等腰三角形与直角三角形（共42题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）

专题17等腰三角形与直角三角形（共42题）

姓名：班级：得分：

一、单选题

1.（2021•湖南衡阳市•中考真题）下列命题是真命题的是（）.

A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和B.正六边形的每一个内角为120。

C.有一个角是60。的三角形是等边三角形D.对角线相等的四边形是矩形

【答案】B

【分析】

根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.

【详解】

正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360。

，选项A不符合题意；

正六边形的内角和为：（6—2）x180°=720°

720°

...每•个内角为——=120°,即选项B正确：

6

三个角均为60°的三角形是等边三角形

二选项C不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形

.•.选项D不正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外

角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解.

2.（2021•江苏扬州市•中考真题）如图，在4*4的正方形网格中有两个格点A、B,连接在网格中再

找一个格点C,使得AABC是等暧享用三角形，满足条件的格点C的个数是（）

【答案】B

【分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①48为等腰直角△ABC底边；②4B为等腰直角△ABC其中的一

条腰.

【详解】

解：如图：分情况讨论：

①A8为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个：

②A8为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点，

故选:B.

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是

数学解题中很重要的解题思想.

3.（2021•浙江宁波市•中考真题）如图,在△ABC中，N8=45°,ZC=60°,AD上BC于息D,BD=也.若

E,尸分别为AB,8C的中点，则族的长为（）

A60[

A.RB.V3C.1Dn.V6

322

【答案】C

【分析】

根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，贝IJBZXAD,△ADC是30。、60。的直角三角形，可求出AC长，再

AT

根据中位线定理可知EF=——。

2

【详解】

解：因为4。垂直8C,

则4ABD和4ACD都是直角三角形，

又因为ZB=45°,NC=60°,

所以AD=6O=G，

因为sin/C=4^=且，

AC2

所以AC=2,

因为EF为小ABC的中位线，

所以E/三空口，

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是

解决问题的关键.

4.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）下列命题中，假命题是（）

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合

C.若AB=8C,则点3是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心

【答案】C

【分析】

根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可.

【详解】

解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；

B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；

C、若在同一条直线上AB=8C,则点8是线段AC的中点，故为假命题；

D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；

故选C.

【点睛】

本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握.

5.（2021•四川泸州市•中考真题）在锐角AABC中，NA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,有以下结论：

ahc

-----=-----=-----=2R（其中K为AABC的外接圆半径）成立.在AA8C中，若NA=75。，ZB=45°,

sinAsinBsinC

C=4,则△ABC的外接圆面积为（）

167r64万,

A.----B.----C.1D.647r

33

【答案】A

【分析】

c164

方法一：先求出/C,根据题目所给的定理，一一=2R，利用圆的面积公式SM=——.

sinC3

方法二：设△A8c的外心为。，连结。A,OB,过。作。于。，由三角形内角和可求NC=60。，由

圆周角定理可求/AOB=2/C=120。，由等腰三角形性质，/OAB=/O8A=30°,由垂径定理可求，

利用三角函数可求。4=述，利用圆的面积公式S«=—.

33

【详解】

解:方法一：；/A=75°,ZB=45°,

二ZC=180°-ZA-NB=180°-75°-45°=60°,

CDc448g

有题意可知sin。—sin60°—G-3

2

46

------,

3

方法二：设AABC的外心为O,连结04,OB,过O作OD_LA8于D,

VZA=15°,ZB=45°,

・•・ZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,

・・・ZAOB=2ZC=2x60°=120°,

,:04=08,

Z0AB=Z0BA=g（180。—120。）=30°

'：ODLAB,A8为弦,

.,.AD=BD=-AB=2,

2

.*.AD=OAcos30°,

•*.OA=A£>+cos30。=2+走=—，

23

216%

•*.S&J=7TR=TTOA~=n-T

故答案为A.

【点睛】

本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆

的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角

函数，圆的面积公式是解题关键.

6.（2021•浙江温州市•中考真题）图1是第七届国际数学教育大会CICME）的会徽，在其主体图案中选择

两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形。钻C.若AB=BC=1.ZAOB=a,则

OC2的值为（）

D・cos2a+\

【答案】A

【分析】

根据勾股定理和三角函数求解.

【详解】

•.•在放中，ZAOB=a,AB=\

sinasina

2

在H/AOBC中，BC=\,OC2=OB2+BC2=|I+i+1

IsinaJsin'a

故选：A.

【点睛】

本题主要考查勾股定理和三角函数.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么

a2+b2=c2■

7.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图，AAbC中，NACB=9（）°,AC=8,3C=6,将沿

OE翻折，使点4与点3重合，则CE的长为（）

257

—D.一

44

【答案】D

【分析】

先在RfABC中利用勾股定理计算出48=10,再利用折叠的性质得到AE=8E,AD=BD=5,设AE=x,则

CE=AC-AE=S-x,BE=x,在8CE中根据勾股定理可得到r=62+(8-x)2,解得x,可得CE.

【详解】

解：VZACB=90°,4c=8,BC=6,

.,MB=7AC2+BC2=10>

AADE沿DE翻折，使点A与点B重合，

.\AE=BE,AD=BD=—AB=5,

2

设AE=x,则CE=AC-AE=S-x,BE=x,

在/?/△BCE中

,:BU=BC+CU,

25

/.x2=62+(8-x)2,解得k—>

故选：D.

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了勾股定理.

Ar

8.（2021•陕西中考真题）如图，在菱形A5CO中，NA5C=6O。，连接AC、BD,则一的值为（）

BD

D

【答案】D

【分析】

设AC与8。的交点为0,由题意易得ZABD=NCBD=-ZABC,AB=BC,

2

AC±BD,BO^DO,AO=CO,进而可得△ABC是等边三角形，130=&0,然后问题可求解.

【详解】

解：设AC与8。的交点为O,如图所示：

AD

：.NABD=NCBD=-ZABC,AB=BC,AC1.BD,BO=DO,AO=CO,

2

ZABC=60°,

：./\ABC是等边三角形，

二/ABO=30。,AB=AC,

/.AO=-AB,

2

OB=\/AB2-AO2=6OA,

•••BO=2gOA,AC=2A。，

.AC_204_3

BD2也OA3

故选D.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30。角的直

角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.

9.（2021•安徽中考真题）如图，在菱形A8CD中，AB=2,NA=120。，过菱形ABC”的对称中心。分

别作边A8,BC的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形E尸GH的周长为（）

A.3+73B.2+2A/3C.2+百D.1+2后

【答案】A

【分析】

依次求出OE=O尸=OG=O”，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长.

【详解】

'：HFA-BC,EGLAB,

：.N8EO=NB尸0=90。，

Z4=120°,

ZB=60°,

:.NEOF=12。°,NEOH=60。,

由菱形的对边平行，得HFLAD.EGLCD,

因为。点是菱形ABCD的对称中心，

二。点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH,

・・・ZOEF=ZOFE=30°,ZOEH=ZOHE=60°,

JZHEF=ZEFG=ZFGH=ZEHG=90°,

所以四边形EFG”是矩形；

设OE=OF=OG=OH=xf

：.EG=HF=2x,EF=HG=J(2xj=瓜，

如图，连接AC,则AC经过点a

可得三角形ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,AC=AB=2y

：.OA=l,ZAOE=30°f

1

：.AE=-,

2

.小0斤卜一出¥

，四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=2#)x+2x=273x—+2x^=3+^,

22

故选A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等

内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考

查了学生的综合分析与应用的能力.

10.（2021•四川乐山市•中考真题）如图，已知点尸是菱形A8CO的对角线AC延长线上一点，过点尸分别

作A。、DC延长线的垂线，垂足分别为点£、F.若NA5C=120。，A3=2,则尸石—P/7的值为（）

ADE

3r5

A.-B.、/3C.2D.-

22

【答案】B

【分析】

根据菱形的基性质，得到/%E=30。,,利用勾股理求出AC=273，则AP=273+PC,PE=g”=6+gPC,

由NPb=/OC4=30。，得至，最后算出结果.

2

【详解】

解：I•四边形48CD是菱形且/ABC=120。，AB=2,

：.AB=BC=CD=DA=2,ZBAD=60°,AC1.BD,

：.ZCAE=30°,

\'AC±BD,NC4E=30。，AD=2,

/.AC=2\/22-l2=2V3，

：.AP=243+PC,

在直角△AEP中，

VZB4E=3O°,AP=2舟PC,

：.PE=^AP=y/3+^PC,

在直角△PFC中，

ZPCF=30°,

：.PF=—PC,

2

PE-PF=M+；PC-gpC=6

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一

半，关键会在直角三角形中应用30。.

11.（2021•浙江丽水市•中考真题）如图，在RtZVLBC纸片中，NACB=90°,AC=4,BC=3,点

分别在AB,AC上，连结OE,将△"）石沿。E翻折，使点A的对应点尸落在BC的延长线上，若ED平

分ZEFB,则AO的长为（）

25251520

A.—B.C.—D.—

9T77

【答案】D

【分析】

先根据勾股定理求出AB,再根据折叠性质得出/D4E=NOFE,AD=DF,然后根据角平分线的定义证得

ZBFD=ZDFE=ZDAE,进而证得尸=90。，证明R3ABCsRt4/友），可求得AO的长.

【详解】

解：•.•ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=yjAC2+BC2=V42+32=5,

由折叠性质得：NDAE=/DFE,AD^DF,则8。=5-AD,

,/平分ZEFB，

，NBFD=NDFE=NDAE,

"：Nft4E+/B=90°,

NBDF+N8=90°,即ZBDF=90°,

.\RtAABCsRsFBD,

.BDBC„5-A£>3

••---=---lnllJ------=—

DFACAD4

解得：AD=,

故选：D.

【点睛】

本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练

掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

12.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，A（8,0）,C（-2,0）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴

正半轴于点B,则点B的坐标为（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.(0,6)

【答案】D

【分析】

先根据题意得出OA=8,0c=2,再根据勾股定理计算即可

【详解】

解：由题意可知：AC=AB

VA（8,o）,c（-2,o）

，OA=8,OC=2

：.AC=AB=\0

在/?/△OAB中，OB==V102-82=6

，8（（）,6）

故选:D

【点睛】

本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键

3

13.（2021•云南中考真题）在△A6C中，ZABC=90°,若AC=100,sinA=《，则A3的长是（）

500503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出8C,然后利用勾股定理即可求解.

【详解】

nr3

解：VZABC=90°,sinZA=-=-,AC=100,

AC5

.•.80=100x3+5=60,

.•.AB=〃C2—=80,

故选D.

【点睛】

本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

14.（2021•浙江金华市•中考真题）如图，在HhABC中，NAC6=9（）。，以该三角形的三条边为边向形外

S.

作正方形，正方形的顶点E,£G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为AABC面积为邑，则，

的值是（）

57T1\71

A.—B.3兀C.57rD.——

22

【答案】C

【分析】

先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角

形，再根据直角二角形斜边中线的性质得到S2=；AS2,再由勾股定理解得。/2=(452,解得

S|=(AB2•万，据此解题即可.

【详解】

解：如图所示，•.•正方形的顶点瓦£G,”,M,N都在同一个圆上，

.••圆心O在线段的中垂线的交点上,即在放AABC斜边A3的中点，且AC=MC,BC=CG,

：.AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,

：.AG=BM,

XVOG=OM,OA=OB,

:.NCAB=NCBA,

"：ZACB=90°,

:./CAB=/C8A=45°,

OC=-AB,

2

S,=-ABOC=-AB-AB=-AB2

22224

•.・OF2=AO2+AF2=(-AB)2+AB2=-AB2

24

S.=7lOF2=-AB2-7l,

'4

5

c-A4Bd2,7i

4______

二5).

邑-AB2

4

故选：C.

【点睛】

本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度

一般，掌握相关知识是解题关键.

15.（2021•浙江温州市•中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形A3CD如图所

示.过点。作。尸的垂线交小正方形对角线族的延长线于点G,连结CG,延长BE交CG于点若

AE=2BE，则变的值为（）

A3Rrr「3710n375

A.—B.、/2C.--------D.------

275

【答案】C

【分析】

如图，设8〃交b于尸，CG交。尸于Q,根据题意可知BE=PC=OF,AE=BP=CF,根据AE=28E可得

BE=PE=PC=PF=DF,根据正方形的性质可证明△FQG是等腰直角三角形，可得QG=FQ,根据三角形中位

线的性质可得PH=-FQ,CH=QH=CQ,利用ASA可证明△CPH当AGD。,可得PH=QD,即可得出PH=-

23

7

BE,可得利用勾股定理可用表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案.

【详解】

如图，设3H交CF于P,CG交。F于。

・.•由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形A3CO,

:・BE=PC=DF,AE=BP=CF,

AE=2BE，

：.BE=PE=PC=PF=DFf

/CFD=NBPC,

：.DFUEH,

:.PH为XC尸。的中位线，

:.PH=；QF,CH=HQ,

•••四边形EPFN是正方形，

，NEFN=45。,

VGD1DF,

是等腰直角三角形，

：.DG=FD=PC,

,：NGDQ=/CPH=90。,

：.DG//CF,

：.ZDGQ=ZPCH,

ZGDQ=ZCPH

在^DGQ和^PCH中，(DG=PC,

NDGQ=NPCH

：./\DGQ^/\PCH,

：.PH=DQ,CH=GQ,

：.PH--DF=-BE,CG=3CH,

33

7

二BH=BE+PE+PH=-BE.

3

在R出PCH中，CH=JPC?+PH?=.IBE2+(-BE)2=®BE，

V33

:.CG=MBE,

CG_MBE_3而

.•.丽=%7=7".

3

G

故选：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质

及判定定理是解题关键.

16.(2021•四川南充市•中考真题)如图，在矩形A8CD中，AB=15,BC=20,把边48沿对角线80

平移，点A',8'分别对应点4,B.给出下列结论：①顺次连接点A',B',C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③A'C—B'C的最大值为15；④A'C+3'C的最小值为

9V17.其中正确结论的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】

根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到8。的距离，从而对②做出判

断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作。关于A4'的对称点"，交A4'于M,连接B。'，

过〃作。'NL3C于N,分别交AM,于K,”，证明DC是最小值时的位置，再利用勾股定理求解

D'C,对④做出判断.

【详解】

解：由平移的性质可得A8〃A8'

0.AB=A'B'

•••四边形ABC。为矩形

.".AB//CD,AB=CD=15

：.AB'HCDflA'B'=CD

，四边形A'B'C。为平行四边形，故①正确

在矩形ABCD中，BAy/AB2+AD2=V152+202=25

过A作AM_L8£),CN1.BD,则AM=CN

：.S^AHD=—ABCD=—BDAM

22

15x20

：.AM^CN=----------=12

25

二点C到的距离为24

:.点C到它关于直线AA,的对称点的距离为48

故②正确

AC-B'C<AB'

.♦.当在条直线时HC—3'C最大，

此时8'与。重合

二AC—5'C的最大值=4?=15

故③正确，

如图，作。关于AA'的对称点以，交AA’于M,连接5。'，过*作。W_LBC于N,分别交

AM,BDTK,H,

则AB〃A87/KW,A8=K”=15,应0为△D7/D的中位线，BD上DD'，

：.D'K=HK=T5,

由oA'B'CD可得B'C=AD,

B'C^A'D=A'D',

A'C+B'C=A'C+AD'=D'C,此时最小,

由②同理可得：DM=D'M=\2,

DC153HN

■：tanZ£）BC=----=——=—=-----,

BC204BN

设HN=3x,则BN=4x,

由勾股定理可得：DD,2+BD2=BD,2=BN2+DW2,

252+242=（30++（4x『,

整理得：25X2+180X—301=0,

;.（5x_7）（5x+43）=0,

743

解得：%!=-,x2=-y（负根舍去）,

72171

NC=20-4x=（ON=歹，

D'C

...故④正确

故选D.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质，锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握

相关的知识是解题的关键.

17.（2021•四川广元市•中考真题）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=5C=4,点。是8C边的

中点，点尸是AC边上一个动点，连接PO,以尸。为边在PO的下方作等边三角形PDQ，连接CQ.则CQ

的最小值是（）

A.—B.1C.J2D.-

22

【答案】B

【分析】

以8为边作等边三角形CDE,连接EQ,由题意易得NPZ?C=/QDE,PD=QD,进而可得^PCD冬AQED,

则有NPC£）=/QE£>=90。，然后可得点。是在QE所在直线上运动，所以C。的最小值为CQLQE时，最后

问题可求解.

【详解】

解：以为边作等边三角形C0E,连接E。，如图所示：

p

B

E

AP。。是等边三角形，

NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

•.•/CD。是公共角，

，ZPDC=ZQDE,

：./\PCD^^QED(SAS'),

VZACB=90°,AC=BC=4,点。是BC边的中点，

/.ZPCD=Z<2£D=90°,CD=DE=CE=gBC=2,

.••点。是在QE所在直线上运动，

...当CQJ_QE时，CQ取的最小值，

二ZQEC=90°-NCED=30°,

:.CQ=-CE=\-

故选B.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、

含30。直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.

18.（2021•浙江绍兴市•中考真题）如图，菱形A3C。中，28=60°,点尸从点5出发，沿折线BC-CD

方向移动，移动到点。停止.在&WP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形T直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形T等边三角形T直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形T等边三角形T直角三角形T等腰三角形

【答案】C

【分析】

是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可.

【详解】

解：连接AC,BD,如图所示.

•••四边形48co是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ZD=ZB.

VZB=60°,

.♦.NO=N8=60°.

•••AABC和^ADC都是等边三角形.

点尸在移动过程中，依次共有四个特殊位置:

。(已)尸30(尸2)

(1)当点尸移动到8c边的中点时，记作耳.

AABC是等边三角形，4是8c的中点，

二A，18。.

ANA<3=9()。,

/AB片是直角三角形.

(2)当点尸与点C重合时，记作P2.

此时，❷ASg是等边三角形；

(3)当点尸移动到CO边的中点时，记为乙.

•••^ABC和♦49C都是等边：:.角形，

.../AAB=3()°+6()°=9()°.

/.-ABA是直角三角形.

(4)当点P与点。重合时，记作A.

•••AB^AP4,

巴是等腰三角形.

综上，-A8P形状的变化过程中，依次出现的特殊三.角形是:

直角三角形一等边三角形T直角三角形T等腰三角形.

故选：C

【点睛】

本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟

知特殊三角形的判定方法是解题的关键.

二、填空题

19.（2021•浙江绍兴市•中考真题）如图，在中，AB=AC,ZB=70°,以点C为圆心，。长为

半径作弧，交直线8c于点P,连结AP,则NBAP的度数是.

【答案】15。或75。

【分析】

分①点P在8c的延长线上，②点尸在C8的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案.

【详解】

解：①当点P在8c的延长线上时，如图

VAB=AC,ZB=70°,

二/B=ZACB=70。

：.ZCAB=40°

•••以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线8c于点P,

：.AC=PC

：.ZP=ZCAP

ZACB=N5+ZCAP=70°

,NP=NC4P=35°

•••ZBAP=ABAC+ZCAP=40+35°=75°

②当点尸在CB的延长线上时，如图

由①得NC=70°,ZC4B=40°

'：AC=PC

NP=NCAP=55

•••NBAP=ZCAP-ZBAC=550-40=15°

故答案为：15°或75°

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键.

20.（2021•四川广安市•中考真题）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别

为DE、FG.已知NAC3=15°,AE=EF,DE=6则的长为.

【答案】4+2百

【分析】

由折叠的性质得出AF=FC,ZMC=ZC=15°,得出NAFE=30。，由等腰三角形的性质得出

/EAf=/4FE=30。，证出△A8E是等边三角形，得出/BAE=60。，求出4E=BE=2,证出/84尸=90。，利用

勾股定理求出AF,即CF,可得BC.

【详解】

解：•••把三角形纸片折叠，使点8、点C都与点A重合，折痕分别为。E,FG,

:.BE=AE,AF=FC,NHC=/C=15°,

/.ZAFE=30°,又AE=EF,

：.NEAF=NAFE=30°,

：.NAEB=60°,

...△A8E是等边三角形，ZAED=ZBED=30°,

：.NBAE=6Q。,

•:DE=6，

；.BF=BE+EF=4,ZBAF=600+30°=90°,

...FC=AF=^BF2-AB2=25/3，

：.BC=BF+FC=4+2y/3，

故答案为：4+25/3.

【点睛】

此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折

叠的性质得出相等的边和角是解题关键.

21.（2021•江苏苏州市•中考真题）如图.在Rt/XABC中，ZC=90°,AF=EF.若NCEE=72°,则

【答案】54°

【分析】

首先根据等腰三角形的性质得出凡再根据三角形的外角和定理得出求出乙4

的度数，最后根据三角形的内角和定理求出NB的度数即可.

【详解】

♦：AF=EF,

ZA=ZAEF,

'：ZA+ZAEF=ZCFE=12°,

：.NA=36。，

<•,NC=90°,N4+NB+/C=180°,

，ZB=180°-ZA-ZC=54°.

故答案为：54°.

【点睛】

本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.

22.（2021•浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角

星（A,B,C,D,E是正五边形的五个顶点），则图中NA的度数是度.

B■E

CD

【答案】36

【分析】

根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，aAF=AK；根据多边形内角

和性质，得正五边形RGH/K内角和，从而得N4；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即

可得到答案.

【详解】

•.•正五角星（A,B,C,D,E是正五边形的五个顶点）

二五边形是正五边形的五个顶点）为正五边形，n.AF=AK

★

CD

...正五边形FGHJK内角和为：（5-2）x180°=540°

540°

二Z4=^-=108°

5

Z3=180°-Z4=72°

,:AF=AK

N2=N3=72°

Zl=180°-Z2-Z3=36°

故答案为：36.

【点睛】

本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握

正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

23.(2021•江苏扬州市•中考真题)如图,在aABCD中，点E在A。上，且EC平分NBED,若NEBC=30°,

BE=10,则aABCD的面积为.

【答案】50

【分析】

过点E作垂足为凡利用直角三角形的性质求出EF,再根据平行线的性质和角平分线的定义得

到可得8E=8C=1(),最后利用平行四边形的面积公式计算即可.

【详解】

解：过点E作垂足为凡

•:NEBC=3Q°,BE=\0,

:.EF=、BE=5,

2

四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.NDEC=NBCE,

又EC平分/BED,即NBEC=NDEC,

：.ZBCE=ZBEC,

；.BE=BC=1Q,

二四边形A8CO的面积=8Cx£F=10x5=50,

故答案为：50.

E

AD

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，

但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键.

24.（2021•云南中考真题）已知AABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，NABC的平分线与线段AC

交于点o.若AABC的一条边长为6,则点O到直线AB的距离为.

【答案】3或孚或6及-6或6-3及

【分析】

将AABC放入正方形中，分NABC=90。，ZBAC=90°,再分别分AB=BC=6,AC=6,进行解答.

【详解】

解：•••△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，

如图，若/ABC=90。，

则NA8C的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，

过点。作力垂足为凡

当AB=BC=6,

贝ijDF=—BC=3；

2

当AC=6,

6

则AB=BC=F=3V2，

22

如图，若/54C=90。，过点。作。F，8c于F,

■:BD平分/ABC,

:.NABD=/CBD,AD=DF,

又NBAD=NBFD=90°,BD=BD,

.♦.△BAD丝△BFC(A4S),

：.AB=BF,

当AB=4C=6,

则BC=,6?+6?=6\/2，

：.BF=6,C尸=6夜一6，

在正方形ABEC中，ZACB=45°,

；.ACDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=6叵-6；

当8c=6,

6r-

贝ijA8=4C=g=3也，

同理可得：6-3立，

综上：点。到直线AB的距离为：3或孚或6&-6或6-3夜，

故答案为：3或芈或68—6或6—30.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判

定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答.

25.（2021•江苏南京市•中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB=8C=5D.设ZABC=。，则ZADC=

（用含&的代数式表示）.

【答案】180。一

2

【分析】

由等腰的性质可得：ZADB^90°--ZABD,/8DC=90。—，NCB£),两用相加即可得到结论.

22

【详解】

解：在△A8C中，AB=BD

AZA=ZADB=-(180°-ZABD)=90°--ZABD

22

在△BCD中，BC=BD

：.ZC=ZBDC=-(180°-ZCBD)=90°--ZCBD

22

•/ZABC=ZABD+ZCBD=a

/.ZADC=ZADB+NCBD

=90。」ZABD+90°--NCBD

22

=180°-；(NABD+ZCBD)

=180°--ZABC

2

=180°--<z

2

故答案为：180°--a.

2

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出/ADB=90°-4NAB£）,/BDC=

2

90。一NCBD是解答本题的关键.

2

26.（2021•四川资阳市•中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份

折叠得到图2,将图2沿虚线A8剪开，再将AAOB展开得到如图3的一个六角星.若NCDE=75°,则

NOBA的度数为.

【答案】135°

【分析】

利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题.

【详解】

解：连接OC,EO

360°

由折叠性质可得：ZEOC=------=30°,EC=DC,OC平分NEC。

12

/.ZECO=-ZECD」（180。-2x75°）=15°

22

ZOEC^180°-ZECO-ZEOC^1350

即NO84的度数为135°

故答案为：135。

【点睛】

主要在考查折叠的性质，学生动手操作的能力，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理，掌握折叠及等

腰三角形的性质正确推理计算是解题关键.

27.（2021•浙江金华市•中考真题）如图，菱形A8C。的边长为6cm,NBA。=60。，将该菱形沿AC方向

平移2Jicm得到四边形AB'C'D',AD交CD于点E,则点E到AC的距离为cm.

【答案】2

【分析】

首先根据菱形对角线的性质得出AC的长，然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰V