高思奥数导引小学五年级含详解答案第21讲：数字问题

第21讲数字问题

内容概述

各种与数字有关的数字谜问题。学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧

和数论知识。

兴趣篇

1.一个两位等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

2.今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”。请问:

小王今年多大？

3.用3个不同的数字组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求6个三位数中最

小的一个。

4.有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到

一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数。已知得到的三个数总和为3600,

求原来的两位数。

5.有43两个整数，A的各位数字之和为35,8的各位数字之和为26,且两数相加时进位

三次，求4+3的各位数字之和。

6.有些三位数，如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各

位数字之和的工，求所有这样的三位数。

3

7.一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数。这

个五位数比原来的五位数小71355。问：原来卡片上写的五位数是多少？

8.有一个四位数2M9N,它是由M个2的积与N个9的积相乘得到的，求这个四位数。

9.如果12333是27的倍数，那么〃最小是几？

"个3

10.从1至9这9个数中选出8个不同的数字，组成能被24整除的八位数。试问：在这样的

八位数中，最大的和最小的分别是多少？

拓展篇

1.在一个两位数的两个数字中间加一个0,所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数。

2.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自

然数的平方。请问：这个和是多少？

3.有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数

的和恰好是1111。请问：原来的三位数是多少？

4.在等式“学习好勤动脑x5=勤动脑学习好x8”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉

字表示不同的数字，”学习好勤动脑''所表示的六位数最小是多少？

5.在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍,

在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？

6.用5、7、2、0、8这5个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是66663,

这两个数中较大的一个可能是多少？

7.有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为7的倍数，这两个自然数中较小的数是多

少？

8.记号〃!表示前八个正整数相乘,并且规定表=1,例如：4!=lx2x3x4o每一个三位数abc

都有一个“对应数,，：加+加+c!,例如：254的对应数是2!+5!+4!=146。请问：对应数与自

身相同的三位数是什么？

9.如果修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，那么修改后的这个数是多少？

10.如果2222是1998的倍数，那么〃最小是多少？

n个2

11.1至9这9个数字，按图21-1所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，

分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到的两个数是

193426857和758624391）。如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开

处左右两个数字的乘积是多少？

1

79

53

84

62

图21-1

12.各位数字互不相同的八位数中，能被72整除的数最小是多少？最大是多少？

超越篇

1.用3个不同的数字可以组成6个三位数，已知其中的5个的和是3194,求剩下的那个数是

多少。

2.一个数是它的数字和的88倍，求所有满足条件的正整数。

3.两个自然数，差是98,各自的各位数字之和都能被19整除。试问：满足要求的最小的一

对数之和是多少？

4.如果133332是756的倍数，那么〃最小是多少？

“个3

5.包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”。求满足以下条件的所有的十全数：

①它的千位是7；

②从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三

位数能被3整除……前十位组成的十位数能被10整除。

6.由8个不同的数字组成的八位数中，能被396整除的数最大是多少？最小是多少？

7.最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是11的倍数？请举例。

8.用0至9这10个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的

完全平方数。

第21讲数字问题

内容概述

各种与数字有关的数字谜问题。学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧

和数论知识。

兴趣篇

1.一个两位等于剪数字和的6倍，求这个两位数。

【分析】由已知碗=(“+/?)x6

10a+b=6a+6h

4a=5b

由于“，b为0〜9之间数字。则〃=5,/尸4。

那么，这个两位数为54。

2.今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”。请问：

小王今年多大？

【分析】如果小王出生在2000年以后，我们易得小王可以出生在2003,今年5岁。下面假

设小王出生在前年，则小王今年年龄为2008-丽

由已知2008-两=\+9+a+b

整理得lla+28=98

由于，a、8为。〜9之间的数字，则。=8,6=5。小王今年23岁。

综上，小王今年23岁或5岁。

3.用3个不同的数字组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求6个三位数中最

小的一个。

【分析】设这三个不同的数字为a、b、c,

由已知，abc+acb+bac+bca+cba+cab=2886

222(.a+b+c)=2886

a+b+c=13,a、b、c是0〜9之间的数字

那么，a、b、c所能组成的最小的三位数为139o

4.有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到

一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数。已知得到的三个数总和为3600,

求原来的两位数。

【分析】设这个两位数为7,我们列竖式

3ab

ab3

+3ab3

3600

易得，b=4,a=\

则原来两位数为14。

5.有A、3两个整数，A的各位数字之和为35,8的各位数字之和为26,且两数相加时进位

三次，求A+8的各位数字之和。

【分析】由已知，进位一次，数字之和减少9

那么A+8去攵字之牙口为35+26-3X9=34

6.有些三位数，如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各

位数字之和的！，求所有这样的三位数。

3

【分析】考察而~演之中有没有这样的数，例如，(a+9+7)=(a+l)+0+0,解得〃不

是整数，同理演，演也没有。于是所求的数只有一次进位。

abc+3=+l)(c-7),则g(a+6+c)=e+6+c)-6。(c至少为7)

可得a+什g9,则诙为108,207,117o

7.一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数。这

个五位数比原来的五位数小71355。问：原来卡片上写的五位数是多少？

【分析】由已知，能够拿倒的数字为0,1,6,8,9

由于原来的五位数比较小，而首位不为0,则其首位只能为1。

这样新五位数末位为1,这样原五位数末位为6,这样新五位数首位为9,如下：

71355

+百口」口」这样地理下去，原来的五位数为90961。

回□□□m

8.有一个四位数2仞9N,它是由M个2的积与N个9的积相乘得到的，求这个四位数。

【分析】由已知得，M、N不为0(若例为0,则N至少为7,显然不成立；若N为0,则

M最多为9,显然不成立)。且N为偶数。当N=4,6,8时，显然乘积超2000,不

成立。

则N=2,判断Mo由于〃个2相乘尾数是2486循环，则N=1或5或9,经检验,

N=5,那么这个四位数为2592。

9.如果12333是27的倍数，那么〃最小是几？

〃个3

【分析】由于123333是27的倍数，则4111是9的倍数。这样〃最小为5。

〃个，汁

10.从1至9这9个数中选出8个不同的数字，组成能被24整除的八位数。试问：在这样的

八位数中，最大的和最小的分别是多少？

【分析】能被24整除一定能够同时被3和8整除，这样，这个八位数各个数字之和是3的

倍数且它的末三位是8的倍数。所以，我们从1〜9九个数中舍去一个组成八位数，

这个数只能为3,6,9,

最大：1〜9中舍去3,小的数尽量排在后面，末三位为8的倍数，得98764512;

最小：1〜9中舍去9,大的数尽量排在后面，末三位为8的倍数，得12345768。

拓展篇

1.在一个两位数的两个数字中间加一个0,所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数。

【分析】设这个两位数为瓦，由题意不、9=施，则8=5,。=4。则这个两位数为45。

2.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自

然数的平方。请问：这个和是多少？

【分析】首先，这两个两位数的和不超过198;其次，这样的两个两位数的和一定为11的

倍数(茄+元=104+6+106+4=11(。+“)，那么，它们的和只能为121。

3.有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数

的和恰好是1111。请问：原来的三位数是多少？

【分析】我们可以设这个三位数为赤，可得正+赤=1111。

那么101(a+c)+20b=llll,由a+c=ll,h=0.这样的三位数为308,506,704,

902,其中8的倍数为704。

4.在等式“学习好勤动脑x5=勤动脑学习好x8”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉

字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少?

【分析】由已知，可设学习好为勤动脑为b,可得a〃x5=6ax8

则(10004/+/?)X5=(100/?+a)X8

4992a=79956

1284=205〃

a、b为三位数，且这两个三位数每位上的数字都不相同，则所表示的六位数最小

为410256»

5.在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍,

在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？

【分析】设这个三位数为俞，。为一位数，B为两位数。

由已知，9x前=京而，由位值原理展开，9X(100a+B)=\000a+\00m+B

整理得，28=25(a+机)，B最小为25,最大为75。〃+机最小为2,最大为6。

所以，三位数最小为125,最大为675。

6.用5、7、2、0、8这5个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是66663,

这两个数中较大的一个可能是多少？

【分析】由于万位两个空至少相差6,且万位不能是0,所以肯定是2和8;加数中已经用

过2,和中已经用过8,所以个位只能是7和0;再看千位，由于不能向万位进位，

所以只能是0和7。所以，很容易得到如下的两个算式:

2058720857

+66663+66663

8725087520

那么,所求为87250或87520»

7.有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为7的倍数，这两个自然数中较小的数是多

少？

【分析】如果有〃次进位，数字之和减少9〃-1。由已知，9加1为7的倍数，〃最小为4。则

使9999和0000数字之和都为7的倍数。那么这两个自然数中较小的数是69999。

8.记号〃!表示前〃个正整数相乘，并且规定0!=1,例如：4!=lx2x3x4»每一个三位数Mc

都有一个“对应数”：a\+b\+c\,例如：254的对应数是2!+5!+4!=146。请问：对应数与自

身相同的三位数是什么？

【分析】由于6!=720,所以该三位数三个数字都不能超过5,我们列下表：

0!1!2!3!4!5!

112624120

设这个三位数为显然a、b、c不能全是5,下面讨论：

(1)a、b、c中有两个是5,最大为5!+5!+4!=264,最小为5!+5!+0!=241,所以

a只能为2,但255不符合条件。

（2）a、b、c中有1个是5,最大为5!+4!+4!=168,则a=l,可知a6c，=145。

（3）a、b、c中没有5,最大为4!+4!+4!=72,显然不符合条件。

综上，这个三位数只有1个，为145o

9.如果修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，那么修改后的这个数是多少？

【分析】由于21743+823=38..469,所以修改十位或者个位肯定无法把余数变为0。所

以，修改后的五位数可以写成43的形式，它是823的倍数。我们可以用竖式表

示，其中未知的乘数是几位数我们不能确定。容易看出，乘数的末位一定只能是1«

当菊数的末登•是1时，823与乘数的十位的乘积末位是2,因此乘数的十位只能是

寸，823X41=33743。而823X141=116043,不是五位数，因此乘数只

能是41□此时所求的五位数为33743。

□□□43

10.如果2222是1998的倍数，那么〃最小是多少？

n个2

【分析】由于222是1998的倍数，也就是让111是999的倍数，所以111肯定是111

"个2"bl"N

的倍数，则n为3的倍数，另一方面，由于111^111=1001001001,它的数字

之和是,，要让它是9的倍数，必须让2也是9的倍数，即“要是27的倍数。则

33

n最小为27。

11.1至9这9个数字，按图21-1所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，

分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到的两个数是

193426857和758624391）。如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开

处左右两个数字的乘积是多少？

1

79

53

84

图21-1

【分析】

在解这道题之前我们先看一个规律：

99的倍数〃为奇数时

n为原序数与n为反序数的差一定是《

---------------------9的倍数〃为偶数时

于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个

数的奇偶性相同时才有可能。

注意图中的具体数字，有（3,4）处、（8,5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满

足。

而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足。

进一步验证，有（9,3）处剪开的末两位数字之差为43-19=24,（4,2）,（2,6）,（6,8）,（5,7）,

（7,1）,（1,9）处剪开的末两位数字之差为62-34=28,86-42=44,58-26=32,

85-17=68,91—57=34,71-39=32。

所以从（9,3）,（4,2）,（2,6）,（6,8）,（5,7）,（1,9）处左右两个数的乘积为27,8,12,

48,35,9o

12.各位数字互不相同的八位数中，能被72整除的数最小是多少？最大是多少？

【分析】由于这些各位数字均互不相同，则能被72整除，所以其数字和是而且只能是36。

所以我们有这些数字为：0、1、2、3、6、7、8、9。

可以先求最大，能被9整除的这类八位数的最大值为：98763210,则还需要能被8整除，经

调整应为98763120。

现在要求最小，则能被9整除的这类八位数的最大值为：10236789。经调整，末位应为6

或者8,所以有：10237896。

超越篇

1.用3个不同的数字可以组成6个三位数，已知其中的5个的和是3194,求剩下的那个数是

多少。

【分析】设三个数为a、b、c,不妨设剩下的数为必c,

则由已知222(“+》+c)-^^3194

而31944-222=14....86

则222X14+86=3194

那么222X15-136=3194,而136数字之和不是15,则舍去；

222X16-358=3194,358数字之和为16,那么这个数可以为358;

222X17-580=3194,350是有0,不符合要求，舍去；

222X18-802=3194,802是有0,不符合要求，舍去：

222X19-1004=3194,1004已经不是三位数，不用再讨论了。

综上所述，这个数为358。

2.一个数是它的数字和的88倍，求所有满足条纱正整数。

【分析】由题意，这个数至少是三位数，设为诙。

则有88(a+b+c)=100n+106+c,整理得4“=266+29c,无解。

若这个数为四位数，设为嬴

则有88(a+b+c+d)=1000“+100b+10c+4

整理得304a+48=26c+29d,由于26X9+29X9=495,则a=1»

有294=304+46-26。，贝，Id为偶数。

当仁0时，有26c=304+44由于26X9=234,无解；

当d=2时，有13c=123+2%,由于13X9=117,无解；

当4=4时，有13c=94+2"由于26X9=234,可得c=8,6=5:

当1=6时，有13c=65+26由于26X9=234,可得c=5,8=0;

当&=8时，有13片36+24由于26X9=234,可得c=4,b=8;

综上，有三个数符合要求：1848,1056和1584。

3.两个自然数，差是98,各自的各位数字之和都能被19整除。试问：满足要求的最小的一

对数之和是多少？

【分析】(已有电子版)

4.如果133332是756的倍数，那么”最小是多少？

,介3

【分析】由于756=12X7X9,则133332+12=1111

,介3(d+1)个I

那么1111是7的倍数，也是9的倍数，由于111111是7的倍数，111是9的倍

(”+1)个19个I

数，则有111是63的倍数，则几+1=18,〃最小值为17。

18个1

5.包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”。求满足以下条件的所有的十全数：

①它的千位是7；

②从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三

位数能被3整除……前十位组成的十位数能被10整除。

【分析】由题意，前五位是5的倍数，前十位是10的倍数，再根据整除特点列出下图：

两位数为三位数为

4的倍数8的倍数