数学高考专题复习点的轨迹方程的求法

主讲人：董生麟点的轨迹方程的求法数学高考专题复习圆锥曲线回顾例1:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tgBtgC=t(t≠0).(a,t均为常数).求顶点A的轨迹.BCAyx[思路分析]:首先建立适当的坐标系,设出动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、tgC坐标化是本题的关键.由图易知∠B是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜角的补角,因而tgB、tgC都可以用斜率来表示.这样可直接写出顶点A的方程,接下来的工作就是化简方程和判断轨迹是何种曲线,必要时可进行讨论.本题答案:轨迹方程为x2/a2+y2/ta2=1(x≠+-a).当0<t<1或t>1时,轨迹为椭圆;当t=1时,轨迹为圆;当t<0时,轨迹为双曲线.

例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N∈L2,(如图)以A,B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.[思路分析]:坐标系的建立是本题的突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们为坐标轴;也可以以线段MN的垂直平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由题设可知曲线段C为抛物线的一部分,L1为准线,N为焦点,很显然选择标准方程y2=2px(p>0).下面的关键是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角形及|BN|=6又起什么作用呢?请大家认真思考.本题答案:y2=8x(1≤x≤4,y>0)xyBAMNL1L2例3:设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.[思路分析]本题中的动点C满足两个条件:BC⊥BA,|BC|=|BA|,无论用哪一个都不能直接得出点C的方程,因此要另辟他径.仔细分析题意,点C的运动依赖于点B的运动(A也是这样),因而可以用点C的坐标来表示点B的坐标,又点B在已知曲线上运动,其坐标满足曲线方程,从而得出点C的轨迹方程.如何得出B和C的坐标的关系就成为解题的关键.联想到复数知识,可以利用点与复数的对应关系,复数与向量的对应关系,来得出两点的坐标的关系.本题答案:x2+y2=5xyCAB例4:抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP|=|PQ|,OQ与AP交于M,求点M的轨迹.[思路分析1]本题中的动点M是由两条动直线相交而得,而它们的运动又都依赖于动点P,因此选择P的坐标为参数,写出两直线的方程,解方程组,得点M的轨迹的参数方程,再化为普通方程,从而得出M的轨迹.

PFQMAyOx本题答案:y2=8/3×(x+1/3).轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).[思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用例3的方法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系?直接法:

根据动点所满足的几何条件,直接写出其坐标所满足的代数方程.代入法

(也称相关点法):所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求.参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程.求动点的轨迹方程的常用方法1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法.(例1)2.直接法的另一种形式称为定义法,即已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.(例2)3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.(例3)4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.(例4)5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来制),不足的点要补充.6.注意求轨迹和求轨迹方程的区别.本节小结(1999,24t,14f)如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线L:x=-1.B是直线L上的动点,∠BOA的平分线交AB于C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.这是一九九九年的高考题(第24题,14分),解题的关键是如何充分利用OC平分∠BOA.设出B(-1,t),C(x,y)的坐标,有以下思路:思路1:利用三角形的角平分线的性质,|BC|:|CA|=|OB|:|OA|,而将C视为BA的内分点,λ=BC:CA=|BC|:|CA|,|OA|、|OB|均可用距离表示,得出点C的轨迹的参数方程,消去参数即可.思路2:利用角平分线的性质,点C到直线OA,OB的距离相等,又点C在直线AB上,分别写出OB和AB的直线方程(用B的坐标表示),消去参数即可.思路3:利用三角形中的边角关系,tg∠AOC=|y|/x,tg∠BOD=|BD|:|OD|=|y|(1+a)/(a-x),又∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,∴2∠COA=π-∠BOD,tg(2∠COA)=-tg∠BOD.yxABOC谢谢各位老师的指导最后祝您一帆风顺再见；/排队叫号机触摸查询一体机教育一体机电容屏一体机vjd28wmx神蛊的封印完成，夜弑天等人收回神力和精神力，各自松了一口气，而夜北冥则陷入了沉睡，原本按照夜北冥无上级的精神力是不会被造梦铃影响导致昏睡的地步，但谁让刚刚心脏里的一场混战让夜北冥消耗过大呢。第007章离开前的准备（一）在幽冥城城主的庄园最东边，有一处人烟稀少但美如仙境的地方，空中飞舞着各种各样的灵鸟和飞虫，遍地都是绿草和各色的鲜花，花叶上还有晶莹的露珠，安静而美好，就在这时，一道紫色的身影飞快的从空中飞过，破空的气流使花叶上的水珠一滴滴的滑落，只见那道身影飞进了一处山洞，然后落在了躺在白玉石床上的夜北冥身旁，看着夜北冥闭着眼睛的模样，啾啾的叫了两声，看夜北冥还是没有睁眼，于是伸出自己粉色的舌头舔了舔夜北冥的脸颊，然后睁着它那双黑曜石似的水灵灵的大眼睛，又啾啾的叫了两声，看着夜北冥没有任何动静，于是将自己软软的小小的团子似的小身子挤进了夜北冥胸前的衣服，然后转身看着夜北冥沉睡的脸，慢慢的闭上了黑色大眼睛，一人一宠物双双在这处山洞睡着。隐约感觉到胸前有重物的夜北冥睁开了闭了整整三天的眼睛，眼前还是一片黑暗，夜北冥很淡定的坐起身，精神力一蔓延就发现自己在以前经常修炼的石洞里，自己身下的这张白玉石床是师傅花玄月在能量原石矿脉里发现的能量晶石，能量晶石比能量原石更为稀有珍贵，一条原石矿脉能有眼珠大小的能量晶石就能遭到世间所有的能人异士的哄抢，更不要说夜北冥身下这一大块的能量晶石被当做床来使用，能量晶石之所以珍贵受到所有修炼者的喜爱是因为它能源源不断的制造出供修炼者修炼提升玄力和精神力的能量，夜北冥因为之前体内弑神蛊的封印，精神力和神力消耗过大，于是花玄月让夜弑天将夜北冥抱到她修炼室里的能量晶石上面进行恢复，再加上因为造梦铃对夜北冥的使用，所以夜北冥最少会沉睡三天三夜，千菱子旭哭着要留在夜北冥身边说要日夜照顾她，夜弑天看不过去爱夫的眼泪，于是打晕带走，看千菱子旭的样子给夜北冥亲手洗澡的心都有了，就算夜北冥是千菱子旭亲生的孩子，但再亲生都是异性，夜弑天绝对不会承认她这是吃醋了，笑话，自己的爱夫可从来没有这样对自己