第13章 轴对称【培优卷】（解析版）

第13章轴对称培优一、单选题1.(3分)平面直角坐标系中，点P(﹣2，3)关于x轴对称的点的坐标为（

）A.

(2，﹣3)

B.

(﹣2，3)

C.

(﹣2，﹣3)

D.

(2，3)【答案】C【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3），故答选：C．【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；可得.2.(3分)下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：B．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．3.(3分)在下列命题中，正确的是（

）A.

一组对边平行的四边形是平行四边形

B.

有一个角是直角的四边形是矩形

C.

有一组邻边相等的四边形是菱形

D.

对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；故答案为：D.【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案.4.(3分)如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（

）A.

∠1=2∠2

B.

2∠1+∠2=180°

C.

∠1+3∠2=180°

D.

3∠1-∠2=180°【答案】D【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC=BD，∴∠BAD=∠1，∠B=∠C，∴∠B=180°－2∠1=∠C，∵∠C=∠1－∠2，∴180°－2∠1=∠1－∠2，∴3∠1－∠2=180°.故答案为：D.【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠1，∠B=∠C，利用三角形的内角和可得∠B=180°－2∠1=∠C，由三角形外角的性质可得∠C=∠1－∠2，从而可得180°－2∠1=∠1－∠2，据此即得结论.5.(3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的图形是(

)A.

等腰三角形

B.

等边三角形

C.

长方形

D.

梯形【答案】C【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；C、长方形是轴对称图形，是中心对称图形；D、梯形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形.故答案为：C.

【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此作出判断即可.6.(3分)在平面直角坐标系中，点P（3，-4）关于x轴对称的点的坐标是

(

)A.

（3，4）

B.

（3，－4）

C.

（－3，－4）

D.

（4，3）【答案】A【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y)，关于x轴的对称点的坐标是（x，-y)，据此即可求得点（3，-4)关于x轴对称的点的坐标．【解答】∵点（3，-4)关于x轴对称；

∴对称的点的坐标是（3，4)．

故选A．【点评】这一类题目是需要识记的基础题7.(3分)如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（

）A.

8

B.

6

C.

5

D.

3【答案】C【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过P作PQ⊥MN，∵PM=PN，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，∴OQ=12则OM=OQ-QM=6-1=5.故答案为：C.【分析】过P作PQ⊥MN，根据等腰三角形的性质可得MQ=NQ=1，然后在Rt△OPQ中根据含30°角的直角三角形的边之间的关系可求出OQ的值，进而得到OM的值.8.(3分)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个【答案】B【考点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．9.(3分)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是(

)A.

25°

B.

30°

C.

50°

D.

65°【答案】B【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：①当M在AB上时，

∵MN∥BC，

∴∠BMN=180°-∠ABC=180°-50°=130°，

∵MN=MB，

∴∠MBN=∠BMN=180°−∠BMN2=180°−50°2=65°，

②当M在AB的延长线上时，

∵MN∥BC，

∴∠BMN=∠ABC=50°，

ⅰ当BM=BN，如图，

∠MNB=∠BMN=50°，

ⅱ当NM=NB时，如图，

∠MNB=180°−2×50°=80°；

10.(3分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是(

)①OG=12A.

①③④

B.

①④

C.

①②③

D.

②③④【答案】A【考点】三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】

①∵四边形ABCD为菱形，且CD=DE

∴AB=DE,AB∥DE

∴∠BAG=∠EDG，∠ABG=∠E

∴△ABG≌△EDG（ASA）

∴BG=EG,点G为BE中点，

∵O为BD中点，

∴OG为△BDE中位线

∴OG=12DE=12AB，故本选项正确。

②∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，

∴△BCD与△ABD都是等边三角形，

∵点O为对角线交点

∴OA=OC,OB=OD,

∴△BOC≌△DOC≌△BOA≌△DOA

∵AG=DG，

∴点G为AD中点，且BG⊥AD

∴△DGB≌△AGB

易证△DGB≌△DOC

∴△BOC≌△DOC≌△BOA≌△DOA≌△DGB≌△AGB≌△DGE

∴和△DEG全等的三角形共有6个。故本选项错误。

③∵点O为BD中点，

∴S△OBG=S△ODG

∵△ABG≌△EDG

∴S△ABG=S△DEG

∴S四边形ODEG=S△DEG+S△ODG【分析】考查菱形的性质、菱形的判定方法、三角形中位线定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定方法，解题时注意前面选项的结论在后面证明过程中的运用。二、填空题11.(4分)在ΔABC中,AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的钝角为130°，则∠B等于________度。【答案】70或20【考点】角的运算，线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的钝角为130°，即∠EDC=130°，∠ADE=50°，∠AED=90°，①如图1，当△ABC是锐角三角形时，∠A=90°－∠ADE=90°－50°=40°．∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°−40°②如图2，当△ABC是钝角三角形时，∠BAC=∠ADE+∠AED=50°+90°=140°．∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°−140°综上所述：底角B的度数是70°或20°．故答案为：70或20．【分析】首先根据题意作图，然后由AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的钝角为130°，即可得∠ADE=50°，∠AED=90°，然后分两种情况讨论：①当三角形是锐角三角形时，即可求得∠A的度数，②当三角形是钝角三角形时，可得∠A的邻补角的度数；又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得底角B的大小．12.(4分)如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是________.【答案】254【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵OE⊥AC，四边形ABCD是矩形，∴∠AOE=∠ADC=90°，又∵∠EAO=∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴AEAC∵AB=6，BC=8，结合勾股定理，∴AC=10，AO=5，AD=BC=8，CD=AB=6，∴AE=AO⋅ACAD=故答案为：254【分析】根据OE⊥AC，∠AOE=90°，由矩形的性质可知，∠ADC=∠AOE=90°，又因为∠EAO=∠CAD，可推出△AEO∽△ACD，则AEAC13.(4分)矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则CF=________cm．【答案】215【考点】勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质【解析】【解答】解：由折叠性质可知CF=C'F，由矩形性质可得DC'=BC=AD=4，DC=AB=10，∠C'=∠C=设CF=C'F=x，则DF=10-x在Rt△DC'F中，4解得：x=∴CF=21故答案为：215【分析】根据折叠的性质可知CF=C'F．设CF=C'F=x，由矩形性质则得到DF为10-x，于是可知AE=10-x；在Rt△DC'F中，利用勾股定理即可求出C'F的长，从而使问题得解．14.(4分)如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________．【答案】56°【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，作图-角的平分线，作图-线段垂直平分线【解析】【解答】根据图示可知AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，∵AF平分∠DAC，∴∠FAE=12∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=56°，∴∠α=∠AFE=56°，故答案为：56°.【分析】根据图示可知AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出AD//BC，根据二直线平行内错角相等得出∠DAC=∠ACB=68°，根据角平分线的定义得出∠FAE=1215.(4分)如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D.若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为________.【答案】(0,34)，(0,−【考点】坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE=CE，∵长方形OABC中，OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，∴在Rt∆BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=54∴E（1，54设点P坐标为（0，y），∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-54)2，解得：y=±当EP=AE，则(1-0)2+(54-y)2=(1-1)2+(0-54)2，解得：y=∴点P的坐标为(0,34)，(0,−故答案为：(0,34)，(0,−【分析】设AE=m，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，根据勾股定理求出m的值，得到点E的坐标，设点P坐标为（0，y）根据两点间的距离公式，分当AP=AE与当EP=AE时两种情况列出方程，求解即可得到答案.16.(4分)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E，F为BC上一点，若DF=AD，△ACD与△CDF的面积分别为10和4，则△AED的面积为________。【答案】3【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G,

∵DE⊥AC，CD平分∠ACB，

∴DE=DG，∠AED=∠DGF=90°，

在Rt△AED和Rt△DGF中

AD=DFDE=DG

∴Rt△AED≌Rt△DGF（HL）；

∴S△AED=S△DGF，

同理可证：S△CED=S△DGC，

∵S△ADC=S△ADE+S△CED

=S△ADE+S△DGC

=S△ADE+S△CDF+S△DFG=S△ADE+S△CDF+S△ADE

∴2S△ADE+4=10

解之：S△ADE=3.

故答案为：3.

【分析】过点D作DG⊥BC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，易证DE=DG，利用HL证明△AED≌△DFG，利用全等三角形的面积相等，就可推出S△AED=S△DGF，同理可得S△AED=S△DGF，再证明S△ADC=S△ADE+S△CDF+S△ADE，然后代入求值即可。17.(4分)如图，在平面直角坐标系中，等边△A1B1C1，等边△A2B2C2，等边△A3B3C3，…中A1B1，A2B2，A3B3，…平行于x轴，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，A1B1，A2B2，A3B3，…的长依次为3，23，33，….以此类推，则等边△A2020B2020C2020的顶点A【答案】（-10103，-1010）【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，探索数与式的规律【解析】【解答】解：A1B1、A2B2、A3B3，……分别与x轴交于点D1、D2、D3，……，连接OA1、OA2、OA3……，如图，则C1D1⊥A1B1，C2D2⊥A2B2，C3D3⊥A3B3，….

∵△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3，……都是等边三角形，

∴A1D1=12A1B1=32，A2D2=12A2B2=3，A3D3=12A3B3=332.

∵∠OA1D1=∠OA2D2=∠OA3D3=30°，

∴OD1=33A1D1=12，OD2=33A2D2=1，OD3=33A3D3=32，

∴A1（-32，12），A2（-3，-1），A3（-332，-32），

∴等边△A2020B2020C2020的顶点A2020的横坐标为-12×20203=-−10103，纵坐标为20202=1010，

∴A2020（−10103，-1010）.

故答案为：（−10103，-1010）.

【分析】A1B1、A2B2、A3B3，……分别与x轴交于点D1、D2、D3，……，连接OA1、OA2、OA3……，根据等边三角形的性质得到：A1D1=32，A2D2=3，A3D3=332，∠OA1D118.(4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为________.【答案】92【考点】垂线段最短，等边三角形的性质【解析】【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，∵点A的坐标为（0，6），∴OA＝6，∵点P为OA的中点，∴AP＝3，∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，∴AF＝PF＝32∴∠BAE＝∠CAP，在△ABE和△ACP中，{∴△ABE≌△ACP（SAS），∴BE＝PC，∴当BE有最小值时，PC有最小值，即BE⊥x轴时，BE有最小值，∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋32＝9∴PC的最小值为92故答案为：92【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则BE有最小值时，PC有最小值，即可求解.三、作图题19.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）作出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1；将△ABC向下平移3个单位长度，画出平移后的△A2B2C2.（2）求△A2B2C2.的面积【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1、，△A2B2C2即为所求；

（2）解：△A2B2C2的面积为12×（1+2）×2-12×1×1-【考点】作图﹣轴对称，作图﹣平移，几何图形的面积计算-割补法【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别做出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再首尾顺次相连即可得出所求的△A1B1C1；利用方格纸的特点及平移的方向及距离，将点ABC向下平移3个单位长度得到其对应点A2B2C2，再首尾顺次相连即可；

（2）利用割补法，根据△A2B2C2.的面积=上底为1、下底为2的梯形的面积减去周围两个三角形的面积即可算出答案。20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A(−3,2),B(−4,−3),C(−1,−1).（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1（2）写出点△A1,B1,C1的坐标(直接写答案):A1________;（3）△A1B1（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；

（2）(3,2)；(4,-3)；(1,-1)

（3）6.5

（4）解：如图，连接BC1与y轴的交点为P，点P即为所求.【考点】三角形的面积，关于坐标轴对称的点的坐标特征，作图﹣轴对称，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：（2）由点的位置可知：A1(3,2),B1(4,-3),C1(1,-1)；

故答案为：A1(3,2),（3）S=3×5−12×1×5−【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再连接即可；

（2）根据点A1、B1、C1的位置即可解决问题；

（3）利用分割法计算即可；

（4）连接BC1与y轴的交点即为所求的点P.21.(5分)如图，已知O是∠PAB的一边AB上的点，按要求作图：①过O作AP的垂线；②作∠A的补角∠CAP；③作∠CAP的平分线．【答案】解：①如图所示，OH即为所求；②如图所示，∠CAP即为所求；③如图所示，射线AQ即为所求．【考点】余角、补角及其性质【解析】【分析】①过直线AP外一点O作AP的垂线OH即可；②反向延长AB至C，即可得到∠A的补角∠CAP；③根据角平分线的作法，作出∠CAP的平分线AQ即可．四、解答题22.(8分)如图，点E,F是□ABCD的对角线BD上两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AB=CD∴∠ABE=∠CDF在ΔABE和ΔCDF中，{AB=CD∴ΔABE≅ΔCDF(SAS)∴AE=CF,∠AEB=∠CFD∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE∴AE//CF∴四边形AECF是平行四边形.【考点】平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出AB//CD,AB=CD，再根据平行性的性质可得∠ABE=∠CDF，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出AE=CF,∠AEB=∠CFD，从而可得∠AEF=∠CFE，由平行线的判定可得AE//CF，最后根据平行四边形的判定即可得证.23.(8分)笔记本电脑为外出工作提供了极大的便利，其配件电脑支架也是我们用笔记本电脑办公时不可或缺的。如图1为某笔记本电脑支架的侧面(边沿部分忽略不计)，我们抽象出如图2的几何图形，测得∠A照30°，AB=AC=20cm，D为AB上一点，且∠BCD=30°，求BC的长。【答案】解：如答案图，过点D作DE⊥AC，垂足为E∵AB=AC