《正定矩阵在实际生产中的应用研究》11000字

-2-第1章绪论1.1研究背景本节介绍课题的研究背景。1.1.1选题背景矩阵的思想历史悠久，早在很久之前，就有相关文献第一次出现了矩阵，而这一文献正是对今后数学研究有着深远意义的《九章算术》，在这本书“方程”这一章中，就运用了类似于矩阵的方法很好的解决了线性方程的问题，在《九章算术》中把这种类似于矩阵的方法称为称为“遍乘直除法”。但是，这并不是首次独立的研究矩阵，在那之后，在对于行列式的研究中又产生了矩阵的概念。在那时，矩阵被当做是行列式的一个推广概念，但这时，矩阵同样还没有被当成一个独立的概念来研究。也就是说，在矩阵的概念产生之前，矩阵的基本性质就已经很完善的建立了。而“矩阵”一词第一次作为一个独立的概念进行研究最早是在1855年时发表的《矩阵论的研究报告》中，在这个报告中，从基本概念开始，进而又定义矩阵的各种运算。矩阵是线性代数中一个非常基础的一个概念，应用十分广泛。线性代数中几乎所有的概念都与矩阵有联系，同样，线性代数又是整个数学研究的的一个基础学科，不仅在数学的各种研究中发挥着很大的作用，并且在数学之外的多个学科、多个领域，比如经济学、物理学、生物学，同样有着深远的影响。正定矩阵作为矩阵的一个特殊且重要的概念，应用广泛，研究多元函数极值问题有着深远的意义，在我们日常的生活、生产中有很多问题都可以归结为求函数的极值问题。如果函数是可导函数，那么求极值问题就可以由一阶导数（偏导数）先找出可能的极值点，再由二阶导数（偏导数）进而判定该点是否是极值点。而在判定过程中，正定矩阵起到了非常关键的作用。通过正定函数求函数极值可以用于指导实际的生产活动，降低成本，提高收益。在实际生活中能够以正定矩阵形式来使分析过程简化，便于理解，进一步研究事物的内在特征，解决许多的实际问题。1.1.2研究目的及意义借助正定矩阵求多元函数极值意义非常广泛，产生的益处也是很明显的，本课题的研究目标就是研究正定矩阵和极值的关系。通过研究正定矩阵与函数极值的关系，深入理解教材中的理论知识，并抽象本质，加以推广，进一步解决生产中的优化问题，用以指导实际的生产活动，降低成本，提高收益，做到学以致用。1.1.3研究国内外发展现况在今天看来，国内外已经有许多的专家和学者深入研究正定矩阵在生产优化中的应用，比如：我国的魏权龄，2003年在北京科学出版社发表的《广义最优化理论与模型》一书中就对最优化问题与正定矩阵相结合，结合例子具体阐述，正定矩阵在最优化求极值中所起的作用。唐晓超，在2013年，对于发表的《矩阵值函数的极小化问题的几许理论和方法》中，仔细地为我们解释了许多正定矩阵求函数极值的理论以及方法。董加礼，丁宝彦发表的《多目标规划有效解与弱有效解的关系》中更进一步提高了我们对于多目标优化问题的认识，更加利于解决实际问题。江亮亮，在2015年，讨论过关于随机多目标优化的若干问题，将正定矩阵与实际生活中的最优化问题相结合，使问题更加清晰明了。何守元的《高等代数》一书为我们指出了正定矩阵的一系列基本知识、性质、判定方法与实际应用。席席指出正定矩阵的极值与现实生活中的生产优化有关。董立华在研究正定矩求解多元函数的极值问题时，它使用了二次方程。雍龙泉，以广义正定矩阵的概念为起点，进行延伸，并且使之应用于线性互补的问题上。张宝骥，划分了矩阵优化,一类被划分为是矩阵值函数极值问题，也就是目标函数值为矩阵，这在许多领域学科之中都有着至关重要的应用;而另一个方面，也就是我们所说的矩阵为变量的优化问题,比如说有半定规划问题当中，而且半定规划问题也是一个极具典型的问题,当然他还讨论了许多其它问题,并且在近几年，对于这类问题的研究相当之多；而在这当中主要研究的就是矩阵值函数的极值问题；而且在矩阵值函数当中，我们所研究的矩阵当中的的每一个元素都被定义为一个函数,所以我们就把矩阵值函数的极值问题看作一个多目标优化问题。朱张兴，研究函数极值，他通过降低变量元维数，成功的求出了三元或者三元以上的某些特殊的多元函数的极值。朱用文,王燕与侯汝臣，他们在进行研究时运用了一个非常简单的方法,就证明了多元函数极值存在的一个充分条件。郭志博和张燕，发表的论文中介绍了正定矩阵是如何应用的，比如在最优化的凸规划问题中，或者是求解函数极值。杨桂元，研究二次型的正定性时,她给出了一个关于多元函数的非常重要的结论，也就是在进行极值判定的时候，给出了一个充分条件.而这个充分条件在今后求解该类问题时发挥着非常重要的作用。此外还有徐阳栋，他对于此类问题也进行了一系列的研究，他强调二次型不仅在几何中有应用，而且在我们日常生活中都有很多的应用，比如说经济学、物理学等许许多多的方面中都有着重要的应用。纪跃芝详细的解释了矩阵的正定性概念，除此之外，她还给出了判定对于多元函数极值的存在性的一般方法和一个新的判定方法。并且借助这个新的判定方法，不仅可以更加迅速方便地判断出二元函数极值是否存在，而且还能应用于三元及以上的多元函数，更重要的是，这种新的方法非常简单，易于推广。在国际上也有许多对于这方面的研究，比如TruongXuanDucHa对于矩阵向量类问题在最优化的方面的研究。W.Song与G.M.Yao对于一般多目标规划问题的研究。以及R.A.Horn和C.R.Johnson对于矩阵的一系列问题的研究中也提到了正定矩阵对于求极值的研究。G.Y.Chen、X.X.Huang与X.Q.Yang在研究对于随机多目标规划中几个效率概念之间的关系分析的讨论时也提到了多元函数极值问题。无论国内外都有着许多理论表明着矩阵在极值应用上的深远意义。1.2论文主要内容和结构安排本文在借鉴他人的研究之外，查阅了许多的参考文献，并且指导老师给予了耐心的指导和建议，作出了对正定矩阵求函数极值的归纳总结：首先在论文的第一章，也就是论文的第一部分，主要是关于本课题的研究背景。接下来在第二章中，简单叙述了正定矩阵的概念性质以及判定方法，正定矩阵的一些基本概念、性质，虽然这些性质是非常基本的内容，但是同样非常重要而且不可缺少。我们在研究任何问题时，定义法与性质法都作为非常基础且可行的方法，我们千万不能摒弃这种方法，所以在论文的第二章我们就简单的介绍了这些基本性质。而对于这些概念性质的讨论也使得我们在解决一系列问题各方面上变得更加的方便简单，与此同时它的作用也变得更加的有力。此外我们介绍了正定矩阵的判定方法，既然了解了什么是正定矩阵，那么我们接下来就需要了解正定矩阵的判定方法，这一步骤至关重要。接下来第三章是本文的重点也就是正定矩阵的生产优化问题，也就是我们的多元函数求极值问题。介绍了二元和多元的Hesse矩阵，以及如何应用正定矩阵解决函数极值问题。对于多元函数的极值问题，在我们的生活、生产和科技领域应用都非常之广泛。无论是日常的生活、生产中，很多问题都可以归结为求函数的极值问题。其应用是非常广泛的，产生的益处也是很明显的。本论文采用文献研究方法，对论文研究课题中的正定矩阵与函数极值最优化问题，通过查阅相关文献获得了充足的资料，从而正确全面地了解所要研究的问题。将知识点进行深入透彻的理解，并抽象本质，加以推广，进一步解决生产中的优化问题，用以指导实际的生产活动，不仅可以降低成本，提高收益，还可以做到学以致用更好的掌握知识。这也就证明了正定矩阵求函数极值的应用非常的广泛。而且正定矩阵在不同的学科领域当中(比如物理学，经济学等）应用都十分广泛。目前研究正定矩阵时,大部分关注点在研究理论和工程应用。所以，正定矩阵不只在数学中而且在很多其他的领域都很重要，在其他的领域也不可缺少。本文通过运用大量的具体事例解析，来说明运用正定矩阵的性质可以使问题变得更加清楚，突出正定矩阵在求函数极值时的便捷，优越性。可以用于指导实际的生产活动，降低成本，提高收益，做到学以致用。

第2章正定矩阵正定矩阵作为线性代数中一种特殊且重要的矩阵，在许多领域都有着很多的应用。而对于求函数极值在生产、生活、科技许多领域都有着广泛的应用。本章主要介绍正定矩阵的概念及有关性质。2.1正定矩阵的概念及有关性质本节不只介绍正定矩阵的概念，对相关的负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵以及不定矩阵的概念也进行了介绍,此外还介绍了正定矩阵的等价命题和一系列性质。2.1.1正定、负定、半正定、半负定、不定矩阵的概念研究正定矩阵，首先第一步需要引入二次型的概念，关于二次型，是线性代数的基础，指有个变量的二次齐函数，如(2-1)被称为二次型。为了方便将其记为(2-2)其中(2-3)分别从1取到,我们把叫做二次型的系数矩阵。在线性代数这一学科中，首先需要了解的是正定矩阵，也叫正定阵。接下来介绍正定矩阵的定义。假如矩阵是一个特殊的矩阵，我们假设它为阶方阵，如果对任何的向量，且向量非零，都能够使(2-4)成立，那么这个时候我们就把这个特殊的矩阵叫做正定矩阵，式子中的是的转置。与此对应正定矩阵的另一个定义是：如果矩阵是一个特殊的矩阵，我们仍假设它为阶方阵，且为对称矩阵，如果该矩阵为正定的，那么当且仅当，对于任意的向量，有，且仅当向量为零时才有，其中是的转置。同样的，将负定矩阵的概念定义为：如果是一个二次型，如果对于任意的，且不全都是零，都能够使(2-5)成立，就说它是负定的。如果满足二次型式(2-2)是负定的，此时，我们就把这个实对称矩阵也叫做是负定的。同理可得，如果是一个二次型，如果对于,且不全都是零，都能够使(2-6)成立，那么我们就说它半正定。这时，这个实对称矩阵半正定。如果是一个二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有(2-7)成立，那么我们就说是半负定的。如果满足二次型式(2-2)半负定的，这时，我们就把这个实对称矩阵也叫做是半负定的。反之，如果一个实对称矩阵，它不满足以上任何一组概念，对于这样的矩阵，我们把它叫做不定矩阵。2.1.2正定矩阵的有关性质一、正定矩阵的等价命题有：是正定矩阵；的一切顺序主子式均为正；的一切主子式均为正；的特征值全为正；存在实可逆矩阵使;存在秩为的实矩阵，使;存在主对角线元素全为正的实三角矩阵,使;二、正定矩阵有以下性质：正定矩阵的行列式恒为正；如果一个实对称矩阵为正定矩阵，那么当且仅当，此实对称矩阵与单位矩阵合同；如果是一个正定矩阵，那么对于这个正定矩阵，它的逆矩阵同样也必须是一个正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；如果将一个正定矩阵和一个正实数做数乘运算，那么得到的这个数乘结果，必定也是正定矩阵。2.1.3正定矩阵的判定方法根据正定矩阵的概念、等价条件以及一系列基本性质，本论文介绍两种判定正定矩阵的方法。一种为先求出的所有特征值，如果矩阵的求得的所有特征值都是正数，那么可以说是正定的，反之，则称为负定的；另一种方法则通过计算的各阶顺序主子式，如果通过计算得到的矩阵的各阶顺序主子式都大于零，也就是说都是正数，那么可以说是正定的，如果通过计算得到的矩阵的奇数阶主子式的值小于零，但是，经计算它的偶数阶主子式大于零，那么我们把这个矩阵叫负定矩阵。例题1.判断三阶矩阵是否为正定矩阵。解：计算该矩阵的特征值。(2-8)即该矩阵的特征值为8、-1、-1，所以该矩阵不是正定矩阵。例题2.判断三阶矩阵是否为正定矩阵。解：计算该矩阵的各阶顺序主子式。一阶顺序主子式：(2-9)二阶顺序主子式：(2-10)三阶顺序主子式：(2-11)因为求得该矩阵的各阶顺序主子式均大于零，所以该矩阵为正定矩阵。第3章正定矩阵在解函数极值中的应用函数极值是数学学习的一个非常重要的概念，并且具有很强的应用性，函数极值的研究法有很多，本章主要介绍函数极值的矩阵求法。3.1二元函数求函数极值的矩阵方法当我们在进行一元函数求极值的求解时，首先第一步，我们需要求出这个一元函数的一阶导数，然后第二步需要做的就是，假设这个函数在点处可导，那么如果此时，是这个函数的极值点，就会满足。但是这个只能用于找出可能的函数极值点，不能用于求解极值点。并不是一个充分条件。若求极值点需要再求一次导函数，若在点处二阶可导的话，而且同时还要满足一阶导，在这里进行分类讨论，若二阶导<0,那么这时点就是f(x)的极大值点；若二阶导>0,那么这时点就是的极小值点；若二阶导=0，则无法判断是否为的极值点。对于二元函数求函数极值的矩阵求法，我们需要引入一个非常重要的概念Hesse矩阵。本节主要介绍Hesse矩阵，首先介绍Hesse矩阵的概念，首先它是一个方阵，其次它是由多元函数的二阶偏导数组成的，常用于解决生产优化问题，我们可以利用Hesse矩阵来解决函数极值问题，进而应用于实际生产，生活实际，解决生产优化问题。3.1.1二元函数的Hesse矩阵假定具有二阶连续可微偏导数，(3-1)它是由上述所给二元函数在已知点点处的所有二阶偏导数组成的一个方阵，我们把它叫做二元函数在点的Hesse矩阵。3.1.2二元函数极值的解法如果一个二元函数，它在点处所求的所有一阶偏导数的值都是零，那我们把点叫做二元函数的一个稳定点，是一个函数在点的Hesse矩阵，如果经计算求得满足正定，那么这时该二元函数在点处取得极小值；如果经计算求得的满足负定，那么这时该二元函数在点处取得极大值；如果经计算求得的满足不定，那么这时该二元函数在点处取不到极值。证明：因为二元函数在点处的一阶导数全为零，即点是二元函数的一个稳定点，所以二元函数在点处的泰勒展开式可写为(3-2)其中(3-3)其中(3-4)如果、足够小的话，那么(3-5)也就是说，与同号，则关于、的表达式(3-6)是、的实二次型，因此，如果这个实二次型是正定的，那么说明，对于足够小的的、且满足时，有(3-7)即在点取极小值；同理可得，如果这个实二次型是负定的，那么说明，对于足够小的的、且满足时，有(3-8)即在点取极大值；如果这个实二次型是不定的，那么说明，二元函数在点既不取极小值，也不取极大值。因此，我们可以总结如何利用正定矩阵求二元函数极值问题：首先，找到二元函数的稳定点，即找一阶偏导数为零的点；求在该点的Hesse矩阵，并判断此Hesse矩阵的正定性；再根据上面求得的Hesse矩阵的满足正定(或负定，不定)，从而判断该稳定点是不是极值点；如果是极值点，则求出该极值。例题1.求二元函数=的极值。解：(3-9)(3-10)令(3-11)(3-12)可得(3-13)(3-14)即稳定点为；再求得(3-15)(3-16)(3-17)可得(3-18)(3-19)矩阵正定，所以该稳定点为极小值点，极小值为(3-20)例题2.一家工厂生产两种产品，售价分别为2、3，两种产品的产量分别为、,该工厂的产品成本函数为，问这家工厂该如何生产才能获得最高的利润。解：该家工厂的收入函数为(3-21)该工厂的产品成本函数为(3-22)所以可得该工厂的利润函数为(3-23)令一阶偏导等于零，可得(3-24)(3-25)联立式（3-22）与式（3-23）解得(3-26)(3-27)即稳定点为(1,1),再求二阶偏导数并写成Hesse矩阵(3-28)上面求得的这个Hesse矩阵满足负定矩阵定义，所以题目中的函数在这个稳定点(1,1)处取得极大值，经计算这个极大值为(3-29)3.2多元函数极值的矩阵求法本节主要介绍对于应用正定矩阵求多元函数极值问题的一些讨论，然后根据不同的约束条件，探讨如何求极值。3.2.1多元函数的Hesse矩阵同理二元函数利用正定矩阵和Hesse矩阵求函数极值的问题可以推广到多元函数求函数极值。如果对于一个元实函数，它在点的某邻域内是连续的，并且它有二阶连续偏导，如果有(3-30)则该点为该元函数的稳定点。并且函数的Hesse矩阵为(3-31)同理可得类似结果：如果这个矩阵满足正定，那么这个所给的元函数在点处能够取得极值，并且这个极值是一个极小值；如果这个矩阵满足负定，那么所给的这个元函数在点处能够取得最值，并且这个极值是一个极大值；如果矩阵是不定的，那么所给的元函数在点处是取不到极值的。3.2.2多元函数的极值的解法根据约束条件的不同，我们分两种情况来介绍如何利用正定矩阵来求解多元函数函数极值问题。无约束情况例题3：求三元函数的极值。解：(3-32)(3-33)(3-34)令(3-35)可得也就是说，点(-1,-1,2)为稳定点。再求得(3-36)(3-37)可得到Hesse矩阵：(3-38)该矩阵A满足正定矩阵的定义，所以求得的这个稳定点是题目中给出的函数的一个极小值点，这个极小值为(3-39)例题4：求三元函数的极值,其中都大于零。解：(3-40)(3-41)(3-42)令(3-43)可得(3-44)由题意都大于零，可得点(,1,1)为稳定点。再求得(3-45)(3-46)(3-47)(3-48)(3-49)(3-50)(3-51)(3-52)(3-53)可得到Hesse矩阵为(3-54)该矩阵为正定矩阵，所以该稳定点为极小值点，极小值为(3-55)约束条件为等式的条件极值对于一些所给题目中的约束条件是等式的情况，首先第一步要做的就是构造法，构造一个针对这个题目的拉格朗日函数，然后求导，就可以像二元那样求出一个稳定点，然后求在这个稳定点的Hesse矩阵，这一步是根据目标函数和约束条件一起来求这个Hesse矩阵，最后一步，根据所求的稳定点的Hesse矩阵的正定性判断函数极值。例题5：求,约束条件为，且满足、、、、0，求多元函数的极值。解：首先根据题目所给函数和约束条件构造拉格朗日函数(3-56)然后再按步骤分别对求一阶导数，同时让求得的一阶导数都等于零，可求得(3-57)(3-58)(3-59)(3-60)(3-61)即稳定点为；接下来一步判断上面求得的稳定点是否是这个函数的极值点，这个时候，我们需要利用这个题目中所给出的的约束条件(3-62)我们将其看成一个隐函数(3-63)然后把题目中要求的目标函数(3-64)和我们定义的这个隐函数(3-65)放到一起进行考虑，这个时候需要转换思路，将上述函数写成一个函数，那么这个复合函数就是(3-66)对函数(3-67)两边分别对、、进行求导,可以得到(3-68)(3-69)(3-70)从而可得(3-71)(3-72)(3-73)再继续求二阶偏导数并写成矩阵形式可得到(3-74)该矩阵为正定矩阵，所以这时我们可以知道我们求得的这个稳定点是一个极值点，而且还能得到是一个极小值点，并且求得极小值为(3-75)

第4章正定矩阵在生产最优化的应用通过正定矩阵来判断多元函数的函数极值，抽象本质，加以推广，可以应用于生产中的最优化问题，比如常见的交通运输问题，或者一些经济类问题都可以借助正定矩阵求函数极值来研究，可以用来指导实际生活，降低成本，提高收益，具有极强的实际应用性，本章主要介绍一些正定矩阵用于解决实际生活问题的实例。4.1求多元函数极值中的最优化理念本节主要介绍最优化问题的理念，最优化问题是一种帮助决策者用于实现生产优化活动中的理论。当今社会迅速发展，经济科技都发展迅速，竞争也愈加激烈。这就要求一些决策者在做决策时考虑全面，并做出最优的决策。比如在一些经济问题中，我们该如何进行生产，才能用最小的成本来获得最大的生产收益；又或者是，当进行一些资源分配时，如何分配，才能既满足节约资源，又可以获得较好的经济收益；或者是生产过程中遇到的原料配比问题，怎样设计比重，才能既保证生产的质量，又能得到最大收益。例如此类的问题在我们的实际生活生产中会遇到很多，这些其实就是实际生活中的生产优化问题，而我们可以借助正定矩阵来求多元函数极值来解决此类问题。4.2多元函数极值在经济中的应用函数的极值不仅仅是一个数学概念，函数的极值问题可以被广泛的应用于科学和生产实践中。无论是工农业生产问题、经济效益问题、工程技术问题，当中都存在很多求函数极值问题，而对于求函数极值问题，就可以应用正定函数的性质来判断函数极值。函数的极值问题在经济中的应用非常的广泛，根本目的就是解决如何决策可以使厂商用最少的成本来获得最高的利润收；对于在社会生活中遇见的经济类问题，研究经济市场中的市场需求，用以得到最大的利润，本节主要介绍多元函数极值在经济中的一些常见应用。4.2.1库存管理问题在经济问题中，存储问题是一个非常重要，必不可少的问题。如果存储过多，就有可能出现资源闲置或者资金积压问题，如果存储量过少，就又可能会出现供不应求问题，导致销售时出现问题甚至错过商机。所以，需要做到既保证正常的销售经济活动可以正常进行，又要以最低的库存和花费最少的费用，这就需要决策者做出正确的决策来使厂商获得最大的利润。当企业进行生产活动时，需要制定生产任务，当总需求一定，并且能够日常生产所必需的材料，如果订购次数越少，订购的批量就会变大，这样造成的订购费用就越少，但是相应的保管费用就会增加；与此相反的是，订购次数越多，订购的批量会变小，这样造成的订购费用会变多，保管费用会变少，这就需要决策者做出正确的决策来使厂商使用最少的成本。当研究间隔进货问题时，也就是说如果某种产品的库存量下降为零，这时需要立马进货，使库存量从零变为某个最高值，而且需要保证等量供应从而可以满足日常销售需要，这时就会出现多元函数求极值问题。4.2.2成本最小化问题成本最小化问题，也就是厂商在保证任务成功实现的前提下，来制定使成本最小的决策。也就是说在既定的生产条件下，厂商该如何决策可以使成本最低，从而可以获得较大的收益。在实际生产生活中，这种问题很常见，当我们遇到此类问题时，很容易的会想到运用函数极值来求解。例题1.某工厂生产甲、乙两种商品，售价分别为10、9，生产单位商品甲和单位商品乙的总成本为(4-1)求甲、乙两种商品各生产多少，可以使该工厂获利最多。解：依题意得该工厂总收益(4-2)化简可得(4-3)令一阶偏导等于零，可得(4-4)(4-5)联立式（4-4）以及式（4-5）解得(4-6)(4-7)即稳定点为，再求二阶偏导数并写成Hesse矩阵(4-8)上面求得的这个Hesse矩阵满足负定矩阵的定义，所以在稳定点处取得极大值，这个极大值为(4-9)所以，当生产120件甲，80件乙时获利最大。4.2.3投资问题投资，目前已经称为一种潮流活动，也就是指在资本市场上进行购买资产的一种活动形式，然后通过资产增值的形式来获得更多的自身利益。在进行投资时，投资者在进行策略选择时，要坚持收益大，风险小的选择原则，也就是说，如果能够获得最大的利益，并且伴随最小的风险是最好的选择，不过，事实上，往往，高利益会带来高风险，只有较低利益才可能带来低风险，所以这时，需要决策者慎重考虑，要保证达到某一特定的利益，并且风险为此种状况下的最低风险。这时，就需要运用多元函数求极值来解决此类问题。例如某外包装设计公司在进行投资时，需要考虑到成本、收益、环境以及国家要求等多方面要求，我国于2020年再次提出限塑令，详细记录了对于塑料包装的限制要求，但是目前我国现阶段的包装行业仍是以塑料包装为主，生产塑料包装的整个行业已经十分成熟，投资塑料包装成本（包括原料成本，加工成本，学习成本等）较小，但是由于对于环保的重视，塑料制品必须尽快转型；纸包装为塑料包装的一种替代品，纸包装容易降解，还可以回收利用，但是近年纸张的价格持续上涨，原料成本较高；塑料制品也是一种替代品，相比于纸张，玻璃的价格更高，且进行加工也更加困难；这时，该企业参考原料成本、加工成本、学习成本以及环保要求，如何进行投资才有可能获得更大的收益，这就是最优化的问题，在进行决策时，可以利用正定矩阵更加简单迅速的解决。

第5章总结与展望本章主要介绍该论文的总结与展望。5.1总结现在对全文进行总结：第一章为绪论，为论文的前言，第一节主要介绍了该论文的研究背景，包括课题的选题背景：介绍了用矩阵的思想来源悠久，并且正定矩阵作为矩阵学非常重要的概念，在生产、生活、科技等各方面有着广泛的应用。并给出了意义：通过研究正定矩阵来解决函数极值问题，并将其应用于实际生活。在第一部分的最后还给了目前对于这个课题，不同的学者都已经做了什么研究值得我们学习参考。在第二节里，介绍了本篇论文的主要的行文思路，是怎么来布局，怎么研究的。第二章主要介绍正定矩阵的概念以及有关性质，除此之外还介绍了其他一些特殊矩阵的概念。引入二次型的概念，研究二次型的系数矩阵，根据介绍的判定方法可以很迅速的判断这个矩阵是否是正定矩阵。此外还介绍了正定矩阵的有关性质和等价命题，这些性质是我们在研究正定矩阵中必不可少的一部分，是地基，如果很好的理解，可以举一反三，学以致用。最后还介绍了它们的判断方法，为接下来判断函数极值做准备。第三章介绍正定矩阵在解函数极值中的应用。首先第一节介绍了二元函数求函数极值的矩阵求法，由一元函数求函数极值引入。引入Hesse矩阵的概念，介绍二元函数Hesse矩阵的定义，接下来介绍了二元函数函数极值的矩阵求法，先求稳定点，再根据所介绍的方法计算在该稳定点的Hesse矩阵，并判断极值点。如果求得的Hesse矩阵满足正定，则为极小值；如果求得的这个Hesse矩阵满足负定，则为极大值；如果求得的这个Hesse矩阵满足不定，则不是极值。并对此结论进行了证明，并举例说明。同理，推广到多元函数求函数极值，介绍了多元函数的Hesse矩阵和相应推广的结论，如果Hesse矩阵是正定的，那么该多元函数在稳定点处取得极小值；如果这个Hesse矩阵是负定的，那么多元函数在稳定点处取得极大值；如果Hesse矩阵是不定的，那么该多元函数在稳定点处取不到最值。根据约束条件的不同，分无约束情况和约束条件为等式两种情况介绍了如何利用正定矩阵求解多元函数极值问题。第四章介绍正定矩阵在生产最优化的应用，也就是研究通过正定矩阵如何进行判断多元函数的函数极值，具有很强的实际应用性。第一节介绍了最优化的概念，以及介绍了上述问题，比如生活实际中的经济问题，资源分配问题，又或者是生产中遇到的问题，比如再分配原料时，怎样分配。这类问题就可以应用论文所给方法来解决。而且类似此类问题在经济中的应用非常的广泛，对于社会生活中常见的一些经济类问题，如何使是成本最小受益最大此类问题都可以通过函数求极值解决。第二节简单介绍了多元函数极值在经济中的一些问题，第二节介绍了库存管理和成本最小化两类问题。5.2展望当今社会发展十分迅速，经济科技各方面都迅猛发展，各方面的竞争也愈加激烈。所以在生产生活的决策时，要考虑全面，找到最优的策略。在解决这些实际的问题时，函数极值问题的讨论必不可少，函数极值的求法非常多，本论文主要介绍利用正定矩阵求函数极值。利用矩阵思想解决问题已经有了很久的历史，而面对如今愈发迅速的生产生活节奏，愈加激烈的竞争，就需要更加深入的研究矩阵法求函数极值，更好更快速的解决问题，找到最优策略，更好的指导生产生活活动，节约成本，增加收益。参考文献何守元.高等代数[M].北京:现代教育出版社,2015:15.李立群.正定矩阵及其应用[J].山东农业工程学院院报,2017,34(07).[3]宋国际.论正定矩阵在多元函数极值问题中的应用[J].河北旅游职业学院学报,2010,(15)01.[4]魏权龄.广义最优化理论与模型[M].北京:北京科学出版社,2003:133-142.[5]唐晓超.矩阵值函数的极小化问题的若干理论与方法[D].长春工业大学,2013.[6]董加礼,丁宝彦.多目标规划有效解与弱有效解的关系[J].吉林工业大学学报,1986,(04).[7]江亮亮.随机多目标优化的若干问题研究[D].长春工业大学,2015.[8]席席.论极值在生活中的应用[J].农家参谋,2019,(05).[9]董立华,周小双.数学分析与高等代数有关问题和方法的相互渗透[J].榆林学院学报,2011(06).[10]雍龙泉.

\t"/https/77726476706e69737468656265737421fbf952d2243e635930068cb8/kcms/detail/frame/kcmstarget"从矩阵的特性对线性互补算例进行分类[J].数学的实践与认识,2020(24).[11]

张宝骥.\t"/https/77726476706e69737468656265737421fbf952d2243e635930068cb8/kcms/detail/frame/kcmstarget"矩阵值函数极值