

112

21Q---------------------=-2

所以〃+L5+4=5.故『+2一3”9一33•故〃的取值范围为.…§

r2

1

评注第(3)问还可从二次函数的角度考查,由一+%,整理得+(a+1)—1…。对任意

11v

tw—,1成区.因为a>0,函数y=Q厂+(。+1)/—1的对称轴I。=-----<0,故函数在区间上单调递

22a

增.所以当/二,时313172

y有最小值一。—,由一。—...0,得。…一.故a的取值范围为一,+8

2424233

18.D分析对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.

解析设〃力=2》2_别，由〃2)=8-e2G(0,1),可排除A(小于O),B(从趋势上超过1)；

又xw（0,2）时，/'（x）=4x-e"/,（0）-//（l）=-（4-e）<0,

所以/(X)在(0,1)上不是单调函数，排除C故选D.

评注排除B选项的完整论述，设g(x)=/'(x),则g'(x)=4-e-由g'⑴>0,g'⑵<0,可知存在$w(l,2)

使得g'(Xo)=O且xe(/,2)时g'(x)<0,所以/'(X)在(7),2)是减函数，即xe(x(),2)时/(x)切线斜率随％的

增大而减小，排除B.

19.A解析因为函数y=ln%,y=e”的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；函数y=f的图像上任何一点的

切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具

有了性质.利用排除法.故选A.

20.B解析由〃-x)=2-/(x)得，关于(0,1)对称，而尸号也关于(0,1)对称，所以对于

每一组对称点有X,.+=0,y.+y.'=2，所以>[(%-+»)=>,=。+2-弓=加.故选B.

<=11=11=12

21.解析①不成立，可举反例.增函数加增函数必为增函数，增函数加减函数未必单调递减，这跟速度有关，因此可

以举分段一次函数的形式，从速度快慢上控制.

(c,(2x4-3,X”0

.、2x,x„\/、(-x,x„()

如：/(%)=<c,，g(x)=〈T+3,0<x<1,//(%)=<^z故①错误.

—x+3,x>1c,2x,x〉0

i2x,x...li

②由题意/(x)+g(x)=/(x+T)+g(x+T),/(x)+/z(x)=/(x+r)+/z(x+T),

g(x)+h[x)=g(x+T)+h(x+T),前两式求和后与第三式作差得/(x)=/(x+T),

同理可得g(x)=g(x+T),h[x)=/i(x+T).故②正确.故选D.

评注按照②的逻辑，得到了(£)有一步是将增函数减去增函数，初想其未必就一定是增函数.

22.②③解析对于①，若令4(1,1),则其伴随点为Ag,；,而4匕,-刈的伴随点为(-1,-1),而不是尸.故错

误；

对于②，令单位圆上点的坐标为尸(cos%,sinx),其伴随点为P(sinx,-cosx)仍在单位圆上.故②正确；

对于③，设曲线/a,y)=o关于％轴对称，则/a,—y)=o对曲线/a,y)=o表示同一曲线，其伴随曲线分别为

\/、

一x—y—x

y=0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为

o2'o2—0与./-222

厂+yx+yJ(x+yx-+y-)

)'一-y-x

=0的图像关于y轴对称，所以③正确;

72'22=0与/-2，~2

(x+yx+y+/2元+力2

对于④，直线)=&+6上取点得，其伴随点y-X消参后轨迹是圆.故④错误.所以正确的序号为②③.

(x2+y2'x2+y2

第三章导数与定积分

1.解析⑴/'(x)=-2asin2x-(tz-l)sinx.

(2)当“…1时，|/(x)|=|acos2x+(a-l)(cosx+l)ka+2(a-I)=3a-2=/(0).

因此A=3cr—2.当0<a<l时，将〃”变形为/卜)=2<7852I+(4—1)(：05T一1.

令g(f)=2"+(a-l)f—1,则A是|g(小在［-1,1］上的最大值,g(-l)=a,

g(l)=3a-2,且当f=p时，g(f)取得极小值，极小值为=_］=_tr£a+l

令一1〈匕凹<1,解得q>—」且所以”>•1.

4a355

(i)当0<a”/时，g(/)在(一1,1)内无极值点，|g(—l)|=a,|g(l)|=2—3a,|g(-l)|<|g(l)|,所以A=2-3a.

i__1__ix2+6x+11)

(ii)当Lvavl时，在同一坐标中画出函数丁=%，y=,y=---------在>+8上的图像.

5ox5)

ttz~+6。+1

由上图，我们得到如下结论当上<a<l时，A=--——

58。

2-3a,Q<a„

5

ci~+6a+11

综上，<1.

8a

3a—2,a>1

（3）由（1）得=k2asin2x-（a-l）sinx，2a+\a-\\.

当0<a,,2时，|f'（x）|?1+a?2—4a<2（2—3a）=2A；

当!<avl时，A=-+—+所以『（x）|?l+a<2A；

当a对时，|/'（x）|?3a-1?6a—4=2A.所以2A；

综上所述有2A.

2.2x+y+l=o解析解法一：先求函数/•）在x>0上的解析式，再求切线方程.

设x>0,则一x<0,又/（一%）=山%-3]=/（»,所以/（%）=liu-3xa>0）,r（x）=l_3,八1）=一2,

X

所以y=/a）在点（1,一3）处的切线方程为丁+3=-2（1-1）,即2x+y+l=0.

解法二：由函数性质来求切线方程.因为/（划为偶函数，所以若/.）在点处的切线方程为了二"+，，则

川）在点（一%,/（—%））处的切线方程为）'=一九+瓦因此，先求出>=/（%）在点（一1,一3）处的切线方程.

又/，（X）=_L+3（X<O）,得/'（—1）=2,所以/（力在点（一1,—3）处的切线方程为y=2x-l,所以/（或在点

（1,一3）处的切线方程为）'二一21一1,即2x+y+l=0.

3.l-ln2解析y=lnr+:的切点为（与In%+2）,则它的切线为y='-x+ln%+l.y=]n（x+l）的切点为

(为111%+2),则它的切线为：y="jx+ln(x2+l)

1_1

x,+11

所以《,解得玉=万，w--,所以力=ln%+I=l-ln2.

21

InXj4-1=In(x2+1)——邃j

4.A解析因为函数)'=ln%,y=e’的图像上任何一点的切线的斜率都是正数;

函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这

两点处的切线互相垂直，即不具有丁性质.利用排除法.故选A.

/f(2)=-&-2+b=e-1

5.解析(1)由题可得r(x)=e"«l—％片。.再由题设，可得<,〃2，解得

[/(2)=2价+0=2⑨4)

a=2,h=e

(2)由⑴的解答及题设，可得/'(x)=e2T(l—x)+e,/'(x)的导函数(/'a))'=e2f(x-2).

所以函数/'(%)在(一00,2)上是减函数，在(2,+。。)上是增函数，

所以r(x)min=/'⑵=eT>0,即/'㈤>0对xeR恒成立,

所以函数/(x)的单调递增区间是(一0°,+0°),无单调递减区间.

八2)=-e"-2+b=e-1

6.解析⑴由题可得/'(x)=e"T(l-％)+江再由题设，可得<

/(2)=2ea-2+2/?=2(e-l)+4,

解得a=2,b=e.

(2)由⑴的解答及题设，可得/'(x)=e2T(l—x)+e,/'(x)的导函数(/'(%))'=e2-x(%-2).

所以函数/'(%)在(一00,2)上是减函数，在(2,+助上是增函数，

所以r(x)min=r(2)=e-1>0,即/'(%)>。对XeR恒成立,

所以函数/("的单调递增区间是(-8,+&>),无单调递减区间.

7.解析(1)证明：由己知得，函数的定义域为由已知得，、xw-2.

因为所以v九一24

"x)=£|e',r(x)=e/--------4-

x+2(%+2口(x+2)2♦

因为当正(一,一2)11(-2,+8)时，/'(%)>0,所以〃6在(，》,-2)和(一2,+8)上单调递增，所以当x>0

时，|^|e'>/(0)=-1,所以(％―2)e'+x+2>0.

,、(ex-a\x2-2x(ex-ax-a］x(x&'-2ev+ax+2a\+x+2&+")

(2)由已知得，g'(x)=-----1------，----------△----------------------1=-------------------------,

XXX

ae［O,1).

解法一：记〃(力=三|^+4,因为/z(0)=a-l<0,/z(2)=a..0,所以由(1)知力卜)在［0,2)上存在唯一零点.

记零点为小，即人(%0)=°，则g(%)在(0,%)上单调递减，在(即2)上单调递增.故%为g(%)的极小值，此时极

小值为g(x0).

因为血二e"+a=O,所以a=一员二e~e[0,

1)=>x0e(0,2].

%+2%+2

工()X()

记P(x。),,则户(*0)=叫/+2)二=_A±l_e^>0.

一〃(%+2)2(/+2)-

x0+2

(1e2

所以P(%o)在为402］上单调递增，所以尸(%)e

(24

x—2

解法二：由⑴知，当x>0时，/(x)=.e，的值域为(-1，+8)，只有一解，使得Lzl.e'=-a,t&(0,2]

x+2

当％e(0,。时,/(x)<0,g(x)单调递减;当％£&+8)时，g'OO,g(力单调递增.

/

e

-

£+2

乂苧>0,所以耳。单调递增，所以〃(a)=%(f)e1e2

记后，在芯(0,2］时，小)=：

2,~4

\

8.解析(1)由/(X)可得/'(%)=3(%-1)2_Q

下面分两种情况讨论：

(i)当。”。时,有/'(x)=3*—1)2-a..0恒成立，所以/G)的单调递增区间为(e,中功.

(ii)当Q>0时：令/'(X)=O,解得RulH----或X=1-----.

当％变化时，/'(x)，/㈤的变化情况如表所示.

卜」-千,y/3a1+半'\l3cir,技]

X1---------1H-----

3313J

小)+0—0+

/(X)/极大值X极小值/

1+叵+/

所以/U)的单调递减区间为1—节，1+

，单调递增区间为一。。,1一

3)

(2)证明：因为/(%)存在极值点，所以由(1)知。＞(),且

2

由题意,得/(%)=3(飞-l)2_a=0,SP(x0-l)=11进而/(莅)=(/_］)3_"_)=_,/告_＞

乂/(3-2%)=—彳/—/_》=(2-2%)—tz(3—2x0)-Z?=^(l-%0)+2ax0-3a-b=/5)，

且3—2马力瓦，由题意及(1)知1,存在唯一实数满足/(毛)=/($),且％I。%,因此占=3-2拓，即占+2%=3.

⑶证明：设g(x)在区间［0,2］上的最大值为■,max”,y)表示％,》两数的最大值.

下面分三种情况讨论：

⑴当0…3时，1-叵釉＜21+—,

33

由⑴知，/(1)在区间［Q2］上单调递减，所以/。)在区间［0,2］上的取值范围为［/(2),/(0)］,

因此弘=11^*{|/(2)|,|/(0)|}=111&*{|1-24-勿,|-1-}|}=111数{|4一1+(6+历|,|〃一1一(4+3)|}=

a-l+(a+b),a+b..O,所以M="1+|”+2.

ci—1—(a+b),a+Z?<0

由(1)和(2)知，/(O).../+，/⑵”/1+=f

所以/㈤在区间［Q2］上的取值范围为

因此M=max</[1+^^--->/3«a-Z?||=

=max<

—-(6z+Z?)|,|^5^a23、3d」

max<

94V44

,34A125/3aV3a>/3a

(iii)当0<a<士时，0<1------<1------<1+----<1+-----<2,

43333

所以/(%)在区间［0,2］上的取值范围为［/(0),/(2)］,

因此A/=max||/(0)|,|/(2)||=max||—1—Z?|,|l—2tz—Z?||=

1

maxjl—a+(a+Z?)|Jl—a—(a+Z?)}=1—a+|a+4>—.

4

综上所述，当a>0时，g(x)在区间［0,2］上的最大值不小于5

9.解析(l)/,(x)=-2tzsin2x-(tz-l)sinx.

(2)当。…1时，火》)=|acos2x+(a—l)(cosx+l)|wa+2(a—l)=3a—2=/(0).

因此A=3c—2.

当0<a<l时，将/(%)变形为/(x)=2«cos2x+(a-l)cosx-l.

令g(r)=2ar+(a-1),一1,则A是|g⑺|在上的最大值，g(—l)=a,

g(l)=3a-2,且当f=f时，g(f)取得极小值，极小值为g(宁)=-("；I_]=_。2蓝a+1

令一1〈匕q<1,解得〃>—■!■且q>L,所以a>>L

4a355

⑴当O<a"&fl寸，g(f)在(一1,1)内无极值点，=a,=2-3a,,所以A=2-3a.

i__।।x2,+6x+11、

(ii)当L〈avi时，在同一坐标中画出函数y=x,y=|3x—2],y=-------在+8上的图像.

5oX5)

1.6Z"+6。+1

由上图，我们得到如下结论当上<a<l时，A=--——

58a

2-3a,0<a”—

CL+6a+11

综上,------------,-va<1.

8a5

3a-2,a>1

(3)由(1)得，(x)|=k2asin2x—(c—l)sinx，2a+|a-1|.

当0<a,,g时，|/'(x)|?1+a?2-4a<2(2-3a)=2A；

当，<<z<l时，A=-+—+所以，(x)|?l+a<2A；

588c/4

当a对时，|/'(x)|?3a-l?6a—4=2A.所以2A；

综上所述有2A.

10.解析(1)证明：由已知得，函数的定义域为由己知得，x^-2.

x-24、x2ex

因为/(x)=£|e、，所以r(x)=e'-----+

x+2(尤+2口(尤+2广

因为当％e(Y,—2)U(—2,+8)时，/'(x)>0,所以〃x)在(一8,—2)和(一2,+8)上单调递增，所以当

x>0时，—eA>/(0)=—1,所以(％—2)e"+x+2>0.

(X-2,)

-24+ar+勾_(x+2)——e+a

(e"Q)x2Rfe-or-tz)](年才lx+2J

(2)由已知得，g'(x)

X4X4x3

as[0,1)

x—2x

解法一：记〃(x)=-----e+a,因为//(O)=Q—1<0,从2)=U・..0,所以由⑴知贴)在［0,2)上存在唯一零

x+2

点.记零点为七,即〃(毛)=0,则g(x)在(0,毛)上单调递减，在1，2)上单调递增.

故&)为g(力的极小值，此时极小值为g(%).

因为％Ee~+a=0,所以。=一士工e&e

[0,1)=>x0e(0,2].

%+2%+2

%-2

/、e"

_e%-tz(x+1)*0+2铲

所以()0

gM22

X。■V%+2

e%炉'(而+2)-9>x0+l

记P(玉)逅，，则尸'(莅)=石。">0，

(X0+2)2(%+2)

1e2

所以月(七)在小€(0,2］上单调递增，所以尸(%)e一,--

24

解法二：由(1)知，当x>0时，.y(x)=Wg.e'的值域为(一1，+8),只有一解，使得消©=—a,/£(0,2]

当％e(Oj)时,g'(%)<0,也)单调递减；当％e(E,+8)时,g'(%)>0,怨)单调递增.

e，+(f+l)匕，

〃⑷二巴约、。+2.e

2t+2'

ee'”+l)

记M')=77i，在‘4°，2］时，％'(，)=