高中数学课堂讲义-直线与平面垂直的性质

高中数学课堂讲义——直线与平面垂直的性质

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一直线与平面垂直的性质定理........................................1

3.知识点二线面距与面面距...................................................2

4.课堂作业....................................................................2

5.探究点一直线与平面垂直的性质应用........................................3

6.探究点二空间中的距离问题.................................................5

7.探究点三直线与平面垂直关系的综合应用....................................7

8.课堂作业....................................................................9

9.课时作业（三十一）直线与平面垂直的性质....................................11

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1从.相关定义和基本事实1能.从教材实例中归纳出直线与平面垂

出发，借助长方体，通过直观直的性质定理.（逻辑推理）

平

感知，了解空间中直线与平面2.能从实际问题中了解直线与平面、平

的垂直关系.面与平面间的距离.（数学抽象）

2.归纳出直线与平面垂直

能利用直线与平面垂直的性质定理证明

的性质定理.

平垂直问题，会求简单的直线与平面、平面与

3了.解直线与平面、平面

平面的距离.（逻辑推理）

与平面的距离.

2.知识点一直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线壬丘

a.La

符号语言,,f^a//b

bLa)

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ab

图形语言7

作用①线面垂直今线线平行，②作平行线

［点拨］(1)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直

线都与同一个平面垂直)；

(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂

直”与“平行”关系相互转化的依据.

3.知识点二线面距与面面距

1.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点

到这个平面的距离.

2.平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一

个平面的距离.

［点拨］由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转

化为点到平面的距离.

4.课堂作业

1.判断正误(正确的打“，错误的打“x”)

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.()

(2)到已知平面距离相等的两条直线平行.()

(3)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距

离.()

(4)对于直线处平面a,口,若。_La,a〃夕，贝I)

答案：(1)7⑵X⑶X(4)V

2.已知直线a,b,平面扇且“J_a,下列条件中，能推出。〃b的是()

A.b//aB.bUa

C.b.LaD.与a相交

C［由线面垂直的性质定理可知，当时，a〃。故选C.］

3.如图，抬，平面ABC,ZACB=90°,EF//PA,且CE与43不垂直，

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则图中直角三角形的个数是（）

A.3B.4

C.5D.6

D[VZACB=90°,?.AACB是直角三角形.由抬，平面ABC,得

PA±AB,PALAC,PALBC,△必。是直角三角形.XBCLAC,AC

n_R4=A,，台。，平面RIC,：.BC±PC,.•.△PCS是直角三角形.,JEF//PA,

ABC,...EF，平面ABC,：.EF工BE,EFLEC,：./\BEF,△REC是

直角三角形，,△用8,△RIC,△ACB,APCB,AFEC,△BEf均为直角三

角形，共6个.]

4.已知正方体ABCD-A\B\C\D\的棱长为1,点E是棱BB\的中点，则点

Bi到平面ADE的距离为.

解析：由于E是的中点，故点用到平面ADE的距离等于点8到平

面AOE的距离，如图，过3作BFL4E于点凡由于BFLAD,ADQAE=A,

1、月

故8/1.平面AOE.在直角三角形ABE中，AB=1,BE=^,AE=[一,所以

:1ABBE=1\AEBF,解得8尸=、行学,即点办到平面AOE的距离为\[手5.

答案：当

5.探究点一直线与平面垂直的性质应用

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如图所示，在正方体ABCQ-AiBCiDi中，M是A8

上一点，N是AC的中点，MN，平面AQC.求证：MN//ADi.

证明：因为四边形AODIAI为正方形，所以Ad_LAiD

又CO_L平面ADDiA］,ADC平面ADDA，

所以COLAOi.

因为4OnCO=。，所以AQi_L平面4OC.

又MN_L平面AQC,所以MN//AD1.

方法技巧

证明线线平行的方法

(1)利用线线平行定义，证共面且无公共点；

(2)利用三线平行公理，证两直线同时平行于第三条直线；

(3)利用线面平行的性质定理，把证线线平行转化为证线面平行；

(4)利用线面垂直的性质定理，把证线线平行转化为证线面垂直；

(5)利用面面平行的性质定理，把证线线平行转化为证面面平行.

［对点训练］

如图，已知AD1AC,AELBC交BC于点E,。为FG的中点,

AF=AG,EF=EG.求证：BC//FG.

证明：因为AOLAC,ABCAC=A,

所以AO,平面ABC.

又8CU平面ABC,

所以AO,8c.

连接。戊图略)，XAELBC,ADHAE=A,

所以平面ADE.

因为。为尸G的中点，Ab=AG,EF=EG,

所以/GLAD,FGLDE.

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又ADfWE=。，

所以FG,平面ADE,

所以8C〃FG.

6.探究点二空间中的距离问题

(2020・湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考)如图，多面体ABC-OBiG

是正三棱柱ABC-AICi沿平面DBiG切除一部分所得，8C=CG=1,。为A4i

的中点.

AD

BB,

(1)求证：BG，平面BCD；

⑵求点B\到平面BCD的距离.

解析：(1)证明：设与交于点E,连接£>£

..,多面体ABC-DB\C\是正三棱柱ABC-A\B\C\沿平面DB\C\切除一部分所

得，BC=CC\,二四边形B8GC是正方形.

四边形CGDA,ABB。均为直角梯形，其中AB_LA。，AC±AD.

•。为A4的中点，AA\^BB\,S.BD^BA^AD1=[=乎.

又CiD=y]CCCi-AD)2+AC2=^J[1-£|-+12=坐，：.BD=C\D.

为BCi的中点,.*.8。1_1_。£.又>84_15。1，BiCCDE=E,平

面BCD.

(2)设点Bi到平面BCD的距离为d.

\'VBi-BCD=VD-BCB],点。到平面BCC\B\的距离即为△ABC的边

上的高,

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即为]_=坐’SABCD,</=|SABiBCX坐.

又，：DC=BD=^,BC=1,

.,•SABCD=|XBCX#£>2TBe2~.

又XBC2=j,

A/31A/3

SAAB\BC义匕]X勺立

••d=p=\=c,

□△BDC1，

2

即点3到平面BCD的距离为坐.

方法技巧

空间中距离的转化

(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或

平面上的另一点到平面的距离；

(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借

助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.

［对点训练］

如图，四棱锥P-ABC。中，底面A8CD为矩形，出，平面ABC。，E为PD

的中点.

(1)求证：〃平面AEC；

(2)设AP=1,AD=S,三棱锥P-AB。的体积丫=芋，求A到平面P8C

的距离.

解析：(1)证明：如图，设8。与AC的交点为。，连接E0.

因为四边形ABC。为矩形，

所以点。为8。的中点.

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又点£为PO的中点，

所以£。〃尸8.

因为EOU平面AEC,PBQ平面AEC,

所以〃平面AEC

(2)VP-ABD=|APSAAW=|APABAD=^X1XABX小AB.

.lz—近

由VP-ABD-4，

3

可得AB=；.

作AH1PB于点H.

由题设知BC，平面BAB,所以BCLAH,

故A“，平面PBC,

即AH的长就是点A到平面PBC的距离.

因为PB=y/Ap2+AB2=个F+[|j=^2'

1X3

圻以4〃APAB_L_2_至叵

所以A“一pB—亚j-13'

2

所以点A到平面PBC的距离为q*.

7.探究点三直线与平面垂直关系的综合应用

斜边为A3的直角三角形ABC,孙，平面A3CAELP8,AFLPC,E,

产分别为垂足，如图.

(1)求证：EF1PB-,

(2)若直线平面AER求证：PB//1.

证明：(1)因为平面ABC,所以玄_L8C.

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又因为△ABC为直角三角形，A3为斜边，

所以BC_LAC,PA^AC=A,

所以BCL平面PAC.

又因为AFU平面巩C,所以BCLAF.

^AF±PC,且PCCBC=C,

所以AF_L平面PBC.

又PBu平面PBC,所以AFLBP.

又AELPB,且AECAf=A,

所以PB_L平面AEF.

又EFU平面AEF,所以EFLPB.

(2)由(1)知，PB,平面AEF,

而LL平面AEF,所以尸8〃/.

方法技巧

综合应用线面垂直的判定、性质证明线线垂直时，一是根据已知的垂直关

系，确定需要证明的直线和平面；二是思路调整，比如要证明直线。垂直于平

面a内的直线从往往需要证明直线〃垂直于直线a所在的平面△

［对点训练］

如图所示，四边形ABCD为正方形，SA_L平面ABCD,过A且垂直于SC

的平面分别交SB,SC,S。于点E,F,G.

求证：AEA.SB.

证明：•；SA_L平面A8CO,

：.SA±BC.

•四边形ABC。是正方形，：.ABA.BC.

VSAnAB=A,二台。，平面SAB.

：AEU平面SAB,：.BC±AE.

'：SC,平面AGFE,：.SCYAE.

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又,/BCnSC=C,二AE，平面SBC.

而S3U平面SBC,：.AE±SB.

8.课堂作业

1.（多选）下列说法中正确的是（）

A.过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直

B.过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直

C.过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行

D.过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直

ABC[由线面垂直的性质及线面平行的性质知ABC正确；D错，过直线

外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直.故

选ABC.]

2.已知%_L矩形ABC。所在平面，PA^AD,M,N分别是AB,PC的中

点，则MN垂直于（）

A.ADB.CD

C.PCD.PD

B[连接AC,3。交于点O.连接NO,MO（图略）.

二•四边形ABCD为矩形，

：.AO=OC.

,:N,0分别为PC,AC中点，

:.NO〃PA.

矩形ABC。，面ABCD

J.NOVCD.

又tM,。分别为AB,AC的中点，J.MOLCD.

又NOnMO=O,，C。，面MNO,

二.COLMN.故选B.]

3.已知NACB=90°,尸为平面ABC外一点，PC=2,点P到NAC8两边

AC,BC的距离均为小，那么尸到平面ABC的距离为.

解析：如图所示，设P。，平面ABC于O,PELAC于£,PFLBC于尸,

连接OE,OF,0C.

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平面ABC,ACU平面ABC,：.POLAC.

又POHPE=P,

平面POE.

又OEU平面POE,

：.AC±OE.

同理有BC±OF.：.四边形OECF为矩形.

:PC=PC且PE=PF,

.,.RtAPEC^RtAPFC.

：.EC=FC=\)PC2-PE2=1.

二四边形OECF是边长为1的正方形.

/.OC=y[2.

在RtAPOC中，PO=ylPC2~OC2=^22-(72)2=啦.

答案：也

4.如图，直角梯形A3CO与梯形EFCD全等，其中4?〃CO〃ERAD=

AB=1CD=1,且EOL平面ABCD,点G是CD的中点.

(1)求证：平面8CF〃平面AEG；

(2)求平面BCF与平面AEG的距离.

解析：(1)证明：AB=；CD,G是CD的中点,

：.AB^GC,

二四边形A8CG为平行四边形，J.BC//AG.

又AGU平面AEG,平面AEG,

二.BC〃平面AEG.

「直角梯形ABC。与梯形EFCO全等，AB//CD//EF,

：.EF^AB,，四边形A3FE为平行四边形，J.AE//BF.

又AEU平面AEG,8同平面AEG,二即”平面AEG

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又BFCBC=B,BF,8CU平面

二平面8CR〃平面AEG.

⑵设点C到平面AEG的距离为d,

易知AE=EG=AG=yJi.

连接EC,AC（图略），由VCXGE=VE.ACG，

得（xgXA/XsinGO。XJ=|X；XCGXADXDE,解得d=9

1•平面8CF〃平面AEG,

二平面BCF与平面AEG的距离为为-.

9.课时作业（三H―）直线与平面垂直的性质

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

[A级基础达标]

1.四棱锥P-A3CD,孙，平面ABC。，^LPA=AB=AD,四边形ABC。是

正方形，E是P。的中点，则AE与PC的关系是（）

A.垂直B.相交

C.平行D.相交或平行

A「.•F4=AO,E为PO的中点，「.AELPD又F4_L面A8C£>,

又•.•COLAO,PADAD=A,二。，面%D.'.COLAE又•.•0）nPO=。，二

A£!®PCD,：.AE±PC.]

2.在正方体ABCO-AIBIGQI中，点P是线段8G上任意一点，则下列结

论中正确的是（）

A.ADi±DPB.APLB\C

C.ACiA.DPD.AiPlBiC

B[在正方体ABCD-AiBCDi中,因为8C_L3G，

BiClAB,

BCiOAB=B,

所以BiC_L平面ABCiDi，

因为点P是线段BG上任意一点，

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所以AP_LBiC故选B.]

3.设血，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列命题正确

的是（）

A.若加〃a,n//a,则

B.若机〃a,m//J3,则a〃4

C.若，??〃〃，机_La,则〃J_a

D.若m//a,a工则

Cm//n,mJ_a,贝4故选C.]

4.如图，的边AF,平面ABC。，且AE=2,CD=3,则CE=（）

A.2B.3

C.y[5D.V13

D[因为四边形AOEF为平行四边形，

所以A尸〃OE且AF=DE.

因为AF_L平面ABC。，

所以。£\1_平面ABCD所以OEJ_OC.

因为AF=2,所以。E=2.

又CD=3,

所以CE=y/cU+DF=[9+4=V13.]

5.（多选）如图，直线孙垂直于圆。所在的平面，内接于圆O,且

A3为圆。的直径，点M为线段PB的中点.以下各命题中，真命题为（）

A.BCLPC

B.0M〃平面APC

C.点8到平面附。的距离等于线段的长

D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半

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ABCD%_L平面ABC,BCU平面ABC,

：.PAIBC/：AB是圆O的直径，

.\AC±BC.XR1U平面PAC,ACU平面PAC,PA^AC=A,平面

PAC.

：PCU平面抬。，：.BCLBC,故A、C正确；

是P8的中点，。是45的中点，：.OM//PA.

:孙u平面氏C,OMQ平面B4C,

，OM〃平面7%C.故B、D正确.]

6.线段AB在平面a的同侧，A,8至ija的距离分别为3和5,则AB的中

点到a的距离为.

解析：如图，设的中点为M,分别过A,M,8向

a作垂线，垂足分别为4,Mi,Bi,则由线面垂直的性质可

知，AA\//MM\//BB\,四边形为直角梯形，A4i=3,

BB\=5,MM为其中位线，(AAi+BBi)

=3(3+5)=4.

答案：4

7.如图，在三棱锥中，附，底面ABC,ZBAC=90°,尸是AC的

PE

中点，E是PC上的点，且EFl.BC,则£万SC=________.

解析：在三棱锥P-ABC中，

:阴，底面ABC,ZBAC=90°,

：.PALAB,AB±AC,PA^AC=A,

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.•.A3,平面APC.

；EFU平面/MC,：.EFLAB.

XEFLBC,BCQAB=B,

，EF_L底面ABC,S.PA//EF.

是AC的中点，E是PC上的点，

PF

是PC的中点，即笠=1.

cC

答案：1

8.矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD,且EDLAD,AB=2,BC=^,

ED=y]2.则点B到平面AED的距离为,EF到平面ABCD的距离为

解析：ABCD,CDEF为矩形,

J.EDLCD,CD//AB,J.ABLED,

又•.,ABLA。，EDHAD=D,.•.A3_L平面AE。，二84即为所求距离,

因此点B到平面AED的距离为2.

"：ED±AD,ADHCD=D,...£：。_1_平面/1。。8,

.♦.E到平面AOC8的距离为也.

/〃平面ABCD,

.♦.所到平面ABC。的距离也是也.

答案：2啦

9.在正方体ABCD-AiBiGDi中，点、E,尸分别在4。，AC上，EF1A1D,

EFLAC,求证：EF//BD\.

证明：如图所示，连接AC”CiD,BQ,BD.

"：AC//A\C\,EF±AC,：.EF±AiCi.

XEFLA\D,A\D^A\C\=A\,

平面Ai。。①.

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平面AiBiCiDi,4C|U平面A\B\C\D\,

：.BB\LA\C\.

•..四边形A/IGDI为正方形，

/.A।Ci_LBi£)i,

又8iGnBBi=5i，...AiGJ_平面381。。，

而BOU平面BB\D\D,.同理

又0cm4Ci=C，.♦.30i_L平面AiG。②.

由①②可知

10.如图，在四面体P-A8C中，孙，平面ABC,PA=AB=

1,BC=y[3,AC=2.

(1)证明：BC_L平面力B；

(2)在线段PC上是否存在点D,使得ACLBD,若存在，

求PO的值，若不存在，请说明理由.

解析：(1)证明：由题知：45=1,BC=y[3,AC=2.

则AB2+BC2=AC2,所以ABLBC,

又因为%_1_平面ABC,所以布，BC,

因为所以BC_L平面布A

(2)在线段PC上存在点D,

当PD=^~时，使得AC_LBD

理由如下：在平面ABC内，过点3作BE,AC,垂足

为E,在平面外。内，过点E作。E〃山，交PC于点。，

连接80,由出_1_平面ABC,PAYAC,

所以OELAC